2024届广东省湛江第一中学高考数学模拟试卷

这是一份2024届广东省湛江第一中学高考数学模拟试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，19题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。本题有8个小题，每小题5分，共40分）
1．若复数z满足3-4iz=4+3i，则z的虚部为（ ）
A．-4B．-45C．4D．45
2．已知集合M={x|x2-3x-4≤0}，N={x|y=lnx-2}，则M∩N=（ ）
A．2,4B．2,4C．-1,4D．-1,4
3．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，若F关于渐近线y=bax的对称点恰好落在渐近线y=-bax上，则△ORF的面积为（ ）
A．B．2C．3D．23
4．已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点，若MN=14，则k=（ ）
A．12B．1C．2D．2
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
6．函数y=3-2cs-2x-π3的单调递增区间是（ ）
A．kπ-2π3，kπ-π6k∈ZB．kπ-π6，kπ+π3k∈Z
C．2kπ+π3，2kπ+4π3k∈ZD．2kπ-π3，2kπ+π6k∈Z
7．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD=π4．若的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
A．10-34B．10+34C．10+14D．10-14
8．已知x1,x2是函数fx=x2-2ax+2lnx的两个极值点，且x1A．-98-ln2,0B．-∞,-98-ln2
C．-98-ln2,0D．-98-ln2,+∞
二、多项选择题（本题有3个小题，每小题有多个选项符合题目要求，全对得6分，漏选得3分，错选0分。共18分）
9．已知向量，则（ ）
A．若a//b，则tanθ=-43B．若a⊥b，则sinθ=35
C．a-b的最大值为5D．若a⋅a-b=0，则
10．已知fx是定义在R上的奇函数，且f4-x=fx，若对于任意的x1，x2∈2,4，都有x1-x2fx1-fx2<0，则（ ）
A．fx的图象关于点-2,0中心对称B．
C．fx在区间-2,2上单调递增D．fx在x=66处取得最大值
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知MN=4，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，AP,CC1为异面直线B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为32π
C．M，N存在唯一的位置，使A1P∥平面AB1CD．AP与平面所成角的正弦最大值为12
三、填空题（本题有3个小题，每题5分，共15分。）
12．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为 ．
13．已知函数的对称中心是kπ2+π6,0(k∈Z)，则f-π3= ．
14．斜率为的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点，点T是椭圆上的一点，且满足TA⊥TB，点P,Q分别是△OAT,△OBT的重心，点是△TAB的外心.记直线的斜率分别为k1,k2,k3，若k1k2k3=-18，则椭圆C的离心率为 .
四、解答题（本题有5题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分。）
15．（13分）已知函数f(x)=lnx+2ax, a∈R，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a的值.
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱上一点，AM⊥BA1．
(1)求证：AM⊥平面A1BC；
(2)求二面角B-AM-C的大小；
(3)求点C到平面ABM的距离．
17．（15分）已知椭圆C的方程x23+y2=1椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，∠F1PF2=120°.
(1)求△F1PF2的面积；
(2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4=0的距离最短，并求出最短距离.
18．（17分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求n的最大值.
参考数据：0.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.
19．（17分）定义：maxa,b=a,a≥b,b,a(1)若，a3=3，求a1，a4的值；
(2)若∀n∈N*，，使得an≤ak恒成立．探究：是否存在正整数p，使得ap=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{an}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N*,an≤A．
2024年高考模拟卷 数学试题参考答案
一、单项选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。本题有8个小题，每小题5分，共40分）
1．若复数z满足3-4iz=4+3i，则z的虚部为（ ）
A．-4B．-45C．4D．45
【答案】B
【分析】根据复数除法运算可求得z，再由共轭复数和虚部定义即可求得结果．
【详解】由3-4iz=4+3i，
则z=4+3i3-4i=53-4i=5×3+4i3-4i3+4i=35+45i，
所以z=35-45i，故z的虚部为z=-45．
故选：B．
2．已知集合M={x|x2-3x-4≤0}，N={x|y=lnx-2}，则M∩N=（ ）
A．2,4B．2,4C．-1,4D．-1,4
【答案】B
【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合M,N，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为M={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，
N={x|y=lnx-2}={x|x>2}，
所以2,4.
