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安徽省阜阳师范大学附属西清路中学2022-2023学年下学期八年级数学期中检测卷（含解析）
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这是一份安徽省阜阳师范大学附属西清路中学2022-2023学年下学期八年级数学期中检测卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若0＜a＜1，则下列二次根式有意义的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，以AD为边在△AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．10
4．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2
6．（4分）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
7．（4分）在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）
8．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简|a+b|的结果为（ ）
A．a+bB．﹣a+bC．bD．﹣a﹣b
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A．B．C．D．3
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若+y＝4，则xy＝ ．
12．（5分）已知1＜a＜3，则化简﹣的结果是 ．
13．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠DAO＝30°，则∠BEO为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），．若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××．
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2．
16．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，
（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；
（2）求出这个三角形ABC的面积．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB边的中点，E、C两点恰好关于对角线BD所在的直线对称，∠ADB＝90°，连接DE．
（1）求证：四边形BEDC是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，若AD＝8，求线段EF的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以△ABC的三边分别作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形CAF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
20．（10分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：像，＝7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：；
．
解答下列问题：
（1）请写出一个的有理化因式；
（2）将分母有理化；
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子和的大小．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 ．
②当AB与CD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？证明你的结论．
八、（本题满分14分）
23．（14分）按要求回答下列问题：
发现问题．
（1）如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，易证：EF＝DF+BE．（不必证明）；
（2）类比延伸
①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；
②如图（3），如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 ．（不要求证明）
（3）拓展应用：如图（1），若正方形的ABCD边长为6，，求EF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）若0＜a＜1，则下列二次根式有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、∵0＜a＜1，∴a﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
B、∵0＜a＜1，∴a2﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
C、∵0＜a＜1，∴﹣a﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
D、∵0＜a＜1，∴1﹣a＞0，∴有意义；故符合题意；
故选：D．
3．（4分）在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，以AD为边在△AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．10
【解答】解：∵在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，
∴AD＝＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝52＝25，
故选：B．
4．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解；①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故②不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．
能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；
故选：C．
5．（4分）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2
【解答】解：A、当BE＝FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF＝ED，
∴BE＝DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1＝∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：C．
6．（4分）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）
【解答】解：当以OB为对角线时，点C的坐标为（3，﹣3）；
当以OD为对角线时，点C的坐标为（﹣3，3）；
当以BD为对角线时，点C坐标为（7，3）；
综上所述，点C的坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）；
故选：C．
8．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简|a+b|的结果为（ ）
A．a+bB．﹣a+bC．bD．﹣a﹣b
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∵|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|＝﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b，
故选：D．
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE⊥BC，
∴，∠BAE＝∠CAE＝30°，
在Rt△AEB中，，
同理可证，∠DAF＝∠CAF＝30°，，
∴∠EAF＝60°，，
∴△AEF是等边三角形，边长为，
∴△AEF的周长是，
故选：B．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若+y＝4，则xy＝ 16 ．
【解答】解：由题意可知：
∴x＝2
∴y＝4
∴原式＝24＝16
故答案为：16；
12．（5分）已知1＜a＜3，则化简﹣的结果是 2a﹣5 ．
【解答】解：﹣＝﹣，
∵1＜a＜3，
∴1﹣a＜0，a﹣4＜0，
∴﹣＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．
故答案为：2a﹣5．
13．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠DAO＝30°，则∠BEO为 75° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵∠DAO＝30°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAO＝15°，∠BAC＝60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，
∴．
故答案为：75°．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），．若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 （﹣1，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（，0） ．
【解答】解：∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为（a，0），
∵B（3，0），A（1，），
∴BP2＝（3﹣a）2，
AP2＝（1﹣a）2+（﹣0）2＝（1﹣a）2+3，
AB2＝（1﹣3）2+（﹣0）2＝7，
分三种情况：
当AP＝BP时，
∴AP2＝BP2，
∴（1﹣a）2+3＝（3﹣a）2，
解得：a＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当AP＝AB时，
∴AP2＝AB2，
∴（1﹣a）2+3＝7，
解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），
∴点P的坐标为（﹣1，0）；
当BP＝AB时，
∴BP2＝AB2，
∴（3﹣a）2＝7，
解得：a＝3﹣或a＝3+，
∴点P的坐标为（3﹣，0）或（3+，0）；
综上所述：点P的坐标为（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）或（，0），
