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2023-2024学年河南省新乡市长垣市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省新乡市长垣市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 13B. 7C. 9D. 20
2.下列各式计算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 2−3 2=2C. 3− 2=1D. 12÷ 3=2
3.若7A. 15−2mB. 2m−15C. 5D. −5
4.下列各组数中，不能组成直角三角形的是( )
A. 1, 2， 3B. 4，5，6C. 3，4，5D. 9，12，15
5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为( )
A. 4B. 2或 34C. 4或 34D. 2或2 6
6.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC=90°.则该三角形的三边满足的关系是( )
A. a2+b2=c2B. a2+c2=b2C. b2+c2=a2D. a+b=c
7.如图，在平行四边形ABCD中，BA=BD，∠AEB=90°，若∠C=70°，则∠DAE=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则对角线AC的长是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在BC延长线上，且AE=CF，点M是EF的中点，连接MC，若∠F=α，则∠CMF的度数为( )
A. 60°−α
B. 45°−α2
C. 30°−α2
D. 45°−α
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.式子y=1 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12.若 a−3− 3−a有意义，则a的值为______．
13.已知△ABC中，∠B=90°，若c−a=6，b=2 17，则△ABC的面积为______．
14.如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板.已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m.当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为______m.
15.菱形ABCD的对角线AC=12，S菱形ABCD=48，则AB的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.已知：x= 2+1，y= 2−1，求x2+2xy+y2的值．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1) 27+3 13−3 6× 2；
(2)( 6+2 15)× 3−6 12．
18.(本小题9分)
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE//BC，DE=12BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点．
(1)从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
19.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，AB//CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE=FE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若CD=2 10，BC=6CE=12，BC⊥AC，求BF的长．
20.(本小题9分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
21.(本小题9分)
已知点E是▱ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD=BF．
(1)求证：四边形ABDF为矩形；
(2)若CD=ED=3，请直接写出BD的长．
22.(本小题10分)
阅读下列解题过程：1 5+ 4=1×( 5− 4)( 5+ 4)( 5− 4)= 5− 4( 5)2−( 4)2= 5− 4，1 6+ 5=1×( 6− 5)( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5( 6)2−( 5)2= 6− 5，
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出1 100+ 99= ______；
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3)利用上面的解法，请化简：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+??+1 98+ 99+1 99+ 100．
23.(本小题10分)
【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是m米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为n米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含有x的式子表示AC为______米；
(2)若m=6米，n=12米，请你求出旗杆的高度．
(3)保持(2)条件不变，小明在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小明手臂伸直后的高度EF为2米，问小明需要后退几米？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：A、 (−2)2=2，原计算错误，不符合题意；
B、 2−3 2=−2 2，原计算错误，不符合题意；
C、 3与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、 12÷ 3= 4=2，正确，符合题意，
故选：D．
根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵7∴5−m<0，m−10<0，
∴ (5−m)2+ (m−10)2
=m−5+10−m
=5，
故选：C．
根据7本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当a≥0时， a2=a；当a<0时， a2=−a．
4.【答案】B
【解析】解：∵12+( 2)2=( 3)2，
∴选项A中数据能组成直角三角形；
∵42+52≠62，
∴选项B中数据不能组成直角三角形；
∵32+42=52，
∴选项C中数据能组成直角三角形；
∵92+122=152，
选项D中数据能组成直角三角形；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 52−32=4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 52+32= 34．
