2022-2023学年四川省成都市简阳市高级职业中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省成都市简阳市高级职业中学高二（上）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2，3，4}B．{2，3}C．{1}D．{4}
2．（4分）“”是“α＝45°”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既不充分也非必要条件
3．（4分）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．（4分）若α＝2008°，则下列命题正确的是（ ）
A．csα＞0，sinα＞0B．csα＞0，sinα＜0
C．csα＜0，sinα＜0D．csα＜0，sinα＞0
5．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则a5的值是（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．（4分）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，如（1101）2表示成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么二进制数（1111…11）2（共100个1）表示的十进制数为（ ）
A．2101﹣1B．2100﹣1C．2100D．299﹣1
7．（4分）曲线C的方程为x2﹣xy+2y+1＝0，下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，6）
8．（4分）已知向量＝（2，4），＝（1，x），若，则x的值（ ）
A．B．C．2D．﹣2
9．（4分）已知向量＝（1，m），＝（m，2），若∥，则m＝（ ）
A．B．C．或D．0
10．（4分）若直线x+y＝2与圆x2+y2＝m（m＞0）相切，则m为（ ）
A．2B．C．D．
11．（4分）过点A（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x+y﹣5＝0C．x+2y﹣5＝0D．x﹣2y+7＝0
12．（4分）直线6x﹣9y+2＝0与6x+4y+3＝0的位置关系是（ ）
A．重合B．平行
C．垂直D．相交但不垂直
13．（4分）已知圆的方程为x2+y2﹣8x+2y+12＝0，则它的圆心C和半径r分别是（ ）
A．C（4，﹣1），r＝5B．C（4，﹣1），r＝
C．C（﹣4，1），r＝5D．C（﹣4，1），r＝
14．（4分）已知椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．5C．6D．7
15．（4分）实轴长为6，离心率为，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
16．（4分）求函数的定义域 ．
17．（4分）指数函数f（x）＝ax过点（2，9），则f（﹣1）＝ 。
18．（4分）已知tanα＝2，则＝ ．
19．（4分）数列，，，…，的前十项和s10＝ ．
20．（4分）给出下列命题：
①若P＝{直线}，Q＝{圆}，则P∩Q的元素有0个或1个或2个；
②F1、F2是椭圆C：+＝1的焦点，在C上使△F1PF2为直角三角形的点P的个数为8；
③经过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y﹣3＝0；
④以椭圆内的一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程是x+4y﹣5＝0．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共70分。解答写出文字说明，证明过程或推演步骤）
21．（10分）已知等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32．
（1）求通项an；
（2）若bn＝lg2an，试求数列{bn}的前n项和．
22．（12分）已知，，，＝4，∠AOB＝60°．
求：（1）
（2）．
23．（12分）已知圆x2+y2＝9与直线l交于A、B两点，若线段AB的中点M（2，1）
（1）求直线l的方程；
（2）求弦AB的长．
24．（10分）求与圆x2+y2﹣4x+6y﹣3＝0同心且过点P（﹣1，1）的圆的方程．
25．（13分）已知点A（0，2），B（﹣2，﹣2）．
（1）求过A，B两点的直线l的方程；
（2）已知点A在椭圆C：（a＞b＞0）上，且（1）中直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程．
26．（13分）已知双曲线的渐近线是y＝±x，一条斜率为1的直线过该双曲线的左焦点且与该双曲线交于A、B两点，若线段AB的长为6，求该双曲线的标准方程．
2022-2023学年四川省成都市简阳市高级职业中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．）
1．【答案】A
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：∵，
∴α＝+2kπ，k∈Z或α＝+2kπ，k∈Z，
∴“”是“α＝45°”的必要不充分条件．
故选：B．
3．【答案】B
【解答】解：原式＝lg10﹣1＝1﹣1＝0，
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：由于2008°＝208°+360°×5，
则2008°与208°的终边相同，为第三象限角，
则csα＜0，sinα＜0，
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：∵Sn＝n2+n，
∴a5＝S5﹣S4＝（25+5）﹣（16+4）＝10，
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：二进制数（1111…11）2（共100个1）表示的十进制数为299+298+…20＝＝2100﹣1，
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解：∵曲线C的方程为x2﹣xy+2y+1＝0，
∴当x＝﹣1时，1+y+2y+1＝0，即y＝﹣；
当x＝1时，1﹣y+2y+1＝0，即y＝﹣2；
当x＝2时，4﹣2y+2y+1＝0，此时无解；
当x＝3时，9﹣3y+2y+1＝0，即y＝10．
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：∵＝（2，4），＝（1，x），，
∴2+4x＝0，解得.
