2024年湖南省长沙市立信中学中考二模数学试题

这是一份2024年湖南省长沙市立信中学中考二模数学试题，共12页。试卷主要包含了《孙子算经》中有个问题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；
2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示：
4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．的绝对值是（ ）
A．B．2C．D．
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．一把直尺和一块三角板ABC（其中，）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．35，35B．34，33C．34，35D．35，34
8．如图，AB是的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？大意是：三个人共一台车，有两台车是空的，两个人共一台车，则有9个人需要步行，设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使，分别以D，E为圆心，以大的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF交AC于点G，若，，过点G作交AB于点P，则GP的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．二次根式有意义，则x的取值范围是______．
12．分式方程的解是______．
13．已知a，b是一元二次方程的两根，则______．
14．如图，的半径OA为13，弦AB的长是24，，垂足为N，则ON的长为______．
15．为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______．
16．五一小长假期间，某市高速公路收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为，从点C走到点D，测得米，从点D测得天线底端B的仰角为，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，米．
（1）求A与C之间的距离：
（2）求天线BE的高度．（参考数据：，结果保留整数）
20．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21．如图，在中，D是BC的中点，于E，于点F，且，
（1）求证：AD平分．
（2）若，，求的面积．
22．我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选：
方案一：全体人员打8折；
方案二：打9折，有5人可以免票．
（1）若一班有50人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱；
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
23．如图，AB是的直径，点C是上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分，连接BE．
（1）求证：；
（2）若，，求半径OB和线段AD的长．
24．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求证；
（3）过点G作交AB于点M，记．为，为，，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
25．对于抛物线，我们发现其图像上任意一点到点的距离和到直线的距离总是相等，于是规定点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线．
例如：如图1，，其焦点为，准线为直线，抛物线上任意一点到准线的距离为PH，则，，即；同理可得时，也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题：
（1）请直接写出抛物线的焦点和准线；
（2）如图2，已知抛物线的焦点为C，其准线与y轴交于点D，过焦点C的直线与抛物线交于A，B两点，求证：；
（3）已知抛物线，焦点为F，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且，
①求p的值；
②过焦点F的直线与该抛物线交于M，N两点，P为抛物线准线上一点，当为等边三角形时，求直线MN的解析式．
模拟试卷（二）参考答案
一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】B
【解析】解：的绝对值是2．
故选：B．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0．
2．【答案】C
【解析】解：从左边看有两列，从左到右第一列是一个正方形，第二列是三个正方形．
故选：B．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
此题主要考查了组合几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．【答案】C
【解析】解：A、必然事件发生的概率是1，正确：
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选：C．
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
4．【答案】D
【解析】解：A、，故A不符合题意：
B、，故B不符合题意：
C、，故C不符合题意：
D、，故D符合题意：
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，完全平方公式，平方差公式对各项进行运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．【答案】C
【解析】略
6．【答案】A
【解析】解：由图可得，，，
，
又，，
，，
故选：A．
先根据，得出，再根据，即可得到，最后根据，即可得出的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
7．【答案】D
【解析】【分析】根据众数和中位数的定义即可得正确选项．
【解答】
解：出现的次数最多，
这组数据的众数是35，
将这组数据按从小到大排列，排在中间的两个数分别为33，35，故这组数据的中位数为．
故选：D．
【点评】
本题主要考查众数和中位数，掌握求众数和中位数的方法是解题关键．
8．【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，属于基础题。
构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角，推出，求出的度数，由圆周角定理即可推出的度数．
【解答】解：是的直径，，
，
，．
故选C．
9．【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可
【解答】
解：设有x辆车，则可列方程：．
故选D．
10．【答案】C
【解析】解：由作法得BG平分，
，，
，
故选：C．
根据角平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得：，解得，；
故答案为：，
12．【答案】
【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，一定要注意解分式方程必须检验．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】
解：，，
解得：，
检验：当时，，是原方程的解，
故答案为：．
13．【答案】4
【解析】解：根据根与系数的关系得．
故答案为：4．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14．【答案】5【解析】略
15．【答案】2400人
【解析】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人），
故答案为：2400人．
用总人数乘以样本中全程观看开幕式的人数所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
16．【答案】B
【解析】解：，，，，，
，，，，，
由和得，
由和得，
每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
根据表中数据两两相比较即可得到结论，
本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17．【答案】解：
．
【解析】先计算，，化简绝对值，再代入的正弦值算乘法，最后加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的意义，绝对值的化简和特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
四、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：.
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．【答案】解：（1）由题意得，在中，，
米，
米，（米），
即A与C之间的距离是30米：
（2）在中．，米．
（米），
米，米，
，
米．
即天线BE的高度为27米．
【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出米，则可求出答案：
（2）解直角三角形求出（米），则可求出BE．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．【答案】507
【解析】解：（1）由统计图可得，这次抽样调查共抽取：（人），，故答案为：50，7．
（2）由（1）知，，等级为A的有：（人），
补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：．
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值：
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图：先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数：
（3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
21．【答案】证明：，，
，
是BC的中点，，
在和中，
，，
于E，于点F，
平分．
【解析】求出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再推出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识点，能求出是解此题的关键．
22．【答案】（1）1200；1215；
，解得．
答：一班有45人．
23．【答案】（1）证明：连接OC，
切圆于C，∴半径，
，
，，
，
，，
，；
（2）解：连接AE，
∵弦CE平分，
，，
是圆的直径，
，是等腰直角三角形，
，
，∴令，，
，
，，
，
，，
，．
【解析】（1由切线的性质得到半径，又，因此，得到，由等腰三角形的性质得到，由圆周角定理即可得到；
（2）由直角三角形的性质求出，由锐角的正切定义求出AC长，由，得到，因此，即可求出AC的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是由直角三角
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数量（量）
260
330
300
360
240