故选：C．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC=90°，
∴a是Rt△ABC的斜边，
∴b2+c2=a2．
故选：C．
直接根据勾股定理解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴BA=CD，AD//BC，
∵BA=BD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−70°=20°，
故选：B．
由平行四边形的性质可得BA=CD，AD//BC，进而得到BD=CD，∠DBC=∠C=70°，由AD//BC，可得∠ADB=∠DBC=70°，由直角三角形两锐角互余即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=BO，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∴AC=2AO=4，
故选：A．
由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△AOB是等边三角形，可得AB=AO=2，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∵E为AB的中点，且EF=2，
∴AB=2EF=4，
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，则∠AFB=90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得AB=2EF=4，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在BC上截取CP=CF，连接PE，
∵点M是EF的中点，CP=CF，
∴CM是△PEF的中位线，
∴CM//PE，
∴∠PEF=∠CMF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE=CF=CP，
∴BP=BE，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BEP=∠BPE=45°
∴∠PEF=∠BPE−∠F=45°−α，
∴∠CMF=∠PEF=45°−α，
故选：D．
在BC上截取CP=CF，连接PE，证明CM是△PEF的中位线，则CM//PE，得到∠PEF=∠CMF，证明△BPE是等腰直角三角形，得到∠BEP=∠BPE=45°，则∠PEF=∠BPE−∠F=45°−α，即可得到答案．
此题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】x>5
【解析】解：由题意得：x−5>0，
解得：x>5，
故答案为：x>5．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，得
a−3≥03−a≥0，
解得，a=3；
故答案是：3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可求得a的值．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】8
【解析】解：∵∠B=90°，b=2 17，
∴a2+c2=(2 17)2=68，
∵c−a=6，
∴c2−2ac+a2=36，
∴ac=16，
∴S△ABC=12ac=12×16=8，
故答案为：8．
由勾股定理得出a2+c2=68，可求出ac=16，则可得出答案．
本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出ac=16是解题的关键．
14.【答案】1.2
【解析】解：由题意可知，DE是△ABC的中位线，DE=0.6m，
∴BC=2DE=1.2(m)，
故答案为：1.2．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】2 13
【解析】解：如图，
，
∵AC=12，S菱形ABCD=48，
∴12×12BD=48，
∴BD=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC=6，BO=12BD=4，AC⊥BD，
∴AB= AO2+BO2=2 13，
故答案为：2 13．
利用菱形的面积公式求出BD=8，利用菱形的性质得到∠AOB=90°，OB=12BD=4，OA=12AC=6，利用勾股定理求出AB的长即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：当x= 2+1，y= 2−1时，原式=(x+y)2=( 2+1+ 2−1)2=(2 2)2=8．
【解析】原式利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 3+3× 33−3 12
=3 3+ 3−6 3
=4 3−6 3
=−2 3．
(2)原式= 6× 3+2 15× 3−6× 22
= 18+2 45−3 2
=3 2+6 5−3 2
=6 5．
【解析】(1)先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则计算，最后合并同类二次根式即可；
(2)先根据乘法分配律进行计算，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式相关的运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)选择I，理由如下：
如图，D是AB中点，DE=12BC但E显然不是AC的中点，
(2)真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF=DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD=BD．
在△ADE与△BDF中，
AD=BD∠ADE=∠BDFDE=DF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴BF=AE，∠F=∠AED，
∴AC//BF，
又∵DF//BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF=CE，
又∵BF=AE，
∴CE=AE，
即E是AC的中点．
(答案不唯一)
【解析】(1)根据三角形中位线定理解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答．
19.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠EFA，∠ECD=∠EAF，
在△ECD和△EAF中，
∠EDC=∠EFA∠ECD=∠EAFDE=FE，
∴△ECD≌△EAF(AAS)，
∴CD=AF，
∵CD//AF，CD=AF，
∴四边形AFCD是平行四边形．
(2)解：∵BC=6CE=12，
∴CE=2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AE=CE=2，AF=CD=2 10，
∴AC=2AE=4，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 42+122=4 10，
∴BF=AB−AF=4 10−2 10=2 10，
∴BF的长是2 10．