故选：B.
3．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，若F关于渐近线y=bax的对称点恰好落在渐近线y=-bax上，则△ORF的面积为（ ）
A．B．2C．3D．23
【答案】A
【分析】根据题意，由点F与点关于直线y=bax对称可得∠POF=60°，PO⊥PF，再由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】
设与渐近线y=bax的交点为P，
由题意可知OF=2，∠POF=60°，PO⊥PF，
所以PF=3,PO=1，
则S△ORF=2S△POF=2×12×3×1=3.
故选：A
4．已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点，若MN=14，则k=（ ）
A．12B．1C．2D．2
【答案】B
【分析】
先计算直线kx-y+1=0到圆心O的距离d，然后根据勾股定理得到d2+14MN2=4，从而代入条件即可解出k2，从而得到k.
【详解】
如图所示：

设坐标原点O到直线kx-y+1=0的距离为d，则d=0⋅k-0+1k2+1=1k2+1.
设线段MN的中点为P，则MN⊥OP，根据勾股定理，有4=OM2=OP2+PM2=d2+14MN2.
由MN=14，得4=d2+14MN2=1k2+1+144，故1k2+1=12，解得k2=1，故k=1.
故选：B.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
【答案】C
【分析】假设经过n年后全年投入的研发资金开始超过200万元，列不等式求解即可.
【详解】假设经过n年后全年投入的研发资金开始超过200万元，
即160⋅(1.1)n>200，所以n>1-3lg2lg1.1=，
因此超过200万元的年份是2026年．
故选：C．
6．函数y=3-2cs-2x-π3的单调递增区间是（ ）
A．kπ-2π3，kπ-π6k∈ZB．kπ-π6，kπ+π3k∈Z
C．2kπ+π3，2kπ+4π3k∈ZD．2kπ-π3，2kπ+π6k∈Z
【答案】B
【分析】根据题意要求函数y的单调递增区间即求函数y=cs2x+π3的递减区间即可求解.
【详解】由题意得y=3-2cs-2x-π3=3-2cs-2x+π3=3-2cs2x+π3，
要求y的递增区间即求y=cs2x+π3的递减区间，
当2kπ≤2x+π3≤π+2kπ，k∈Z，即kπ-π6≤x≤π3+kπ，k∈Z时，
y=cs2x+π3单调递减，即y=3-cs2x+π3单调递增，故B正确.
故选：B.
7．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD=π4．若的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
A．10-34B．10+34C．10+14D．10-14
【答案】D
【分析】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，求得△ABD外接圆半径为r=2，若B(-1,0),D(1,0)，结合已知得点A在圆x2+(y-1)2=2被BD分割的优弧上运动，进而确定的最大，只需AC与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数λ.
【详解】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，即，则△ABD外接圆半径为r=BD2sin∠BAD=2，
若B(-1,0),D(1,0)，△ABD的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=2，
所以m+12+n2=2m-12+n2=2⇒m=0n=±1，令圆心为(0,1)，
即点A在圆x2+(y-1)2=2被BD分割的优弧上运动，如下图，
要使的最大，只需AC与圆相切，由上易知C(1+2λ,0)，
则|AC|=(1+2λ)2+1-2=2λ(λ+1)，而|BC|=2(λ+1)，由圆的性质有∠DAC=∠B，
△ABC中|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB=π-(2∠B+π4)=3π4-2∠B，显然∠B<3π8，
由tan∠ACB=tan(3π4-2∠B)=2，则1+tan2∠Btan2∠B-1=2⇒tan2∠B=3，
所以2tan∠B1-tan2∠B=3⇒3tan2∠B+2tan∠B-3=0，可得tan∠B=10-13（负值舍），
故sin∠B=10-120-210,cs∠B=320-210，而λsin∠B=λ+1sin(∠B+π4)，
所以λsin∠B=2(λ+1)sin∠B+cs∠B⇒λsin2∠B=2(λ+1)1+2sin∠Bcs∠B，
整理得λ11-210=λ+17+210，则λ=11-2104(10-1)=10-14.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，B(-1,0),D(1,0)得到点A在圆x2+(y-1)2=2被BD分割的优弧上运动为关键.
