2024年湖南省长沙市立信中学中考一模数学试题及参考答案

这是一份2024年湖南省长沙市立信中学中考一模数学试题及参考答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2024年3月5日国务院总理李强在政府工作报告中指出，过去一年经济总体回升向好．国内生产总值超过126万亿元，增长，增速居世界主要经济体前列．将126万用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
2．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．程大位，明代珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：这一群人共有多少人？若设共有x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A．18B．17C．16D．15
8．若关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2021C．2022D．2023
9．如图，在△ABC中，EFBC，ED 平分∠BEF，且∠DEF=60°，则∠B的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
10．二次函数的图象大致如图所示，关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．
B．对称轴是
C．当，随的增大而减小
D．当时，
二、填空题
11．若分式的值为0，则 ．
12．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 m．
13．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ．
14．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ．
15．如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，连接AO，若∠B=60°，则∠OAC= °．

16．如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ．

三、解答题
17．计算：．
18．先化简再求值：，其中
19．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为．
(1)求点A到墙面BC的距离；
(2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，量得影长CD为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
20．珠海市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人，m＝ ；
（2）若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C 、E三个景点中任意选择一个游玩．求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
21．如图，在中，是边上的中线，过点，分别作，，垂足为，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
22．某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
23．如图，在矩形中，点E、F是对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
24．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，，满足，则称此函数为关于m的等和函数，这两点叫做关于m的等和点．
(1)下列函数中，是关于1的等和函数的是________；
①； ②； ③．
(2)若点，在双曲线上，且C，D两点是关于m的等和点，求k的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．若，两部分组成的图像上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围．
25．如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且．
(1)求证：；
(2)求的度数；
求证：；
(3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，熟练掌握科学记数法的表示方法是解决此题的关键．
【详解】126亿，
故选：C．
2．C
【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；
A、B、D中的图案不是平移得到的；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题．
3．C
【分析】直接根据从正面看到的图形即可求解．
【详解】解：从正面看到的图形为 ，
故选：C
【点睛】本题考查了立体图形的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法运算，根据相关运算法则进行计算，判断即可．
【详解】，A选项正确，故符合题意；
，B选项错误，故不符合题意；
，C选项错误，故不符合题意；
，D选项错误，故不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别解出各不等式的解集和确定解集的公共部分是解答本题的关键．先分别解出两个不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即为方程组的解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：D．
6．B
【分析】设共有x人，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”及银子总数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：7x+4=9x-8．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查三角形的内切圆及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．
由切线长定理可知，再根据线段的和差即可求得答案．
【详解】解：的内切圆分别与相切于点，
，
，
，
，
的周长，
故选：A．
8．D
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
9．B
【分析】根据ED 平分∠BEF，求出角∠BEF=120°，从而求得，再根据EFBC，得，最终得到∠B的度数．
【详解】解：∵ED 平分∠BEF，∠DEF=60°
∴∠DEB=∠DEF=60°，
∴∠BEF=120°，
∴，
∵EFBC，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和平行线的相关知识．
10．D
【分析】观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，，进而得到，故A选项正确；再由抛物线与x轴交于，可得对称轴为直线，故B选项正确；再根据二次函数的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，故选项C正确；再观察图象得：当时，，故D选项不正确，即可求解．
【详解】解：观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，
∴，，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
观察图象得：抛物线与x轴交于，
∴对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意；
观察图象得：当时，，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
11．
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．熟知分式值为0的条件是分母不为0分子为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
12．6π
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】l==6π，
故答案为：6π．
【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
13．
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长：的周长，
∵的周长等于4，
∴的周长，
故答案为：12．
14．－2
【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，代入到原式＝计算可得．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．30
【分析】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠AOC=120°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OAC的度数．
【详解】解：连接OC，如图，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°120°）=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质等，熟练掌握上述知识是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键.
如图：连接，根据尺规作图可得，，再根据等腰三角形的性质可得、，再运用勾股定理可得，再证明是菱形可得即可解答．
【详解】解：如图，连接，

由作图可知：，，
，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别代简，再代入特殊角三角函数值后，再进行计算即可．
【详解】解：
18．，．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可得到答案．
【详解】原式
．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分，通分，是解题的关键．
19．(1)米
(2)米
【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面BC的距离约为米，
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米），
故答案为：米．
20．（1）200，35；（2）300；（3）
【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200（人），
则m%=×100%=35%，即m=35，
故答案为：200；35
（2）C景区人数为200-（20+70+20+50）=40（人）
估计去C景区旅游的居民约有(人)
（3）画树状图如下
共有6种等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明即可证得结论；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴；
（2）在中，，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
22．(1)每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
(2)建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，根据“用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位个，则建新能源车位个，根据题意列一元一次不等式，求出的取值范围，设喷涂总费用为，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
（2）解：设建燃油车位个，则建新能源车位个，
由题意得：，
解得：，
设喷涂总费用为，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
23．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由矩形的性质可得出,,,，由平行线的性质可得出,，再用证明,，由全等得性质可得出,，即可证明四边形是平行四边形.
（2）证明，由相似的性质可得出，即可得出，再由勾股定理可得，即可求出.
【详解】（1）证明：∵是矩形，
∴,,,,
∴,,
又∵
∴,,
∴,,
∴四边形是平行四边形.
（2）∵，
∴,
又∵
∴,
∴,
∵，
∴,
又∵,
即,
解得：.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键.
24．(1)①
(2)
(3)m的取值范围为或；
【分析】（1）根据等和函数的定义求解即可；
（2）根据等和函数的定义和反比例函数上点的特征列方程求解即可；
（3）先求出函数沿直线翻折后的解析式，再分别求出当与仅有一个交点时和当与仅有一个交点时的m值，结合图像即可求解．
【详解】（1）把，代入得：，
∴，
∴；
把，代入得：，
∴，
当，且互为倒数时，
∴；
把，代入得：，
∴，
假设，解得：，与题意不符
∴是关于1的等和函数的是；
（2）由题意得：，解得；
（3）在上取点，点关于直线的对称点为
则由对称性知，消m得：
∴，两部分的图像如下，

当，解得，
∴
当与仅有一个交点时，，解得：
当与仅有一个交点时，，
解得：
当过时，解得：
∴m的取值范围为或；
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键．
25．(1)证明见解析；
(2)；证明见解析；
(3)．
【分析】（）利用平行线证明，然后根据性质即可求解；
（）由，得，根据三角形的外角性质得，又则，最后根据直角三角形的性质即可求解；
连接，根据弧、圆心角和弦的关系得，再通过圆周角定理得，证明，最后根据相似三角形的性质即可求解；
（）先通过三角形外角性质和角度和差得，则，过作于点，得，，再利用三角函数即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）由（）得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，弧、圆心角和弦的关系，三角形的外角性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．