【解析】(1)由AB//CD，得∠EDC=∠EFA，∠ECD=∠EAF，而DE=FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD=AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形；
(2)由BC=6CE=12，得CE=2，由平行四边形的性质得AE=CE=2，AF=CD=2 10，所以AC=4，由勾股定理求得AB= AC2+BC2=4 10，则BF=AB−AF=2 10．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ECD≌△EAF是解题的关键．
20.【答案】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，
由题意可知，AC=2.4米，DE=2米，AB=DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2=BC2+AC2，DB2=BE2+DE2，
∴BC2+AC2=BE2+DE2，
即(2.2−x)2+2.42=x2+4，
解得：x=1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【解析】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，在Rt△ABC和Rt△DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠EAB=∠EDF，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴△AEB≌△DEF(ASA)，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又∵AD=BF，
∴▱ABDF是矩形．
(2)解：∵ED=12AD，AD=BC，CD=ED=3，
∴BC=2CD=6，
∵四边形ABDF为矩形，
∴∠BDF=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD= BC2−CD2= 62−32=3 3．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及平行线的性质求出∠EAB=∠EDF，利用ASA证明△AEB≌△DEF，得出BE=FE，即可判定四边形ABDF是平行四边形，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得解；
(2)根据矩形的性质求出BC=6，∠BDF=90°，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】10−3 11
【解析】解：(1)1 100 + 99=1×( 100− 99)( 100+ 99)( 100− 99)
= 100− 99
=10−3 11；
故答案为：10−3 11．
(2)观察前面例子的过程和结果得：1 n+1+ n= n+1− n；
(3)反复运用1 n+1+ n= n+1− n得11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4++1 98+ 99+1 99+ 100
= 2− 1+ 3− 2+ 4− 3++ 100− 99
=− 1+ 2− 2+ 3− 3+ 4− 4+− 99+ 100
=−1+ 100
=−1+10
=9．
观察所给例子得出(1)(2)答案；运用(2)的答案先对(3)的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到(3)的答案．
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解．
23.【答案】x+m
【解析】解：(1)∵旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米，
∴AC为(x+m)米，
故答案为：x+m；
(2)∵m=6米，n=12米，
∴AB=x米，BC=n米，AC=(x+6)米，
∵AB2+BC2=AC2，即x2+122=(x+6)2，
解得x=9(米)，
答：旗杆的高度是9米；
(3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AC=9+6=15米，
过点E作EM⊥AB于点M，则BM=EF=2米，EM=BF，
∵AM2+EM2=AE2，即(9−2)2+EM2=152，
解得EM=4 11(米)
∵BC=12，
∴CF=BF−BC=EM−BC=(4 11−12)米．
答：小明需要后退(4 11−12)米．
(1)根据旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米即可得出结论；
(2)直接根据勾股定理即可得出x的值；
(3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AC=9+6=15米，过点E作EM⊥AB于点M，则BM=EF，利用勾股定理求出EM的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 13B. 7C. 9D. 20
2.下列各式计算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 2−3 2=2C. 3− 2=1D. 12÷ 3=2
3.若7
4.下列各组数中，不能组成直角三角形的是( )
A. 1, 2， 3B. 4，5，6C. 3，4，5D. 9，12，15
5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为( )
A. 4B. 2或 34C. 4或 34D. 2或2 6
6.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC=90°.则该三角形的三边满足的关系是( )
A. a2+b2=c2B. a2+c2=b2C. b2+c2=a2D. a+b=c
7.如图，在平行四边形ABCD中，BA=BD，∠AEB=90°，若∠C=70°，则∠DAE=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则对角线AC的长是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在BC延长线上，且AE=CF，点M是EF的中点，连接MC，若∠F=α，则∠CMF的度数为( )
A. 60°−α
B. 45°−α2
C. 30°−α2
D. 45°−α
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.式子y=1 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12.若 a−3− 3−a有意义，则a的值为______．
13.已知△ABC中，∠B=90°，若c−a=6，b=2 17，则△ABC的面积为______．
14.如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板.已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m.当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为______m.
