2024年江苏省南通市启东市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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考生在答题前请认真阅读本注意事项
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1. -4的相反数是（ ）
A. B. C. 4D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解．
【详解】-4的相反数是4，
故选：C．
【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
3. 下列式子中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱
【详解】主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱
A、B、C选项不符合题意，D符合题意．
故选D．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
5. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
把代入原方程，可得，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6. 如图，数轴上点，分别对应2，4，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得：
OB=2，BC=1，
则OC=,
故点M对应的数是：，
故选B.
【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出OC的长是解题关键．
7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
8. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
过B作轴于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数，在第一象限内的图像经过点B，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
10. 如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线x＝﹣5交x轴于，可知，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于，求出的值，即可解题．
【详解】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于，
由题意得，

点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当直线与相切时，的面积最小，
是切线，点是切点，
作于
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质、正切、勾股定理、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合应用．
12. 太阳主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
13. 某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是，
故答案为(答案不唯一).
【点睛】本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
14. 已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于___________度．
【答案】120
【解析】
【详解】扇形面积=圆心角×π×半径平方/360
即 12π=n×π×36÷360 12=n÷10
所以 n=120°．
故答案为120．
15. 如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得，，，则原来的三角形纸片的面积是________．（结果精确到，参考数据：，，．）
【答案】201
【解析】
【分析】先延长直角三角形两边相交于点，利用，求出直角边的长，即可求出三角形纸片的面积．
【详解】如图延长直角三角形的两边相交于点，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案是201．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及三角形的面积，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
16. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等；（盈）：剩下．则库绢共有______匹．
【答案】84
【解析】
【分析】根据“人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹”列出方程组即可．
【详解】解：若设贼有x人，库绢有y匹，
根据题意得：，
解得：，
∴库绢共有84匹，
故答案为：84．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组，难度不大．
17. 已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接，如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C恰好落在边上，那么的长 ___________．
【答案】2或##或
【解析】
【分析】过点E作于F，则四边形是矩形，得出，由折叠的性质得出，，证明，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，求出，，由，即可得出结果；
【详解】解：过点E作于F，如图所示：
则四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
∴，，
∴，
解得：或，
∴或．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了矩形判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、一元二次方程的解法，三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，，若，，若点到轴的距离为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可作出以为直径的，根据已知条件及圆的相关知识可得答案．
【详解】解：如图，在平面直角坐标系中作出以为直径的，
设直线与相切于点，则垂直于直线，
根据三角形内角和定理可知，要使得取得最小值，则需取得最大值．
点到轴的距离为，而为半径，
，
点的坐标为，
，
为以为直径的圆的一个圆周角，
．
在直线上任取一点不同于点的一点，连接，交于点，连接，
则，
，
的最大值为，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的相关性质，直径所对的圆周角是直角、三角形的内角和及外角性质等知识点，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19. （1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：（1）
由①得，，
由②得，．
∴原不等式组的解集．
（2）解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入，
∴是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
20. 如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题．
【详解】证明：（1）∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS）．
（2）连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
七、八年级测试成绩分析统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_________，_________，_________；
（2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
（3）如果把的记为“优秀”，把的记为“合格”，学校规定两项成绩按计算．通过计算比较哪个年级得分较高？
【答案】（1），，
（2）八年级总体水平较为好些；理由见解析
（3）七年级得分较高
【解析】
【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出，的值，根据中位数定义可求出；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）根据加权平均数的定义计算，从而得出答案．
【小问1详解】
解：八年级的10名学生中有8名学生成绩低于90分，
，
根据众数的定义可知：，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：2，85，84；
【小问2详解】
八年级好些
七八年级成绩的平均数相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，所以八年级总体水平较为好些
【小问3详解】
七年级得分：
八年级得分：
∴七年级得分较高．
【点睛】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．
(1)利用公式计算即可．
(2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【小问1详解】
一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性，
故抽到决策类人工智能的卡片的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种．
故两张卡片中不含D卡片的概率是．
23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．
（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，，
是的切线．
（2）连接，易知，
由（1）可知，故M为的中点，
，
，
在中，，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
24. 为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
【答案】（1）y=﹣2x2+36x（0【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600，可得a+7b=1500，推出b的最大值为214，此时a=2，再求出实际植物面积即可判断.
【详解】（1）y=x（36﹣2x）=﹣2x2+36x（0（2）由题意：﹣2x2+36x=160，
解得x=10或8，
∵x=8时，36﹣16=20＜18，不符合题意，
∴x的值为10；
（3）∵y=﹣2x2+36x=﹣2（x﹣9）2+162，
∴x=9时，y有最大值162，
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600，
∴a+7b=1500，
∴b的最大值为214，此时a=2，
需要种植的面积=0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214=162.8＞162，
∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的性质等是解题的关键．
25. 如图，在矩形中，，M是对角线上的动点，过点M作的垂线交折线于点N，当点N不和点A，C，D重合时，以为边作等边，使点P和点D在直线的同侧，设．

（1）若点N落在边上，求等边的边长（用含m的代数式表示）．
（2）若点P落在的边上，求m的值．
（3）作直线，若点M，N关于直线的对称点分别为，，，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）1或
【解析】
【分析】（1）在中利用正切函数关系即可求得，从而求得等边的边长；
（2）依题意可得，则可求得的长，另一方面，由矩形的性质及已知，在中，可求得，由建立方程即可求得m的值；
（3）分两种情况：点N在上；点N在上，分别计算即可．
【小问1详解】
解：在矩形中，，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
当P落上时，如图，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∴由得：，
∴．
【小问3详解】
分两种情况：
①当N在上时，如图，，延长、交于同一点E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对称得：，
∴，
中，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
②当N在上时，如图，

当时，在上，延长、，交上同一点为E，
∴，
∴，
由对称知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
在与中，
，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
解得，
则时m的值为1或．
【点睛】本题是四边形动点问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，等边三角形的性质等知识，灵活运用它们是关键，注意分类讨论．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，得到，然后由求出，得到，过点作，垂足为，，设点坐标为，根据题意分点在第四象限和点在第三象限两种情况讨论，分别求解即可；
（3）过点作，同时使得，连接，证明出，得到，得到，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
把，，代入
得，
解得得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，
∵为的角平分线，轴，
∴，，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又
，即
在中，
又，
过点作，垂足为，
设点坐标为
①若点在第四象限时，
或（舍）
．
②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点
综上所述，或；
【小问3详解】
如图，过点作，同时使得，连接
，
又
，
过点作，垂足为，
，
在中，，
，，
在中，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．七年级
3
4
3
八年级
1
7
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
36.4
八年级
84
84
18.4
甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4