2023-2024学年四川省成都市青白江区工程职业技术学校对口升学班高二（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市青白江区工程职业技术学校对口升学班高二（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5}，则A⋂B＝（ ）
A．{1，3，5}B．{1，5}C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
2．（4分）一元二次不等式2x2﹣5x+2≤0的解集为（ ）
A．B．（1，2）C．D．[1，2]
3．（4分）函数的定义域为（ ）
A．B．[1，+∞）
C．D．
4．（4分）等于（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）若函数y＝（2a﹣3）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞C．＜a＜2D．a＜
6．（4分）设x∈R，则“x＞1”是“|x|＞1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）如图，+﹣等于（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）若直线ax+3y﹣4＝0与x+（a+2）y+2＝0平行，则a＝（ ）
A．1B．﹣3C．1或﹣3D．
9．（4分）已知向量与向量的夹角为120°，，则＝（ ）
A．3B．C．D．1
10．（4分）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，3）D．（3，+∞）
11．（4分）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A．2πB．4πC．6πD．8π
13．（4分）已知随机事件A和B互斥，且P（A⋃B）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A）等于（ ）
A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2
14．（4分）用系统抽样的方法从200名学生中抽取容量为10的样本，将200名学生编号为1至200，按编号顺序分组，若在第3组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为（ ）
A．10B．11C．12D．13
15．（4分）已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
16．（4分）已知向量，．若，则λ＝ ．
17．（4分）轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积为 ．
18．（4分）双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则a＝ ．
19．（4分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
20．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环，据某网站调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a的值；
（2）现从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取24人，则每组抽到的人数分别是多少？
22．（12分）已知向量，，且与共线，求λ的值．
23．（12分）如图所示三棱锥P﹣ABC，底面为等边三角形ABC，O为边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）若M为BC中点，求PM与平面ABC所成角大小．
24．（12分）求经过点M（﹣4，3）且与圆x2+y2＝25相切的直线的方程．
25．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1．
26．（12分）椭圆C：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点A（2，3）且倾斜角为的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|．
2023-2024学年四川省成都市青白江区工程职业技术学校对口升学班高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解答】解：由于A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5}，
则A⋂B＝{1，5}，
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：不等式2x2﹣5x+2≤0可化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得≤x≤2，
所以不等式的解集为[，2]．
故选：A．
3．【答案】D
【解答】解：∵，
∴，
∴x≥且x≠1，
∴函数的定义域为．
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：．
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：∵函数y＝（2a﹣3）x在R上单调递减，
∴0＜2a﹣3＜1，
∴＜a＜2，
故选：C。
6．【答案】A
【解答】解：由|x|＞1得x＜﹣1或x＞1，
所以由“x＞1“可推出“|x|＞1”，由“|x|＞1”推不出“x＞1“，
所以“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件，
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：根据题意，得；
+﹣＝﹣
＝．
故选：B．
8．【答案】C
【解答】解：ax+3y﹣4＝0与x+（a+2）y+2＝0平行，
则a（a+2）﹣3＝0，即a2+2a﹣3＝0，解得a＝﹣3或a＝1，
当a＝﹣3时，ax+3y﹣4＝0为3x﹣3y+4＝0，
x+（a+2）y+2＝0为x﹣y+2＝0，不重合；
当a＝1时，ax+3y﹣4＝0为x+3y﹣4＝0，
x+（a+2）y+2＝0为x+3y+2＝0，不重合．
故a＝1或a＝﹣3．
故选：C．
9．【答案】B
【解答】解：已知向量与向量的夹角为120°，，
则，
则＝＝．
故选：B．
10．【答案】C
【解答】解：依题意，k+5＞3﹣k＞0，
解得﹣1＜k＜3．
故选：C．
11．【答案】A
【解答】解：设等轴双曲线的实轴长和虚轴长均为a，
因此等轴双曲线的离心率为＝，
故选：A．
12．【答案】B
【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h＝2，
即圆柱的底面半径r＝1，
所以该几何体的侧面积S＝2πrh＝2π×1×2＝4π．
故选：B．
13．【答案】C
【解答】解：∵A、B是互斥事件，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B），
又∵P（A⋃B）＝0.8，P（B）＝0.3，
∴P（A）＝0.8﹣0.3＝0.5．
故选：C．
14．【答案】A
【解答】解：样本间距为200÷10＝20，
若3组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为50﹣2×20＝10，
故选：A．
15．【答案】B
【解答】解：对A选项，∵m⊥α，n⊥β，α∥β，∴m∥n，∴A选项正确；
对B选项，∵α⊥β，β⊥γ，∴α与γ可以成任意夹角，∴B选项错误；
对C选项，∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，∴α⊥β，∴C选项正确；
对D选项，∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∴D选项正确．
故选：B．
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
16．【答案】1．
【解答】解：因为，所以，解得λ＝1．
故答案为：1．
17．【答案】2π．
【解答】解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
则该圆锥的底面圆半径为r＝1，母线长为l＝2；
∴它的侧面积为S侧面积＝πrl＝2π．
故答案为：2π．
18．【答案】3．
【解答】解：由双曲线，得其渐近线方程为y＝±，
又双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
∴，即a＝3．
故答案为：3．
19．【答案】．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记 为A、B、C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：连接AC，
则A1C1∥AC，
连接AE、EC，
则异面直线A1C1与AE所成的角的平面角为∠EAC，
设AB＝t，
又，E是棱DD1的中点，
则AE＝AC＝EC＝，
则△AEC为等边三角形，
即∠EAC＝，
即直线A1C1与AE所成的角的大小为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【答案】（1）a＝0.035．
（2）第1组[15，25）抽取4人，第2组[25，35）抽取6人，第3组[35，45）抽取14人．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，
解得a＝0.035．
（2）由题意从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取的比例为0.01：0.015：0.035，即2：3：7，
所以第1组[15，25）抽取24×＝4人，
第2组[25，35）抽取24×＝6人，
第3组[35，45）抽取24×＝14人．
22．【答案】．
【解答】解：由于向量，，
则，
，
又与共线，
则2（1+2λ）﹣4（2﹣2λ）＝0，
解得．
23．【答案】（1）1；（2）60°．
【解答】解：（1）由于PO⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，
则OP⊥AC，
又O为边中点，AP＝AC＝2，
则，
于是＝；
（2）连接OM，
由于PO⊥底面ABC，
则PM与平面ABC所成角即为∠PMO，
又M为BC中点，
则，
故，
则∠PMO＝60°，即PM与平面ABC所成角大小为60°．
24．【答案】4x﹣3y+25＝0．
【解答】解：根据题干信息可知直线的斜率存在，点M（﹣4，3）在圆上，
∵点M（﹣4，3）与圆x2+y2＝25的圆心的连线的斜率为＝﹣，
∴过点M（﹣4，3）且与圆x2+y2＝25相切的直线的方程的斜率为＝，
∴过点M（﹣4，3）且与圆x2+y2＝25相切的直线的方程为y＝，即4x﹣3y+25＝0．
25．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）连接SB，如图所示：
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB，
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1；
（2）连接SD，如图所示：
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD，
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
由（1）得EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
26．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由已知得，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）由已知直线l的方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1，
联立，消去y得5x2+8x＝0，
解得x＝0或，
∴，
∴．