09，2024年陕西省西安市曲江第一中学中考模拟数学试题

这是一份09，2024年陕西省西安市曲江第一中学中考模拟数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解．
考查了有理数的减法，方法指引：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数．
【详解】解：．
故选：B．
2. “福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
【详解】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C：是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意 ；
D：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，直线，的顶点B在上，若，则为（ ）该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键．先求出的余角，利用平行线性质可求．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式运算法则是解题的关键．
【详解】，
故选：C．
5. 如图，在中，，，为边上一点，且，若，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC,垂足为E．根据等腰三角形的性质先求出DE，再在直角△ABE中求出BE,求BE与DE的差可得结论．
【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E．
∵AD=AC，AE⊥BC，
∴DE=CE=DC=2．
在Rt△ABE中，
∵AB=10，，
又∵，
∴BE=6．
∴BD=BE-DE=6-2=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
6. 若一次函数的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质．
根据一次函数的性质可得，把各选项的点的坐标分别代入解析式一次函数，求出k的值，即可判断．
【详解】∵y随着x的增大而增大，
∴．
A选项：当点A的坐标为时，，
解得：，不符合题意；
B选项：当点A的坐标为时，，不符合题意；
C选项：当点A的坐标为时，，
解得：，符合题意；
D选项：当点A的坐标为时，，
解得：，不符合题意．
故选：C
7. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接CD，根据AB=BC，得∠BAC=∠BCA=30°，∠ABC=120°，根据圆的内接四边形对角互补，得∠D=60°，根据AD是直径，得到Rt△ACD，利用60°的正弦计算即可．
【详解】如图，连接CD，
∵AD是的直径，
∴∠ACD=90°，
∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=30°，∠ABC=120°，
∴∠D=60°，
∴AC=ADsin60°=10×=，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角，特殊角的三角函数，灵活运用圆的内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角，特殊角的三角函数是解题的关键．
8. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查点坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
又知抛物线过，
，
解得：，
，
把代入，
解得：，
故两壁灯之间水平距离为．
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 在实数，0，，，中，其中为无理数的是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：，是整数，是分数，它们不是无理数；
，是无限不循环小数，它们是无理数；
故答案为：，．
10. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______．
【答案】1620°
【解析】
【分析】边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】根据多边形的内角和公式，得．
故答案为：1620°．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不太．
11. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了_______（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】根据弧长的计算公式计算半径为，圆心角为所对应的弧长即可．
【详解】由题意得，重物“甲”上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中有一个等边，边长为4，O为边的中点，点A在第二象限，边与x轴正半轴的夹角为，过点A的双曲线表达式为，则_________．
【答案】-6
【解析】
【分析】如图所示，连接OA，过点A作AD⊥x轴于D，设AC与y轴交于点E，求出OA的长，再证明∠DAO=45°=∠AOD，得到AD=OD，即可求出，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，过点A作AD⊥x轴于D，设AC与y轴交于点E，
∵边与x轴正半轴的夹角为，
∴∠EOC=45°，
∵△ABC是等边三角形，O是BC的中点，
∴AO⊥OC，即∠AOC=90°，，
∴∠AOE=45°，，
∴∠AOD=45°，
∴∠DAO=45°=∠AOD，
∴AD=OD，
在Rt△AOD中，，
∴，
∴，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
13. 如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．过点作，使，连接，，，则为等腰直角三角形，进而得，由直角三角形斜边中线的性质得，证和全等得，根据“两点之间线段最短”得，即，则，由此得的最大值为，此时点，，在同一条直线上，过点作交的延长线于，再证为等腰直角三角形，利用勾股定理求出即可得的面积．
【详解】解：过点作，使，连接，，，如图所示：
则，
为等腰直角三角形，
，点为的中点，
，
由勾股定理得：，
在中，，，点是的中点，
，
等腰是以直角边的等腰三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
即，
，
的最大值为，
此时点，，在同一条直线上，过点作交的延长线于，如图所示：
为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
≌，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
即，
，
．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算能力，二次根式的混合运算．关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
【详解】解：


．
15. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为：．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先通分算括号内的，把除法化为乘法，再分解因式约分．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【详解】解：原式

．
17. 如图，点在的边的延长线上，利用尺规作图法在的延长线上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】作图见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的方法作图即可，熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线的判定是解题的关键．
【详解】解：如图，以，为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，交与；
以为圆心，长度为半径画弧，交弧于点；
连接，延长，交于点；