15.菱形ABCD的对角线AC=12，S菱形ABCD=48，则AB的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.已知：x= 2+1，y= 2−1，求x2+2xy+y2的值．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1) 27+3 13−3 6× 2；
(2)( 6+2 15)× 3−6 12．
18.(本小题9分)
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE=12BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE//BC，DE=12BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点．
(1)从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
19.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，AB//CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE=FE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若CD=2 10，BC=6CE=12，BC⊥AC，求BF的长．
20.(本小题9分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
21.(本小题9分)
已知点E是▱ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD=BF．
(1)求证：四边形ABDF为矩形；
(2)若CD=ED=3，请直接写出BD的长．
22.(本小题10分)
阅读下列解题过程：1 5+ 4=1×( 5− 4)( 5+ 4)( 5− 4)= 5− 4( 5)2−( 4)2= 5− 4，1 6+ 5=1×( 6− 5)( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5( 6)2−( 5)2= 6− 5，
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出1 100+ 99= ______；
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；
(3)利用上面的解法，请化简：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+??+1 98+ 99+1 99+ 100．
23.(本小题10分)
【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是m米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为n米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含有x的式子表示AC为______米；
(2)若m=6米，n=12米，请你求出旗杆的高度．
(3)保持(2)条件不变，小明在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小明手臂伸直后的高度EF为2米，问小明需要后退几米？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：A、 (−2)2=2，原计算错误，不符合题意；
B、 2−3 2=−2 2，原计算错误，不符合题意；
C、 3与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、 12÷ 3= 4=2，正确，符合题意，
故选：D．
根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵7
∴ (5−m)2+ (m−10)2
=m−5+10−m
=5，
故选：C．
根据7
4.【答案】B
【解析】解：∵12+( 2)2=( 3)2，
∴选项A中数据能组成直角三角形；
∵42+52≠62，
∴选项B中数据不能组成直角三角形；
∵32+42=52，
∴选项C中数据能组成直角三角形；
∵92+122=152，
选项D中数据能组成直角三角形；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 52−32=4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 52+32= 34．
故选：C．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC=90°，
∴a是Rt△ABC的斜边，
∴b2+c2=a2．
故选：C．
直接根据勾股定理解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴BA=CD，AD//BC，
∵BA=BD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−70°=20°，
故选：B．
由平行四边形的性质可得BA=CD，AD//BC，进而得到BD=CD，∠DBC=∠C=70°，由AD//BC，可得∠ADB=∠DBC=70°，由直角三角形两锐角互余即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=BO，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∴AC=2AO=4，
故选：A．
由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△AOB是等边三角形，可得AB=AO=2，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∵E为AB的中点，且EF=2，
∴AB=2EF=4，
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，则∠AFB=90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得AB=2EF=4，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在BC上截取CP=CF，连接PE，
∵点M是EF的中点，CP=CF，
∴CM是△PEF的中位线，
∴CM//PE，
∴∠PEF=∠CMF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE=CF=CP，
∴BP=BE，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BEP=∠BPE=45°
∴∠PEF=∠BPE−∠F=45°−α，
∴∠CMF=∠PEF=45°−α，
故选：D．
在BC上截取CP=CF，连接PE，证明CM是△PEF的中位线，则CM//PE，得到∠PEF=∠CMF，证明△BPE是等腰直角三角形，得到∠BEP=∠BPE=45°，则∠PEF=∠BPE−∠F=45°−α，即可得到答案．
此题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】x>5
【解析】解：由题意得：x−5>0，
解得：x>5，
故答案为：x>5．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，得
a−3≥03−a≥0，
解得，a=3；
故答案是：3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可求得a的值．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】8
【解析】解：∵∠B=90°，b=2 17，
∴a2+c2=(2 17)2=68，
∵c−a=6，
∴c2−2ac+a2=36，
∴ac=16，
∴S△ABC=12ac=12×16=8，
故答案为：8．
由勾股定理得出a2+c2=68，可求出ac=16，则可得出答案．
本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出ac=16是解题的关键．
14.【答案】1.2
【解析】解：由题意可知，DE是△ABC的中位线，DE=0.6m，
∴BC=2DE=1.2(m)，
故答案为：1.2．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】2 13
【解析】解：如图，
，