8．已知x1,x2是函数fx=x2-2ax+2lnx的两个极值点，且x1A．-98-ln2,0B．-∞,-98-ln2
C．-98-ln2,0D．-98-ln2,+∞
【答案】B
【分析】先求导由x1,x2是极值点，得x1+x2=a ,x1x2=1，进而将不等式fx1≥mx2恒成立转化为m≤-x13-2x1+2x1lnx1min，构造函数gx求得最小值，即可求出实数m的取值范围.
【详解】由题意得，x>0，f'x=2x-2a+2x=2x2-ax+1x，
所以x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个正根，
所以Δ=a2-4>0 ,x1+x2=a≥52 ,x1x2=1，
不等式fx1≥mx2恒成立，即m≤fx1x2恒成立；
又fx1x2=x12-2ax1+2lnx1x2=x13-2ax12+2x1lnx1
=x13-2x1+x2x12+2x1lnx1=-x13-2x1+2x1lnx1，
则m≤-x13-2x1+2x1lnx1min，又x1+x2=a≥52,x1x2=1，
可得x1+1x1≥52，则0令gx=-x3-2x+2xlnx0则g'x=-3x2-2+2+2lnx=-3x2+2lnx<0，
所以gx在0,12上单调递减，所以，
故m≤-98-ln2.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以解决.
二、多项选择题（本题有3个小题，每小题有多个选项符合题目要求，全对得6分，漏选得3分，错选0分。共18分）
9．已知向量，则（ ）
A．若a//b，则tanθ=-43B．若a⊥b，则sinθ=35
C．a-b的最大值为5D．若a⋅a-b=0，则
【答案】AD
【分析】
根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据a⋅a-b=0，求出sinθ,csθ的关系，进而可判断D.
【详解】对于A，若a//b，则4csθ=-3sinθ，所以tanθ=-43，故A正确；
对于B，若a⊥b，则-3csθ+4sinθ=0，所以tanθ=34，故B错误；
对于C，a-b=a-b2=a2+b2-2a⋅b
=1+25-2-3csθ+4sinθ=26-10sinθ-φ，其中tanφ=-34，
当sinθ-φ=-1时，a-b取得最大值6，故C错误；
对于D，若a⋅a-b=0，则a2-a⋅b=0，
即，所以4sinθ-3csθ=1，
所以a-b=a-b2=a2+b2-2a⋅b
=1+25-2-3csθ+4sinθ=26-2=26，故D正确.
故选：AD.
10．已知fx是定义在R上的奇函数，且f4-x=fx，若对于任意的x1，x2∈2,4，都有x1-x2fx1-fx2<0，则（ ）
A．fx的图象关于点-2,0中心对称B．
C．fx在区间-2,2上单调递增D．fx在x=66处取得最大值
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性、单调性的定义和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由f4-x=fx，得fx的图象关于直线对称；
又fx是定义在R上的奇函数，所以函数fx的图象关于原点对称；
由对称性可知，函数fx的图象关于点4,0中心对称，
再根据fx是奇函数可得，函数fx的图象关于点-4,0中心对称，A错误；
对B：由f-x=-fx与f4-x=fx，
得f4+x=f-x=-fx，所以，B正确；
对C：因为对于任意的x1，x2∈2,4，都有x1-x2fx1-fx2<0，所以fx在2,4上单调递减，
又函数fx的图象关于点4,0中心对称，则fx在4,6上单调递减，
因为fx的图像关于直线对称，则fx在区间-2,2上单调递增，C正确；
对D：由C可知，fx在处取得最大值，f66=f8×8+2=f2，
则fx在x=66处取得最大值，D正确.