故选：A。
9．【答案】C
【解答】解：由向量＝（1，m），＝（m，2），∥，
得2﹣m2＝0，
∴，
故选：C。
10．【答案】A
【解答】解：依题意，圆心坐标（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离为半径，
则，
则m＝2，
故选：A．
11．【答案】A
【解答】解：∵所求直线垂直于直线x﹣2y+3＝0，
∴可设所求直线方程为2x+y+c＝0，
又过点A（﹣1，3），则﹣2+3+c＝0，解得c＝﹣1，
∴所求直线方程为2x+y﹣1＝0．
故选：A．
12．【答案】C
【解答】解：直线6x﹣9y+2＝0化为斜截式方程为y＝x+，
直线6x+4y+3＝0化为斜截式方程为y＝﹣x﹣，
所以斜率乘积为×（﹣）＝﹣1，
所以直线直线6x﹣9y+2＝0与6x+4y+3＝0的位置关系是垂直．
故选：C．
13．【答案】B
【解答】解：将圆的方程为x2+y2﹣8x+2y+12＝0化为标准方程为（x﹣4）2+（y+1）2＝5，
则圆心坐标为（4，﹣1），半径为，
故选：B．
14．【答案】D
【解答】解：∵椭圆，
∴a＝5，b＝4，
设所求距离为d，
∵P到一个焦点的距离为3，
∴2a＝3+d，
∴d＝7，
故选：D．
15．【答案】C
【解答】解：因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线方程为﹣＝1，
因为实轴长为6，离心率为，
所以2a＝6①，e＝＝②，
又c2＝a2+b2③，
解得a＝3，c＝5，b＝4，
所以双曲线的标准方程为﹣＝1．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
16．【答案】（1，3）．
【解答】解：依题意，，
解得1＜x＜3，
故答案为：（1，3）．
17．【答案】.
【解答】解：因为指数函数f（x）＝ax过点（2，9），
所以9＝a2，且a＞0，
所以a＝3，
所以f（x）＝3x，
所以f（﹣1）＝3﹣1＝，
故答案为：.
18．【答案】3.
【解答】解：＝＝＝3，
故答案为：3。
19．【答案】．
【解答】解：∵数列，，，…，，…，
∴前n项的和Sn＝1﹣+﹣+⋯+﹣＝1﹣＝，
∴数列，，，…，的前十项和S10＝，
故答案为：．
20．【答案】②④．
【解答】解：①因为集合P中只有一个元素：直线，集合Q中只有一个元素圆，故P∩Q的元素有0个，①错；
②由椭圆C：+＝1，得，a＝3，b＝，c＝，
∵b＜c＝，
∴以原点为圆心，c＝为半径的圆与椭圆有四个交点，
∴PF1⊥PF2的点P的个数为4个，
又满足PF1⊥F1F2的点P的个数为2个，满足PF2⊥F1F2的点P的个数为2个，故在C上使△F1PF2为直角三角形的点P的个数为8，②对．
③因为y＝2x过（1，2）且在两坐标轴上的截距相等，故③错误；
④设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∵M（1，1）为AB的中点，
∴x1+x2＝2，y1+y2＝2，
∵A，B两点在椭圆上，+4＝16，+4＝16，
两式相减得，（﹣）+（4﹣4）＝0，
∴，＝﹣＝﹣，
∴，kAB＝﹣，
∴直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），
∴直线方程为x+4y﹣5＝0，④正确．
故选：②④．
三、解答题（共6小题，共70分。解答写出文字说明，证明过程或推演步骤）
21．【答案】（1）an＝2n；
（2）n2+n．
【解答】解：（1）∵a2＝4，a5＝32，
∴q3＝8，
∴q＝2，
∵a2＝4，q＝2，
∴a1＝2，
∴an＝2n；
（2）∵an＝2n，bn＝lg2an，
∴bn＝n，
∴数列{bn}的前n项和为n＝n2+n．
22．【答案】（1）10；（2）．
【解答】解：（1）依题意，，
则；
（2）．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由圆x2+y2＝9，得到圆心坐标为（0，0），半径r＝3，
（1）∵线段AB的中点M（2，1），
∴直线AB与直线OM垂直，
又kOM＝＝，
，
∴kAB＝﹣2，
则直线l：y﹣1＝﹣2（x﹣2）即2x+y﹣5＝0；
（2）∵圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，且r＝3，
则|AB|＝2＝2＝4．
24．【答案】（x﹣2）2+（y+3）2＝25．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x+6y﹣3＝0的圆心坐标为（2，﹣3），
则可设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝r2，
又过点P（﹣1，1），
则r2＝（﹣1﹣2）2+（1+3）2＝25，
则所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝25．
25．【答案】（1）y＝2x+2；
（2）.
【解答】解：（1），
即直线AB的斜率为2，
又纵截距为2，
则直线AB的方程为y＝2x+2；
（2）由（1）可知，直线AB与x轴的交点坐标为（﹣1，0），
又直线l过椭圆C的左焦点，
则椭圆C的左焦点坐标为（﹣1，0），
则a2＝b2+1，
又点A（0，2）在椭圆上，
则b＝2，
故a2＝22+1＝5，
则椭圆C的标准方程为.
26．【答案】.
【解答】解：∵双曲线的渐近线是y＝±x，双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为，左焦点为（﹣c，0），
依题意，设直线AB的方程为y＝x+c，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB的方程与双曲线方程联立有，，
消y并整理可得，2x2﹣2cx﹣2c2﹣3λ＝0，
则，
∴＝，
∴5c2+6λ＝18，
又λ+3λ＝c2，
∴20λ+6λ＝18，解得，
∴双曲线的标准方程为.