∵，
∴，
∴点即为所求．
18. 如图，中，E、F是对角线B、D上两点，若，请说明与的关系．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形性质与全等三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即,可得．
【详解】解：猜想：且．
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
即,
∴,
∴且．
19. 从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，圆柱的体积．根据题意，利用体积相等列方程求解即可．
【详解】解：设凉水杯水面下降的高度是，
由题意得：，
解得，
故凉水杯的水面将下降．
20. 如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向区域恰好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
【答案】（1）；（2）树状图见解析，游戏不公平
【解析】
【分析】（1）把区域乙分成相等的两部分，然后根据概率公式求解；
（2）把区域乙分成相等的两部分，画树状图展示所有9种等可能的结果，再求出欣欣胜的概率和荣荣胜的概率，然后比较两概率的大小判断游戏是否公平．
【详解】解：（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率＝＝；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的区域恰好是一次甲区域，一次乙区域的结果数为4，
所以欣欣胜的概率＝；荣荣胜的概率＝，
因为＜，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了概率的计算，画树状图或列表法求概率判断游戏的公平性，熟练掌握概率的计算是解题的关键．
21. 年月日，云南人桂海潮乘坐神舟号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想！云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共个两种模型均需购买，要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的倍．通过市场调研，已知火箭模型每个元，空间站模型每个元．设购买火箭模型个，购买总费用为元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）且为整数；
（2）购买火箭模型个，空间站模型个可以使总费用最低，最低费用为元．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是找到等量关系列出函数解析式．
（1）设购买火箭模型个，则购买空间站模型个，然后根据两种模型的费用之和即为总费用列得关系式，再结合已知条件求得自变量的取值范围即可；
（2）根据一次函数的增减性即可求得答案．
【小问1详解】
解：设购买火箭模型个，则购买空间站模型个，
由题意得，，
，且为整数，
且为整数，
∴且为整数；
【小问2详解】
解：，
随增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为：，
此时，
∴购买火箭模型个，空间站模型个可以使总费用最低，最低费用为元．
22. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 ，中位数是 ；
（3）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数．
【答案】（1）50，补全统计图见解析
（2）10，12.5 （3）220
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求众数，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数，进而补全统计图即可；
（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，由此可知众数；中间两个数据的平均数即为中位数；
（3）用八年级学生的总人数乘以样本中捐款20元及以上的人数所占比例即可得到答案．
【小问1详解】
解：本次抽查的学生有：（人），
∴捐款10元的有（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：由条形统计图可知，捐款10元人数最多，
∴捐款金额的众数是10，
中位数是（元），
故答案为：10，12.5；
【小问3详解】
（人）；
∴师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数估计有220人．
23. 曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮他求出孔子像的高度．（参考数据：）

【答案】孔子像的高度为72米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数解答即可．
【详解】解：由题意得米，
在中，，
，
，
设米，
在中，，
，
，
解得，
经检验是原方程的解，
米．
答：孔子像的高度为72米．
24. 如图，是的直径，为圆上不与重合的一点，连接并延长与过点的切线相交于点，延长与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查与圆有关的概念和性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）由切线的性质可得，根据圆周角定理可得，进而得出，结合即可得证；
（2）由（1）可得∽，得出，求出，则，证明∽，得出，则，即可求出，进而求出半径．
小问1详解】
证明：是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，即，
，
的半径为：．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且．
（1）求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标；
（2）点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由．
【答案】（1），
（2）抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．
（1）分别求出、、三点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设平移后的函数解析式为，根据平移后的图象经过点，可得方程，再由与全等，可知或或，再分别求出函数经过点时对应的、值即可确定函数的平移过程．
【小问1详解】
解：当时，，
，
，
，
，
，
当时，，
，
将、、三点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
；
【小问2详解】
点是点关于该抛物线对称轴对称，
，
设平移后的函数解析式为，
平移后的图象经过点，
，
与全等，
点与点关于直线对称时，，
当点与点关于直线对称时，，
当点关于直线对称时，，
当时，，
联立得，，，
抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
当时，，
联立得，，，此时与抛物线重合，不符合题意；
当时，，
联立得，，，
抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
综上所述：抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．
26. 问题提出：
（1）如图1，在矩形中，，，P是对角线上的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到，过点M作于N．请过点作于点，并求的长．
问题解决：
（2）某体育中考考点设计器材存放区域，在道路边固定柱子（点Q），道路边确定一点P，以为边，搭建正方形物品存放区域，内部道路上设点E作为专人看管处，、、、分别为不同的器材放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边，道路宽为，Q为上一定点，P为上一动点，于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的？若存在，请求出面积最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的长为；（2）存在，的面积的最小值为，此时
【解析】
【分析】（1）依据题意，如图，过点作于点，证明，推出；
（2）依据题意，如图中，过点作于点，过点作于点证明，推出，，，设，推出，证明，推出，，，推出，可得结论．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，

则．
．
，
．
．
矩形中，，，
，．
．
，
．
绕点逆时针旋转得到，
，．
．
在和中，
，
．
．
故的长为．
（2）如图中，过点作于点，过点作于点．

四边形是正方形，
，．
．
．
，，．
设，
．
，，
．
．
，
．
．
．
，
．
．
，
时，的面积最小，最小值为．
的面积的最小值为，此时．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．