故选：BCD.
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知MN=4，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，AP,CC1为异面直线B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为32π
C．M，N存在唯一的位置，使A1P∥平面AB1CD．AP与平面所成角的正弦最大值为12
【答案】ABD
【分析】根据AP,AA1相交，而AA1//CC1即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为的圆的14，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.
【详解】由于AP,AA1相交，而AA1//CC1，因此AP,CC1为异面直线，A正确，
当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设Px,y,z,M0,0,2,A4,0,0,C0,4,0,C10,4,4,B14,4,4,
故N2x,2y,2z-2， 0≤2x≤4,0≤2y≤4且2z-2=0，
由于MN=4，故2x2+2y2+2z-2-22=16，化简得x2+y2=3，
由于0≤2x≤4,0≤2y≤4，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的14，故长度为32π，B正确，
设M0,0,a,A14,0,4,则N2x,2y,2z-a，0≤2x≤4,0≤2y≤4且2z-a=0，
A1P=x-4,y,z-4,AB1=0,4,4，AC=-4,4,0,
设平面AB1C的法向量为m=m,n,k，则
AB1⋅m=4n+4k=0AC⋅m=-4m+4n=0，令m=1，则m=1,1,-1,
A1P⋅m=x-4+y-z-4=0，故x+y-z=0，
由于MN=4，故2x2+2y2+2z-2a2=16，化简得x2+y2+z2=4，
联立x+y-z=0x2+y2+z2=4⇒x2+y2+xy=2，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误，
由于A1D1⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，故,
又四边形ABB1A1为正方形，所以,
A1B∩A1D1,A1B,A1D1⊂平面，
所以AB1⊥平面，
故平面的法向量为AB1=0,4,4
AP=x-4,y,z，
设AP与平面所成角为θ，则sinθ=csAP,AB1=AP⋅AB1APAB1=y+z2x-42+y2+z2，
则sin2θ=12y2+z2+2yzx-42+y2+z2≤122y2+z2x-42+y2+z2，当且仅当y=z时取等号，
sin2θ≤y2+z2x-42+y2+z2=4-x2x-42+4-x2=4-x220-8x，
x∈0,2时，令20-8x=t>0，则x=20-t8，
故4-x220-8x=4-20-t82t=-144t+t+4064，
由于144t+t≥2144tt=24，当且仅当144t=t，即t=12时等号成立，此时x=1，
由x2+y2+z2=4且y=z可得y=z=62
因此sin2θ≤-144t+t+4064≤-24+4064=14，
由于θ∈0,π2，sinθ≥0，故sinθ的最大值为12，故D正确，、
故选：ABD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题（本题有3个小题，每题5分，共15分。）
12．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为 ．
【答案】60.5
【分析】根据百分位数的计算规则计算可得；
【详解】解：因为12×25%=3，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为20+252=22.5；
又12×80%=9.6，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以22.5+38=60.5
故答案为：60.5
13．已知函数的对称中心是kπ2+π6,0(k∈Z)，则f-π3= ．
【答案】0
【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得ω，进而求得A，从而代入求解即可得解.
【详解】因为f(x)=Acsωx-3sinωx=A2+3cs(ωx+φ)，其中tanφ=3A，
又f(x)的对称中心是kπ2+π6,0(k∈Z)知，则两个相邻的对称中心相距π2，
故f(x)的最小正周期T=π，即ω=2πT=2，则f(x)=Acs2x-3sin2x，
所以fπ6=Acsπ3-3sinπ3=12A-32=0，解得A=3，
故f-π3=3cs-2π3-3sin-2π3=3×-12-3×-32=0.
故答案为：0.
14．斜率为的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点，点T是椭圆上的一点，且满足TA⊥TB，点P,Q分别是△OAT,△OBT的重心，点是△TAB的外心.记直线的斜率分别为k1,k2,k3，若k1k2k3=-18，则椭圆C的离心率为 .
