四川省成都市新都区2024年中考数学一诊试卷(附参考答案)

这是一份四川省成都市新都区2024年中考数学一诊试卷(附参考答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．-
2．提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．19×108B．1.9×109C．0.19×1010D．1.9×108
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（2x2）3＝6x6
C．4x3÷2x＝2x2D．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
5．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（0，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）
6．2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史•吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．80，79B．80，78C．78，79D．80，80
7．如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：DE＝1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝4，AF＝6，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21B．34C．48D．60
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①当x＜0时，y随x增大而增大；
②该抛物线一定过原点；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＜0；
⑤b＞0．
其中结论正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式：3a3﹣12a= ．
10．如图，直线：y＝2x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则方程组的解为 ．
11．一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 个．
12．如图，经过原点的直线交反比例函数的y=图象于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，当S△ABC＝2时，k的值为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝2，则△ACD的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
15．为提升同学们的综合素质，丰富课余生活，某校举行了“爱新都”为主题的视频制作评比活动．某兴趣小组同学积极参与，计划制作有代表性景点的城市宣传短片，现抽样调查了部分学生，从A锦门民国小镇，B桂湖公园，C宝光寺，D新繁东湖，E泥巴沱公园五个景点中，选出最具有新都代表性的地方，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于 度，并把条形图补充完整；
（2）该校学生共计1500人，请估算出该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数；
（3）该兴趣小组准备从校内四位“优秀共青团员”（两男两女）中，挑选两人作为宣传片中的讲解员，请利用列表或画树状图的方法，求所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
16．某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
17．如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且．
（1）求证：∠ABE＝∠ADG；
（2）若，求EG的长．
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．
（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；
（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数y=的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；
（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．满足的整数x有 个．
20．x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣3x1x2＝ ．
21．将抛物线C1：y＝x2向左平移a（a＞0）个单位长度后，再向下平移b个单位长度，得到新的抛物线C2，若A（﹣a﹣2，y1），B（﹣a+1，y2），C（﹣a+3，y3）为抛物线C2图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系 .（请用“＜”表示）
22．如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ．
23．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且∠MBN＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM'，连接CM'．当线段CM'的长度最小时，∠MM'C的度数为 度．
24．为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米，点A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．O位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与OA的水平距离为1米时，喷出的水柱可以达到最大高度3米．
（1）求出该抛物线的函数表达式；
（2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝ax2+c，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若三角形BOM是以OM为底的等腰三角形，试求出此时点B的横坐标；
（3）若 BA⊥CA，探究直线BC是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
26．如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．
（1）求CE的长度；
（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．
①当DG∥AB时，试求AD的长度；
②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】3a（a+2）（a﹣2）
10．【答案】
11．【答案】6
12．【答案】2
13．【答案】
14．【答案】（1）解：原式=
=
=-
（2）解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝ 时， 原式
15．【答案】（1）80；72
（2）解：1500×＝375（人）．
∴该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数约375人．
（3）解：将2名男生分别记为甲，乙，2名女生分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共8种，
∴所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率为．
16．【答案】解：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，
则BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，ED＝BM，
设AE＝xm，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝xm，
∵BC＝20m，
∴BE＝x+20，
在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，
∴tan22°＝，
∴0.40＝，
解得：x≈13.33，
∴ED＝BM＝1.4m，
∴AF＝13.33+1.4
＝14.73
≈14.7（m）．
答：古城门最高点A距离地面的高度约为14.7m．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
又∵，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，
在Rt△ABD中，
∴，
∴，
由（1）知，△ABE∽△ADG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴，
∴DG＝，
在Rt△DEG中，EG＝.
18．【答案】（1）解：将A（3，m）代入反比例函数得，m＝4，
∴A（3，4），
将点A（3，4）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，
联立直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝得，
∴点B的坐标为（6，2）
（2）解：过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，
∴MP∥NQ，
∴，
∵A（3，4），
∴AP＝4，
∴PQ＝3，
∴N（﹣4，﹣3），
设线AM的解析式为y＝k'x+b'，
∴
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴M（﹣1，0），
∵直线AB的函数表达式为y＝x+6，
令y＝0，则x＝9，
∴H（9，0），
∴S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM＝×4×（1+9）﹣×2×（1+9）＝10
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，
令y＝0，则x＝t，
∴C（t，0），
∵A（3，4），B（6，2），
∴D（t﹣3，2），
∵DE＝2EC，
∴，
过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，
∴DG∥EF，
∴△CEF∽△CDG，
∴，
∴
∴
∴E，
∵D，E都在另一条反比例函数 （k＞0）的图象上，
∴，
∴，
∴.