故答案为：（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）或（，0）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××．
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2．
【解答】解：（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××
＝1+﹣2+1××3
＝1+﹣2+
＝2﹣1；
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2
＝5﹣1﹣（1+5﹣2）
＝4﹣6+2
＝2﹣2．
16．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；
（2）a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝﹣）（3+2）（3﹣2）
﹣＝32﹣1
＝31．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，
（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；
（2）求出这个三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3
＝9﹣1﹣﹣3
＝．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB边的中点，E、C两点恰好关于对角线BD所在的直线对称，∠ADB＝90°，连接DE．
（1）求证：四边形BEDC是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，若AD＝8，求线段EF的长．
【解答】（1）证明：∵E、C两点关于直线BD对称，
∴BE＝BC，DE＝DC
∵∠ADB＝90°，E是AB边的中点，
∴，
∴BE＝DE＝BC＝CD，
∴四边形BEDC是菱形．
（2）解：∵点F是菱形BEDC的对角线交点，
∴点F是BD中点，
∴EF是△BAD的中位线
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以△ABC的三边分别作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形CAF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
【解答】证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，
即∠BCA＝∠FCE，
在△BCA和△ECF中，
，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB＝EF，
∵AB＝AD，
∴AD＝EF，
同理DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
20．（10分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：像，＝7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：；
．
解答下列问题：
（1）请写出一个的有理化因式；
（2）将分母有理化；
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子和的大小．
【解答】解：（1）的一个有理化因式为+；
（2）原式＝＝＝8﹣3；
（3）﹣＝，﹣＝，
∵+＞+＞0，
∴＞，
即﹣＞﹣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件 AB＝CD 时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ．
②当AB与CD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG＝CD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为：AB＝CD；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形．
八、（本题满分14分）
23．（14分）按要求回答下列问题：
发现问题．
（1）如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，易证：EF＝DF+BE．（不必证明）；
（2）类比延伸
①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；
②如图（3），如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF ．（不要求证明）
（3）拓展应用：如图（1），若正方形的ABCD边长为6，，求EF的长．
【解答】（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）解：①不成立，结论：EF＝DF﹣BE．
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②结论：BE＝EF+DF．
理由：如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF；
（3）解：由（1）可知AE＝AG＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴＝＝3．
∴BE＝DG＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴EF＝2+3＝5．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若0＜a＜1，则下列二次根式有意义的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，以AD为边在△AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．10
4．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2
6．（4分）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
7．（4分）在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）
8．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简|a+b|的结果为（ ）
A．a+bB．﹣a+bC．bD．﹣a﹣b
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A．B．C．D．3
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若+y＝4，则xy＝ ．
12．（5分）已知1＜a＜3，则化简﹣的结果是 ．
13．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠DAO＝30°，则∠BEO为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），．若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××．
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2．
16．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，
（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；
（2）求出这个三角形ABC的面积．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB边的中点，E、C两点恰好关于对角线BD所在的直线对称，∠ADB＝90°，连接DE．
（1）求证：四边形BEDC是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，若AD＝8，求线段EF的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以△ABC的三边分别作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形CAF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
20．（10分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：像，＝7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：；
．
解答下列问题：
（1）请写出一个的有理化因式；
（2）将分母有理化；
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子和的大小．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 ．
②当AB与CD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？证明你的结论．
八、（本题满分14分）
23．（14分）按要求回答下列问题：
发现问题．
（1）如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，易证：EF＝DF+BE．（不必证明）；
（2）类比延伸
①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；
②如图（3），如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 ．（不要求证明）
（3）拓展应用：如图（1），若正方形的ABCD边长为6，，求EF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）若0＜a＜1，则下列二次根式有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、∵0＜a＜1，∴a﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
B、∵0＜a＜1，∴a2﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
C、∵0＜a＜1，∴﹣a﹣1＜0，∴无意义；故不符合题意；
D、∵0＜a＜1，∴1﹣a＞0，∴有意义；故符合题意；
故选：D．
3．（4分）在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，以AD为边在△AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．25C．7D．10
【解答】解：∵在Rt△AED中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，