∵AC=12，S菱形ABCD=48，
∴12×12BD=48，
∴BD=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC=6，BO=12BD=4，AC⊥BD，
∴AB= AO2+BO2=2 13，
故答案为：2 13．
利用菱形的面积公式求出BD=8，利用菱形的性质得到∠AOB=90°，OB=12BD=4，OA=12AC=6，利用勾股定理求出AB的长即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：当x= 2+1，y= 2−1时，原式=(x+y)2=( 2+1+ 2−1)2=(2 2)2=8．
【解析】原式利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 3+3× 33−3 12
=3 3+ 3−6 3
=4 3−6 3
=−2 3．
(2)原式= 6× 3+2 15× 3−6× 22
= 18+2 45−3 2
=3 2+6 5−3 2
=6 5．
【解析】(1)先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则计算，最后合并同类二次根式即可；
(2)先根据乘法分配律进行计算，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式相关的运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)选择I，理由如下：
如图，D是AB中点，DE=12BC但E显然不是AC的中点，
(2)真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF=DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD=BD．
在△ADE与△BDF中，
AD=BD∠ADE=∠BDFDE=DF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴BF=AE，∠F=∠AED，
∴AC//BF，
又∵DF//BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF=CE，
又∵BF=AE，
∴CE=AE，
即E是AC的中点．
(答案不唯一)
【解析】(1)根据三角形中位线定理解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答．
19.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠EFA，∠ECD=∠EAF，
在△ECD和△EAF中，
∠EDC=∠EFA∠ECD=∠EAFDE=FE，
∴△ECD≌△EAF(AAS)，
∴CD=AF，
∵CD//AF，CD=AF，
∴四边形AFCD是平行四边形．
(2)解：∵BC=6CE=12，
∴CE=2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AE=CE=2，AF=CD=2 10，
∴AC=2AE=4，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 42+122=4 10，
∴BF=AB−AF=4 10−2 10=2 10，
∴BF的长是2 10．
【解析】(1)由AB//CD，得∠EDC=∠EFA，∠ECD=∠EAF，而DE=FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD=AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形；
(2)由BC=6CE=12，得CE=2，由平行四边形的性质得AE=CE=2，AF=CD=2 10，所以AC=4，由勾股定理求得AB= AC2+BC2=4 10，则BF=AB−AF=2 10．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ECD≌△EAF是解题的关键．
20.【答案】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，
由题意可知，AC=2.4米，DE=2米，AB=DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2=BC2+AC2，DB2=BE2+DE2，
∴BC2+AC2=BE2+DE2，
即(2.2−x)2+2.42=x2+4，
解得：x=1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【解析】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为(2.2−x)米，在Rt△ABC和Rt△DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠EAB=∠EDF，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴△AEB≌△DEF(ASA)，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又∵AD=BF，
∴▱ABDF是矩形．
(2)解：∵ED=12AD，AD=BC，CD=ED=3，
∴BC=2CD=6，
∵四边形ABDF为矩形，
∴∠BDF=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD= BC2−CD2= 62−32=3 3．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及平行线的性质求出∠EAB=∠EDF，利用ASA证明△AEB≌△DEF，得出BE=FE，即可判定四边形ABDF是平行四边形，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得解；
(2)根据矩形的性质求出BC=6，∠BDF=90°，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】10−3 11
【解析】解：(1)1 100 + 99=1×( 100− 99)( 100+ 99)( 100− 99)
= 100− 99
=10−3 11；
故答案为：10−3 11．
(2)观察前面例子的过程和结果得：1 n+1+ n= n+1− n；
(3)反复运用1 n+1+ n= n+1− n得11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4++1 98+ 99+1 99+ 100
= 2− 1+ 3− 2+ 4− 3++ 100− 99
=− 1+ 2− 2+ 3− 3+ 4− 4+− 99+ 100
=−1+ 100
=−1+10
=9．
观察所给例子得出(1)(2)答案；运用(2)的答案先对(3)的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到(3)的答案．
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解．
23.【答案】x+m
【解析】解：(1)∵旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米，
∴AC为(x+m)米，
故答案为：x+m；
(2)∵m=6米，n=12米，
∴AB=x米，BC=n米，AC=(x+6)米，
∵AB2+BC2=AC2，即x2+122=(x+6)2，
解得x=9(米)，
答：旗杆的高度是9米；
(3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AC=9+6=15米，
过点E作EM⊥AB于点M，则BM=EF=2米，EM=BF，
∵AM2+EM2=AE2，即(9−2)2+EM2=152，
解得EM=4 11(米)
∵BC=12，
∴CF=BF−BC=EM−BC=(4 11−12)米．
答：小明需要后退(4 11−12)米．
(1)根据旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米即可得出结论；
(2)直接根据勾股定理即可得出x的值；
(3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AC=9+6=15米，过点E作EM⊥AB于点M，则BM=EF，利用勾股定理求出EM的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
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