陕西省宝鸡联盟2023-2024学年高二上学期阶段性检测（二）数学试题(含答案)

这是一份陕西省宝鸡联盟2023-2024学年高二上学期阶段性检测（二）数学试题(含答案)，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知双曲线，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．过点的等轴双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（ ）
A．8B．16C．D．
5．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于A，B两点，为线段AB的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（ ）
A．2B．3C．6D．
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的右顶点为，下顶点为B，O为坐标原点，且点到直线AB的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为D．双曲线的渐近线方程为
10．已知方程表示曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件
B．“”是“曲线为椭圆”的充要条件
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．当直线与轴垂直时，B．的周长为
C．的内切圆的面积的最大值为D．的最小值为4
12．已知圆与直线相交于C，D两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．若，则的面积为
C．的最小值为
D．的面积的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的一条渐近线的斜率是2，则的值为__________．
14．若抛物线与椭圆有相同的焦点，则正数的值为__________．
15．若圆与圆相交，则正数的取值范围为__________．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知点，直线．
（1）求经过点且与直线平行的直线方程；
（2）求经过点且与直线垂直的直线方程．
18．（本小题满分12分）
（1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线经过点（为正数），为抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点为抛物线上一动点，点为线段FQ的中点，求点的轨迹方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，为等边三角形，，．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知动圆过定点，且在轴上截得弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点P，Q，若轴是的角平分线，证明：直线过定点．
2022级高二阶段性检测卷（二）
数学参考答案、提示及评分细则
1．D直线斜率为，所以该直线方程为，即，故选D．
2．C，，准线方程为．
3．A设双曲线的方程为，代入点的坐标，有，故所求双曲线的方程为，标准方程为．故选A．
4．B由椭圆的定义可知，，则的周长为，故选B．
5．C抛物线的焦点，准线，
过点作准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，连接PF，如图，
于是，在抛物线上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接，
则有，当且仅当点与点重合且为时取等号，
所以的最小值为．故选C．
6．D设，，则，，因为，①；，②
①-②得，
所以，又，所以，又，解得，，所以椭圆的方程为，故选D．
7．A由，，有，，，则到BC的距离为，故选A．
8．B由题意知，，所以直线AB的方程为，所以，所以，所以．故选B．
9．BC双曲线的实轴长为，故A错误；因为，所以，所以的焦距为，故B正确；的离心率，故C正确；的渐近线方程为，故D错误．故选BC．
10．AD对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选A正确；
对于B选项，若曲线表示为椭圆，则，可得且，故选项B错误；
对于C选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，有，可得，故选C错误；对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，有可得，故选项D正确．故选AD．
11．ACD当直线与轴垂直时，直线的方程为，所以，解得，所以，故A正确；
的周长为，故B错误；
当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，最大值，所以的内切圆的半径的最大值，所以的内切圆的面积的最大值为，故C正确；
记的中点为O，，因为，所以，故D正确．故选ACD．
12．ABD直线，所以直线过定点，A选项正确；
易知道，若直线，则，此时直线，到的距离，的面积为，B选项正确；
由直线的斜率一定存在，故不存在最小值，C选项错误；
面积为，当且仅当时，等号成立，D选项正确．故选ABD．
13．由题意，渐近线为，所以，解得．
14．4抛物线的焦点坐标为，有，得．
15．（4，6），可得，解得：．
16．25因为点是椭圆上的一点，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．
17．解：（1）设经过点且与直线平行的直线方程为，
将代入得，所以所求直线方程为；
（2）直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为，
所以经过点且与直线垂直的直线方程为，即．
18．解：（1）由题意，，，
解得，，所以，
所以椭圆的标准方程为或；
（2）若双曲线的方程为，则，，解得，，
所以双曲线的标准方程是；
若双曲线的方程为，则，，解得，，
所以双曲线的标准方程是．
综上，双曲线的标准方程为或．
19．解：（1）由抛物线经过点，可得，可得，
又，可得，解得，，
故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知，则，
设，，根据点为线段FQ的中点，
可得即
由点为抛物线上一动点，可得，
整理可得点的轨迹方程为．
20．（1）证明：不妨设，取的中点为，
则，，同理，
则平面四边形为正方形，，
且，，易求得，
在中，由勾股定理可得，
故与，可得平面；
（2）解：取的中点，连接OM，过作的平行线，由（1）知：，MO，l两两垂直，以为原点，、、方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，
设平面的法向量为，
由，，有取，，，有，又，
故所求线面角的正弦值为．
21．解：（1）由题意可得解得
椭圆的方程为；
（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
由，得，，
，
设，，联立
消元并整理得，
可得，，
，
，，
解得，且满足，
直线的方程为或．
22．解：（1），设圆心，线段的中点为，
由几何图象知，；
（2）点，设，，由题知，，，，
，
直线PQ方程为：，
所以，直线PQ过定点．