【答案】22
【分析】
取AT,BT的中点C,D，利用点差法可得k3kAB=-b2a2，k1kAT=-b2a2,k2kBT=-b2a2，结合已知求出b2a2即可求出离心率.
【详解】取AT,BT的中点C,D，依题意，点是AB中点，点P,Q分别在OC,OD上，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，由b2x12+a2y12=a2b2b2x22+a2y22=a2b2两式相减得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，
直线AB斜率kAB=y1-y2x1-x2=-1，直线斜率k3=kOR=y1+y2x1+x2，则k3kAB=-b2a2，
直线AT,BT的斜率分别为kAT,kBT，同理k1kAT=-b2a2,k2kBT=-b2a2，又kATkBT=-1，
因此(-b2a2)3=k1kAT⋅k2kBT⋅k3kAB=k1k2k3=-18，解得b2a2=12，
所以椭圆C的离心率e=a2-b2a=1-b2a2=22.
故答案为：22
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解.
四、解答题（本题有5题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分。）
15．已知函数f(x)=lnx+2ax, a∈R，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)a=e
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）分类讨论a的取值范围，结合（1）中结论得到f(x)的最小值，进而得到关于a的方程，解之即可得解.
【详解】（1）因为f(x)=lnx+2axx>0，则f'x=1x-2ax2=x-2ax2，
当a≤0时，f'x>0恒成立，故fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，令f'x=0，得x=2a，
当x∈0,2a时，f'x<0，fx上单调递减；
当x∈2a,+∞时，f'x>0，fx上单调递增；
综上，当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，fx在0,2a上单调递减，在2a,+∞单调递增.
（2）当2a≤1，即a≤12时，由（1）知fx在[1,e]上单调递增，
所以fxmin=f1=2a=3，即a=32（舍去）；
当1<2a所以fxmin=f2a=ln2a+1=3，解得a=e22（舍去）；
当2a≥e，即a≥e2时，由（1）知fx在[1,e]单调递减，
所以fxmin=fe=lne+2ae=1+2ae=3，解得a=e；
综上所述，a=e.
16．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱上一点，AM⊥BA1．
(1)求证：AM⊥平面A1BC；
(2)求二面角B-AM-C的大小；
(3)求点C到平面ABM的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)45°
(3)22
【分析】（1）证明出BC⊥平面AA1C1C，可得出AM⊥BC，由AM⊥A1B，结合直线与平面垂直的判定定理可证明出AM⊥平面A1BC；
（2）方法一：设A1C∩AM=O，由（Ⅰ）得知∠BOC为二面角B-AM-C的平面角，计算出CO，利用锐角三角函数的定义求出∠BOC；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；
（3）方法一：计算出三棱锥M-ABC的体积VM-ABC，设点C到平面ABM的距离为，计算出△ABM的面积，由VC-ABM=VM-ABC可计算出，即点C到平面ABM的距离；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，
又，∴BC⊥AC，
∵AC∩AA1=A，AC⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，
平面AA1C1C，∴AM⊥BC．
∵AM⊥A1B，A1B∩BC=B，A1B、BC⊂平面A1BC，
∴AM⊥平面A1BC；
（2）
方法一：设AM∩A1C=O，连接OB，由（1）知，AM⊥平面A1BC．
∵OB,OC⊂平面A1BC，∴AM⊥OB，AM⊥OC，
∴∠BOC为二面角B-AM-C的平面角，
在Rt△ACM和Rt△AA1C中，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠AA1C=∠MAC，
∴Rt△ACM∽Rt△AA1C，∴ACMC=AA1AC，∴AC2=MC⋅AA1，
∴MC=AC2AA1=62，在Rt△ACM中，AM=AC2+CM2=3+622=322，
∵12AC⋅MC=12AM⋅CO，∴CO=AC⋅MCAM=1，
在Rt△BOC中，tan∠BOC=BCCO=1，∴∠BOC=45∘．
因此，二面角B-AM-C的大小为45°；
方法二：以点C为坐标原点，CA,CB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则A3,0,0，A13,0,6，B0,1,0，
设点M0,0,z1，则AM=-3,0,z1,BA1=3,-1,6,CB=0,1,0，
∵AM⊥BA1，∴AM⋅BA1=-3+6z1=0，解得z1=62，∴M0,0,62.
