辽宁省沈阳市五校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市五校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．，则是( )
A.第一或第二象限角B.第二或第四象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第三象限角
2．对于任意非零向量,,若,在上的投影向量互为相反向量,下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
3．2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：cm，cm，cm，若，，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A.B.C.D.
4．已知向量，，若，则( )
A.B.C.D.
5．函数(,)的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中A,B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且，则( )
A.B.C.D.
6．若，则( )
A.2B.C.或D.或
7．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一,剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠,再上下折叠,然后沿半圆弧虚线裁剪,展开得到最后的图形,若正方形ABCD的边长为4,点P在四段圆弧上运动,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．四边形ABCD内接于圆O，，，，下列结论正确的有( )
A.四边形ABCD为梯形
B.四边形ABCD的面积为
C.圆O的直径为7
D.的三边长度可以构成一个等差数列.
10．下列命题正确的是( )
A.向量在向量上的投影为，则
B.已知,，若与的夹角不为锐角，则t的取值范围为
C.点H在所在的平面内，且满足，则点H是的垂心
D.在平面直角坐标系中，，，而且O,A,B三点不共线，则
11．已知函数，则( )
A.在区间单调递增
B.的图象关于直线对称
C.的值域为
D.关于x的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为
三、填空题
12．在中，，则______.
13．设,,是单位向量，且，则的范围为______.
14．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为__________.
四、解答题
15．在中，已知，，.
(1)求B的大小；
(2)若，求函数在上的单调递增区间.
16．已知向量，.
(1)若，求.
(2)若，函数；
(ⅰ)求的值域.
(ⅱ)当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
17．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在区域内参观.在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中M、N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方.经测量得知米，米，米，.记(弧度)，监控摄像头的可视区域的面积为S平方米.
(1)求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；(参考数据)
(2)求S的最小值.
18．在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，的面积为S，且
，.
(1)求的面积S最大值.
(2)求的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.
(1)求A；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：C
2．答案：D
解析：由题意得,在上的投影为,
同理,在上的投影为,
因为任意非零向量,在上的投影向量互为相反向量,
所以,在上的投影互为相反数,
所以,则,即.
故选：D.
3．答案：C
解析：显然为等腰三角形，，，则，，
即，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C.
4．答案：B
5．答案：A
6．答案：A
7．答案：B
解析：以点A为坐标原点,、所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
设点,易知,点P的横坐标x的取值范围是,
又因为,,所以,.
故选：B.
8．答案：D
9．答案：ABD
解析：，，
连接AC，BD，由可得，又因为，所以
显然AB不平行CD即四边形ABCD为梯形，故A正确；
在中，=49
在中由余弦定理可得
解得或（舍去）
故B正确
在中由余弦定理可得
圆的直径不可能是7，故C错误；
在中，，，，满足
的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确.
故选：ABD
10．答案：ACD
11．答案：BCD
解析：对于A：当时，
所以，
因为在上单调递增，又，
所以，
因为，即，所以，即，
所以，所以，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误；
对于B：因为，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：因为，
令，则，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，又，，，
所以，所以的值域为，故C正确；
对于D：当时，所以，
由A选项可令且，
则当时单调递增，
令，即时在上单调递增，且，
所以在上单调递减，
又，令，即时在上单调递减，且，
所以在上单调递增，
当，即时在上单调递减，且，
所以在上单调递减，
又，，，
所以在上的函数图象如下所示：
由图可知：
①当时与有且仅有一个交点，
即关于的方程在区间的实数根为；
②当或时与有两个交点，
即关于x的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称，
所以两根之和为；
③当时与有四个交点，
即关于x的方程在区间有四个实数根，不妨设为，，，且，
所以与关于对称，与关于对称，
所以；
④当或时与无交点，
即关于x的方程在区间无实数根；
综上可得，若关于x的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确；
故选：BCD.
12．答案：
13．答案：
14．答案：2
解析：由题图可知，（T为的最小正周期），得，所以，所以.点可看作“五点作图法”中的第二个点，则，得，所以，所以，，所以，即，可得或，所以或.当时，，，不符合题意；当时，，，符合题意.所以满足题意的最小正整数x为2.
15．答案：(1)或
(2),,
解析：(1)在中，由正弦定理可得：
，即
解得，又，故或.
(2)由，可得，故，
令,，
解得,
由于，取，得；
取，得；
取，得；
故在上的单调递增区间为,,.
16．答案：(1)
(2)(ⅰ)
(ⅱ)或
解析：(1)向量，.
即
，.
(2)，，
设，,.
(ⅰ)设
由二次函数性质可得：，
故的值域为.
(ⅱ)当取最小值时，即,，此时，
设，，
解得或.
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)方法一：在中，，米，，，由正弦定理得，
所以，
同理，在中，由正弦定理得，
所以，
所以的面积
当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，
所以.
综上可得,.
方法二：在中，，米，，，由正弦定理可知，
所以，
在中，由正弦定理可知：
所以
所以.
又点P到的距离为
所以的面积
当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，
所以.
综上可得,.
(2)当即时，
S取得最小值为.
所以可视区域面积的最小值为平方米.
18．答案：(1)
(2)
解析：，
，，
，
(1)由余弦定理得，即，
所以，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，
；
当且仅当时，S最大值为.
(2)由正弦定理得
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，，
解得，
则，，
.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由已知中，即，
故，由正弦定理可得.
故直角三角形，即.
(2)由(1)，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设,,，
由得：
，
整理得，
则
.
(3)点P为的费马点，则，
设,,,,,，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，
而,，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或(舍去)，
故实数t的最小值为.