19．【答案】4
20．【答案】
21．【答案】y2＜y1＜y3
22．【答案】+1；-1
23．【答案】75
24．【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，3）．
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）．
∵抛物线经过点（0，2），
∴a+3＝2．
解得：a＝﹣1．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3
（2）解：∵水流落回水面，
∴抛物线与x轴相交．
∴﹣（x﹣1）2+3＝0．
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝，x﹣1＝﹣．
∴x1＝+1，x2＝1﹣（不合题意，舍去）．
∴该圆形喷水池的半径至少设计为：+1+1＝（+2）米．
答：该圆形喷水池的半径至少设计为（+2）米．
25．【答案】（1）解：将点A、M的坐标代入函数表达式得：
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣1
（2）解：由点O、M的坐标得，直线OM的表达式为：y＝x，
则OM中垂线表达式中的k值为﹣，OM的中点坐标为：（1，），
则直线OM中垂线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+，
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣1＝﹣（x﹣1）+，
解得：x＝，
即点B的横坐标为：
（3）解：直线BC过定点（0，0），理由：
过点A作x轴的平行线交过点B和y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，
设点B（m，m2﹣1）、C（n，n2﹣1），
∵BA⊥CA，
∴∠BAM+∠CAN＝90°，
∵∠ACN+∠CAN＝90°，
∴∠ACN＝∠BAM，
∴tan∠ACN＝tan∠BAM，
即， 即，
整理得：mn＝﹣1，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣1＝（m+n）x﹣mn﹣1＝（m+n）x，
当x＝0时，y＝（m+n）x＝0，
即直线BC过定点（0，0）．
26．【答案】（1）解：如图1，取AB的中点为H，连接EH、HC，设AC交BE于点N，
∵AC＝2BC＝4，
∴BC＝2，
∵∠F＝90°，BF＝CF，
∴△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，
∴BF＝CF＝，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵BE⊥AE，AE＝BE，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABN＝∠NCE，
∵∠ANB＝∠CNE，
∴∠BAC＝∠BEF，
∴tan∠BAC＝tan∠BEF，
∵tan∠BAC＝，
∴tan∠BEF＝，
∴EF＝2BF＝2，
∴CE＝EF﹣CF＝2﹣＝
（2）解：①如图2，过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，
则∠DMG＝90°，
由（1）得：∠ACE＝45°，
∴△CMD是等腰直角三角形，
∴CD＝DM，
∵△BCF、△BGD都是等腰直角三角形，
∴DG＝BG，∠BGD＝90°，∠DBG＝∠CBF＝45°，，
∴∠DBG﹣∠CBG＝∠CBF﹣∠CBG，
即∠DBC＝∠GBF，，
∴△DBC∽△GBF，
∴∠BCD＝∠BFG＝90°，，
∴CD＝FG，
∴DM＝FG，
∵∠BFE＝90°，
∴点G在EF上，
∵DG∥AB，∠BGD＝90°，
∴∠GBA＝90°，
∵∠ABE＝45°，∠DBG＝45°，
∴D在BE上，
∵tan∠BAC＝，
∴，
∴AK＝2DK，
∴AD＝，
∵DK⊥AB，∠ABE＝45°，
∴△BKD是等腰直角三角形，
∴DK＝BK，
∵AK＝2DK，AB＝AK+BK，
∴DK＝AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴DK＝，
∴AD＝
②HG存在最小值，理由如下：
如图3，过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，
由①得：点G在EF上运动，
当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，
设AC交BE于点N，则N与①中的D重合，
由①得：AN＝，
∵△AEB是等腰直角三角形，
∴AE＝，
∵点H为AB的中点，
∴EH＝，
∴sin∠ENA＝，
设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，
∵∠EAN＝∠ABE+∠BAC＝45°+α，
∴∠HEF＝∠EAN，
在Rt△PEH中，PH＝EH•sin∠HEF＝EH•sin∠ETA＝
∴HG的最小值为．