设平面AMB的一个法向量为m=x,y,z，
由m⋅AM=-3x+62z=0m⋅AB=-3x+y=0，可得y=3xz=2x，
令x=1，则y=3，z=2，∴平面AMB的一个法向量为m=1,3,2．
显然，CB是平面AMC的一个法向量，csm,CB=m⋅CBm⋅CB=36×1=22，
结合图形知，二面角B-AM-C为锐角，它的大小为45°；
（3）方法一：设点C到平面ABM的距离为，易知BO=2，
VM-ABC=13MC⋅S△ABC=13×62×12×3×1=24，
可知S△ABM=12AM⋅BO=12×322×2=32，
∵VC-ABM=VM-ABC，即13h⋅S△ABM=24，∴h=324S△ABM=324×23=22，
因此，点C到平面ABM的距离为22；
方法二：易知点C到平面ABM的距离为m⋅CBm=36=22．
17．已知椭圆C的方程x23+y2=1椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，∠F1PF2=120°.
(1)求△F1PF2的面积；
(2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4=0的距离最短，并求出最短距离.
【答案】(1)
(2)P的坐标为-22,-12，最短距离为2
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解即可；
（2）转化为求出与直线l：x+y+4=0平行的直线x+y+m=0，利用平行线间的的距离求解.
【详解】（1）已知椭圆C的方程为x23+y3=1，
因为点P是椭圆C上的一点，且∠F1PF2=120°，
易得PF1+PF2=23，F1F2=23-1=22，
在△F1PF2中，由余弦定理得cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1⋅PF2=-12，
整理得PF12+|PF22-8=-PF1⋅PF2，
即PF1+PF22-8=PF1⋅PF2，
又PF1+PF2=23，解得PF1⋅PF2=4，
则S△F1PF2=12PF1⋅PF2sin120°=3；
（2）如图，

不妨设与直线l：x+y+4=0平行的直线x+y+m=0与椭圆相切，
联立x23+y2=1x+y+m=0，消去y并整理得4x2+6mx+3m2-3=0，①
因为Δ=(6m)2-163m2-3=0，解得m=±2，
当m=2时，直线l与直线x+y+2=0的距离d=|4-2|2=2；
当m=-2时，直线l与直线x+y-2=0的距离d=4--22=32，
因为2<32，所以m=2符合题意，
将m=2代入①式中，解得x=-32，
当x=-32时，y=-12，则点P的坐标为-32,-12，
故距离的最小值为2.
18．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为12.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为14；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数kk∈0,10来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过23，求n的最大值.
参考数据：0.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.
【答案】(1)718；
(2)1324；
(3)30.
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；
（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；
（3）设抽取次数为X，求出X的分布列和数学期望，利用错位相减法求出EX=1-，判断其单调性，结合特殊值，求出答案.
【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率
P=12×1-13×1-23+1-12×13×1-23+1-12×1-13×23=718.
（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，
则P(C)=P(C)=12,PDC=1-14=34,PDC=1-23=13，
由全概率公式得P(D)=P(C)PDC+P(C)PDC=12×34+12×13=1324.
故丁周日选择B健身中心健身的概率为1324.
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则p=0.12，
设抽取次数为X，则X的分布列为
故EX=p+1-pp×2+(1-p)2p×3+⋯+(1-p)n-2p×n-1+(1-p)n-1×n，
又1-pEX=1-pp+(1-p)2p×2+(1-p)3p×3+⋯+(1-p)n-1p×n-1+(1-p)n×n，
两式相减得pEX=p+1-pp+1-p2p+⋯+1-pn-2p+1-pn-1p，
所以EX=1+1-p+1-p2+⋯+1-pn-2+1-pn-1
=1-1-pnp=1-1-pn1+np=1-，
而EX=1-在n∈N*时单调递增，
可知当n=29时，EX=1-≈1-；
当n=30时，EX=1-≈1-；
当n=31时，EX=1-≈1-
若抽取次数的期望值不超过23，则n的最大值为30.