∴AD＝＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝52＝25，
故选：B．
4．（4分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解；①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故②不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．
能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；
故选：C．
5．（4分）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠2
【解答】解：A、当BE＝FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF＝ED，
∴BE＝DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1＝∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：C．
6．（4分）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）
【解答】解：当以OB为对角线时，点C的坐标为（3，﹣3）；
当以OD为对角线时，点C的坐标为（﹣3，3）；
当以BD为对角线时，点C坐标为（7，3）；
综上所述，点C的坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）；
故选：C．
8．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简|a+b|的结果为（ ）
A．a+bB．﹣a+bC．bD．﹣a﹣b
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∵|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|＝﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b，
故选：D．
9．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．则△AEF的周长是（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE⊥BC，
∴，∠BAE＝∠CAE＝30°，
在Rt△AEB中，，
同理可证，∠DAF＝∠CAF＝30°，，
∴∠EAF＝60°，，
∴△AEF是等边三角形，边长为，
∴△AEF的周长是，
故选：B．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若+y＝4，则xy＝ 16 ．
【解答】解：由题意可知：
∴x＝2
∴y＝4
∴原式＝24＝16
故答案为：16；
12．（5分）已知1＜a＜3，则化简﹣的结果是 2a﹣5 ．
【解答】解：﹣＝﹣，
∵1＜a＜3，
∴1﹣a＜0，a﹣4＜0，
∴﹣＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．
故答案为：2a﹣5．
13．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠DAO＝30°，则∠BEO为 75° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵∠DAO＝30°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAO＝15°，∠BAC＝60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝OB＝BE，
∴．
故答案为：75°．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），．若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为 （﹣1，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（，0） ．
【解答】解：∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为（a，0），
∵B（3，0），A（1，），
∴BP2＝（3﹣a）2，
AP2＝（1﹣a）2+（﹣0）2＝（1﹣a）2+3，
AB2＝（1﹣3）2+（﹣0）2＝7，
分三种情况：
当AP＝BP时，
∴AP2＝BP2，
∴（1﹣a）2+3＝（3﹣a）2，
解得：a＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当AP＝AB时，
∴AP2＝AB2，
∴（1﹣a）2+3＝7，
解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），
∴点P的坐标为（﹣1，0）；
当BP＝AB时，
∴BP2＝AB2，
∴（3﹣a）2＝7，
解得：a＝3﹣或a＝3+，
∴点P的坐标为（3﹣，0）或（3+，0）；
综上所述：点P的坐标为（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）或（，0），
故答案为：（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）或（，0）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××．
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2．
【解答】解：（1）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2024××
＝1+﹣2+1××3
＝1+﹣2+
＝2﹣1；
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣）2
＝5﹣1﹣（1+5﹣2）
＝4﹣6+2
＝2﹣2．
16．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；
（2）a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝﹣）（3+2）（3﹣2）
﹣＝32﹣1
＝31．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，
（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；
（2）求出这个三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3
＝9﹣1﹣﹣3
＝．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB边的中点，E、C两点恰好关于对角线BD所在的直线对称，∠ADB＝90°，连接DE．
（1）求证：四边形BEDC是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，若AD＝8，求线段EF的长．
【解答】（1）证明：∵E、C两点关于直线BD对称，
∴BE＝BC，DE＝DC
∵∠ADB＝90°，E是AB边的中点，
∴，
∴BE＝DE＝BC＝CD，
∴四边形BEDC是菱形．
（2）解：∵点F是菱形BEDC的对角线交点，
∴点F是BD中点，
∴EF是△BAD的中位线
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以△ABC的三边分别作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形CAF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
【解答】证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE，
即∠BCA＝∠FCE，
在△BCA和△ECF中，
，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB＝EF，
∵AB＝AD，
∴AD＝EF，
同理DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
20．（10分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读材料：像，＝7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：；
．
解答下列问题：
（1）请写出一个的有理化因式；
（2）将分母有理化；
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子和的大小．
【解答】解：（1）的一个有理化因式为+；
（2）原式＝＝＝8﹣3；
（3）﹣＝，﹣＝，
∵+＞+＞0，
∴＞，
即﹣＞﹣．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件 AB＝CD 时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ．
②当AB与CD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG＝CD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为：AB＝CD；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形．
八、（本题满分14分）
23．（14分）按要求回答下列问题：
发现问题．
（1）如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，易证：EF＝DF+BE．（不必证明）；
（2）类比延伸
①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；
②如图（3），如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF ．（不要求证明）
（3）拓展应用：如图（1），若正方形的ABCD边长为6，，求EF的长．
【解答】（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）解：①不成立，结论：EF＝DF﹣BE．
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②结论：BE＝EF+DF．
理由：如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF；
（3）解：由（1）可知AE＝AG＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴＝＝3．
∴BE＝DG＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴EF＝2+3＝5．
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