四川省江阳区2023-2024学年八年级下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判定即可．
【详解】A、被开方数含分母，不最简二次根式，此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，此选项符合题意；
C、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3， 4， 6B. 5， 12， 13C. 8， 40， 41D. 1，1，2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理逆定理，逐一计算判定即可．
【详解】解：A、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、 ， 能构成直角三角形，此选项符合题意；
C、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、 ， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
故选：B．
3. 计算： ＝（ ）
A. 1B. 5C. 1或5D. －1或－5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的性质和运算规则是解题的关键．先求出、，再算减法即可．
【详解】解：，
故选：A．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简求得结果即可判断．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
5. 如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查对平行四边形判定的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键；根据平行四边形的判定逐一判断即可．
【详解】A、，不能判定四边形是平行四边形，还可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、，推出，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，，能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、，推出，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线互相垂直且平分四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，掌握以上判定定理是解题的关键．
7. 在中，∠B-∠A=30，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数分别是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据平行四边形的性质，一组对边平行且相等得∠B+∠A＝180°，

∠A=75°，∠B=105°，


故选：D
8. 如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接PO，在直角坐标系中，根据点P的坐标是（），可知P的横坐标为，纵坐标为，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接PO．

∵点P的坐标是（），
∴点P到原点的距离==3．
故选A．
【点睛】本题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点P的横坐标为，纵坐标为．
9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
【详解】解：如图
根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积．
正方形M的面积为，
正方形A，B，C，D的面积的和为25．
故选：D．
10. 点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短路线问题和菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对称性是解题的关键．
由菱形的对称性可得，可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值为，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为，
，且四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
,
，
，
在中，，
故的最小值为．
故选：A．
11. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可．
【详解】解：由数轴可知，
，，
．
故选：D．
12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A. 9B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 当______时，二次根式在实数范围内有意义．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，解不等式即可．
【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，
必须满足，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，熟知二次根式有意义的条件是解题关键．
14. 已知实数满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．
【详解】解：，
又，，
，．
，．
．
故答案为：．
15. 如图，菱形中，对角线相交于点，，为边中点，则的长等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，，从而可判断是的中位线，在中求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，，
在中，，
又点是中点，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用及直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
16. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：
①与一定互补；
②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；
④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】①利用四边形内角和为即可求证；
②过作，证明即可得结论；
③分别求出G到边的距离的范围，再进行判断；
④点G到边的距离的最大值为当时，GE即为所求．
【详解】
①四边形是矩形
,四边形内角和为
①正确．
②如图：过作
，
又
即点G到边的距离一定相等
②正确．
③如图：过作
而
所以点G到边的距离不可能相等
③不正确．
④如图：
当时，点G到边的距离的最大
④正确．
综上所述：①②④正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了动点问题，四边形内角和为，全等三角形的证明，点到直线的距离，锐角三角函数，矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算二次根式乘法，零指数幂和去绝对值，再计算加减法即可．
【详解】解：
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数计算，平方差公式计算，二次根式四则混合运算等．根据题意先计算乘除，再计算加法即可．
【详解】解：，
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及二次根式的除法运算法则；先进行括号内的分式的减法运算，再进行除法运算，最后代入求值即可；
【详解】解：
，
当时，
原式
；
20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．
21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
（1）求网格上的的周长．
（2）请判断是不是直角三角形，并说明理由．
（3）点P是边上的一个动点，则线段的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）是直角三角形,理由见解析；
（3）4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，以及垂线段最短．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的三边长，即可求出周长；
（2）利用勾股定理逆定理判定即可；
（3）根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解；
【小问1详解】
利用勾股定理可得，
，，，
的周长为．
【小问2详解】
,
是直角三角形．
【小问3详解】
过点作于点，
则此时线段取得最小值，
，
．
22. 如图,中,,,,的垂直平分线分别交,于D,E两点,求的长.
【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直平分线的性质得到,得到,设,则,在Rt中利用勾股定理求出的值即可．
【详解】∵是的垂直平分线,
∴ ,
设,则,
在Rt中
,即
整理得:,
解得:．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理，拓展一元一次方程，知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
23. 如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】（1）3h （2）C岛在A港的北偏西40°方向．
【解析】
【分析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间；
（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果．
【小问1详解】
解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，
∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，
故轮船从C岛沿CA返回A港所需时间为3h．
【小问2详解】
C岛在A港的北偏西40°方向；
理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【点睛】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形．
24. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由AB∥CD，AC 为∠DAB 的平分线，证明 再证明四边形 ABCD 是平行四边形，从而可得结论；
（2）根据菱形的性质得到∠CAE=30°，∠AOB=90°，AB=2OB，OA=OC，则，再由直角三角形斜边上的中线求出，由此即可求解．
【小问1详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD


∵AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠CAE=30°，∠AOB=90°，AB=2OB，OA=OC，
∴
∵AE⊥CE，即∠AEC=90°，
∴AC=2CE，，
∴，，
∴BD=4，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等等，熟知菱形的性质与判定是解题的关键．
25. 已知，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．
[问题解决]
（1）如图1，当点G在线段BC上时，求证：DE﹣BF＝EF；
[拓展延伸]
（2）如图2，当点G在线段CB的延长线上时，线段DE、BF、EF之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，过F作FH∥GC，交AC于点H，连接DH，若∠ADE＝30°，GB，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）DE+BF＝EF．理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）证△ABF≌△DAE（AAS），得BF＝AE，AF＝DE，即可得出结论；
（2）证△ABF≌△DAE（AAS），得BF＝AE，AF＝DE，即可得出结论；
（3）过D作DM⊥AC于M，证△AFH∽△AGC，求出AH＝3，再证△ADM是等腰直角三角形，得AM＝DM＝2，则MH＝AH﹣AM，然后由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DEA＝90°，
∴∠AFB＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴DE﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
小问2详解】
解：如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是DE+BF＝EF．理由如下：
∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DEA＝90°，
∴∠AFB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴DE+BF＝AF+AE＝EF；
【小问3详解】
解：如图3，过D作DM⊥AC于M，
则∠DMA＝∠DMH＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DEA＝90°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣30°＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∠DAC∠BAD＝45°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，∠G＝∠EAD＝60°．
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠G＝60°，GB，
∴AB＝GB•tanG4，AG＝2GB，
∴BC＝AB＝4，
∴AC4，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝90°﹣∠G＝30°，
∴BFAB＝2，AFBF＝2，
∵FH∥GC，
∴△AFH∽△AGC，
∴，
即，
解得：AH＝3，
在Rt△ADM中，∠DAM＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝DMAD＝2，
∴MH＝AH﹣AM，
在Rt△DMH中，由勾股定理得：DH，
即DH的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键.