19．定义：maxa,b=a,a≥b,b,a(1)若，a3=3，求a1，a4的值；
(2)若∀n∈N*，，使得an≤ak恒成立．探究：是否存在正整数p，使得ap=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{an}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N*,an≤A．
【答案】(1)a1=1，a4=1或a4=5
(2)p∈{k+1,k+2}
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据题意，由定义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为ak≤maxak+1,ak+2≤ak，即可得到结果；
（3）根据题意，分S=∅与S≠∅讨论，当S≠∅时，再分S为有限集与S为无限集讨论，即可证明.
【详解】（1）依题意，an=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}，显然an≥0；
故a1=max{a2,a3}-min{a2,a3}=1；
a2=max{a3,a4}-min{a3,a4}=2，
即a3-a4=2或a4-a3=2，则a4=1或a4=5．
（2）
∵maxan+1,an+2≥minan+1,an+2，
∴an=maxan+1,an+2-minan+1,an+2≥0,
∵an≤ak对∀n∈N*恒成立，
∴ak+1≤ak,ak+2≤ak,∴maxak+1,ak+2≤ak.
∵ak=maxak+1,ak+2-minak+1,ak+2≤maxak+1,ak+2
∴ak≤maxak+1,ak+2≤ak，
∴maxak+1,ak+2=ak,∴minak+1,ak+2=0，
① 时,
∴当 , 且p>0时,ap=0.
∴p的集合为 且
② 时,
，
，
，
∴当, 且 p>0 时, ap=0.
∴p的集合为 且
③ak+1=0且ak+2=0时, 的集合为 N*
（3）∵an=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}>0，∴an+1≠an+2；
设S={n|an>an+1,n∈N*}，
①若S=∅，则a1≤a2，ai对任意，取n1=[Aa1]①+2（[x]表示不超过x的最大整数），
当n>n1时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a3-a2)+a2=an-2+an-3+⋯+a1+a2≥(n-1)a1>(n1-1)an=([Aa1]+1)a1>Aa1⋅a1=A；
②若S≠∅，
ⅰ）若S为有限集，设m=max{n|an>an+1,n∈N*}，am+i对任意，取n2=[Aam+1+m+1]（[x]表示不超过x的最大整数），
当n>n2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(am+2-am+1)+am+1=an-2+an-3+⋯+am+am+1≥(n-m)am+1>(n2-m)am+1=([Aam+1]+1)am+1>Aam+1⋅am+1=A；
ⅱ）若S为无限集，设p1=min{n|an>an+1,n∈N*}，pi+1=min{n|an>an+1,n>pi}(i∈N*)，
若，则，又api故pi+1-pi≥2(i∈N*）；
记mi=api+1(i∈N*）；
当时，api>api+1，api+1api+3；
因为，所以mi+1=api+1+1=a(pi+2)+1=api+3=api+2-api+1=api>api+1=mi；
当时，api>api+1，api+1api+1+1
因为，故mi+1=api+1+1=api+1-api+1-1=api+1-2≥api+1=mi；
因为，故api+1+2=api+1-api+1+1=api+1+mi+1≥api+1+m1≥api+2+m1，
故对任意，取n3=[Am1]+1，当时，apk+2=(apk+2-apk-1+2)+(apk-1+2-apk-2+2)+…+(ap2+2-ap1+2)+ap1+2≥(k-1)m1+ap1+2>km1>([Am1+1])m1>Am1⋅m1=A；
综上所述，不存在实数A，使得∀n∈N*,an≤A．
综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有an≤A．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定于与数列综合问题，难度较大，解答本题的关键在于理解新定义的概念，以及结合数列的知识解答.
X
1
2
3
⋯
n-1
n
P
(1-p)2p
⋯
(1-p)n-2p
(1-p)n-1