2024年四川省成都市高新区中考数学一诊试题

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1. 在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（ ）
A B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，根据题意得到点A与点B表示的数互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴点A与点B表示的数互为相反数，
又∵点A表示的数为5，
∴点B表示的数是，
故选D．
2. 空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，根据科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，即可求解．
【详解】解：．
故选：B．
3. 用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形解题即可．
【详解】解：用一个平面去截棱柱，截面可能是矩形．
故选A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、平方差公式．熟练掌握以上运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂乘法、单项式除以单项式、平方差公式逐项分析即可求解．
【详解】解：A、与，不是同类项，不能合并，A选项不符合题意；
B、，B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意．
故选：C．
5. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】C
【解析】
【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，
根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7．
故选C
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
即，
解得：．
故选：B．
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程即可求解．
【详解】解：设有人，
则．
故选：A．
8. 如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（ ）

A. B.
C. 的长为πD. 扇形的面积为12π
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，弧长和扇形面积的计算等，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，是等边三角形，利用圆周角定理即可得出，选项A正确；根据说一声就行三线合一的性质即可得出，选项B正确；利用弧长公式求得的长为：，选项C错误；利用扇形面积公式求得扇形的面积为：，选项D正确．
【详解】解：连接，由题意可知，
，
是等边三角形，
，
以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，故A正确，不合题意；
，
，故B正确，不合题意；
，，
的长为：，故C错误，符合题意；
，，
扇形的面积为：，故D正确，不合题意．
故选：C．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 因式分解=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：
=
=，
故答案为．
10. 如图，的一边为平面镜，点在射线上，从点射出的一束光线经上一点反射后，反射光线恰好与平行．现测得入射光线与反射光线的夹角，则的度数为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等及入射角等于反射角，可得，结合平角的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
11. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为____分．
【答案】86
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．
根据加权平均数的计算公式即可得．
【详解】解：由题意，应聘者甲的平均成绩为（分）．
故答案为：86．
12. 若点，都在二次函数的图象上，则____．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比较二次函数值的大小，把自变量的值代入解析式即可求出，的值，比较即可解题．
【详解】解：当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理．推出是解题的关键．
先根据直角三角形中两锐角互余和等角的余角相等得出，，根据全等三角形的判定和性质可得，求得，根据勾股定理求出，．
【详解】解：在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
在中，，
中，．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
15. 为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
（1）分别计算出表中a，b的值；
（2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）的值为, 的值为
（2）人
（3）
【解析】
【分析】本题考查列树状图求概率，扇形统计图和统计表，能从表和图中提取相关信息是解题的关键．
（1）利用“文明宣传”项目的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“敬老服务”所占的百分比求出a的值，然后用总人数减去其他项目人数求出“义卖捐赠”的人数即可求出b；
（2）用样本百分比乘以学校人数即可估计总体；
（3）画出树状图，用概率公式可得答案．
【小问1详解】
(人),
∴参加调查的一共人，
(人)；
(人)
∴的值为, 的值为；
【小问2详解】
解：(人),
答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人；
【小问3详解】
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种，
∴.恰好选中甲、乙两人的概率是
16. 近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，可得，由题意得，四边形是矩形，则，进而得到，解求出，则，再求出，解得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：此时的后备厢门底端到地面的距离为．
17. 如图，是外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径是，
【解析】
【分析】（1）连接、，根据同圆中，等弧所对的弦相等可得，根据等边对等角可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推得，求得，根据切线的判定即可证明；
（2）设的半径为，延长交于点，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合可得，，结合锐角三角形函数可求得，根据勾股定理求出半径，根据相似三角形的判定和性质即可求出．
【小问1详解】
证明：连接、，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
【小问2详解】
解：设的半径为，延长交于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等．根据相似三角形的对应边成比例求出的值是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积；
（3）点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；的坐标为
（2）
（3）的坐标为，或，
【解析】
【分析】（1）将代入得：，，把代入得反比例函数的表达式为；联立可解得点的坐标为；
（2）过作轴于，过作轴交于，由，，，可得，，直线的解析式为，即可得，，故，从而；
（3）由点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，可得，而点关于原点的对称点为点，故，即可求出，，，，根据，知，，，设，可得，解得或，即可得的坐标为，或，．
【小问1详解】
解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为；
联立，
解得或，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：过作轴于，过作轴交于，如图：
，
，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
；
【小问3详解】
解：平面内存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
，
，即，
，，
设，
，
解得或，
的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，则代数式的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、分时的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
先根据已知等式可得，然后化简分式，整体代入求值即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
20. 待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据元素和的数量不变，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中， 即可求出结论．
【详解】根据题意得：，
解得： ，
，
故答案为：
21. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率求法．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值，即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
22. 如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为____．（用含x的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，轴对称的性质，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键.
利用勾股定理，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质得到 利用直角三角形的边角关系定理得到；再利用相似三角形的边角关系定理求得线段则结论可求.
【详解】∵,
∴,，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴,
∴,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴,
∴,
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
23. 对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则与的“捷径距离”的最小值是____，最大值是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，新定义的运算，根据旋转可得中在直线上移动，点在直线上移动，然后画出图形进行计算即可．
【详解】解：由题可知，点在直线上移动，中在直线上移动，点在直线上移动，
如图，当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2；
如图，当点在上时，距离最小的是线段，
连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F，
则，
∴，，
∴，
∴与的“捷径距离”的最小值是，最大值是．
故答案为：，．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．
（1）求每本甲种图书与乙种图书的进价；
（2）如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？
【答案】（1）每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元
（2）最多还能购买本乙种图书
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设每本乙种图书的进价为元，则每本甲种图书的进价为元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设能购买本乙种图书，根据题意列出不等式，结合题意，即可求解．
【小问1详解】
解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元，
由题可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴元，
即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元．
【小问2详解】
解：设能购买本乙种图书，
由题可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为，
故最多还能购买本乙种图书．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；
（3）直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的面积是定值，的面积为
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出 ， 即可求解；
（3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解.
【小问1详解】
解：由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点 则点 ，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则 ，
同理可得：，
，
则
解得： (舍去)或，
当 时，则 ；
【小问3详解】
的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为： ，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得： ，
，
则，
则的面积为定值．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
26. 已知，在菱形中，，分别是，边上的点，线段，交于点．
（1）如图1，，点与点重合，连接；
（i）求证：；
（ⅱ）若为直角三角形，求的值；
（2）如图2，，．当时，求线段的长．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ⅱ）或
（2）
【解析】
【分析】（１）（i）设，根据菱形的性质可得，，推得，根据三角形的外角性质可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明；
（ⅱ）①若，根据菱形的性质可得，，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的性质可得，结合（i）中结论可求得，，解直角三角形可求得；②若，则四边形为正方形，得出点与点重合，求得．
（2）过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，根据平行线的性质以及平行四边形的判定和性质可得，，过点作，在中，设，根据题意和勾股定理可得，，推得点与点重合，求得，结合三角形的外角性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，设，，根据等腰直角三角形的性质可得，解直角三角形求得，，根据，列出方程，解方程解求解．
【小问1详解】
（i）证明：设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（ⅱ）①若，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
故；
②若，如图：
则四边形为正方形，
∴点与点重合，
∴．
【小问2详解】
解：过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
过点作，中，设，则，，
∵，
∴，
∴点与点重合，
则；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等．根据题意得出点与点重合是解题的关键．
项目
人数
环境保护
6
敬老服务
a
文明宣传
8
义卖捐赠
b