2024年北京市第十一中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，据此列式即可作答．
【详解】解：∵，
∴的倒数为，
故选：D．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：.
故选C．
3. 下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、C、D是通过旋转得到，故A、C、D都不符合题意；
B是通过平移得到，故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．
5. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】解：如图，直尺对边互相平行，
又∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的定义．熟记性质并准确识图是解题的关键．
6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可．
【详解】解：解：∵，
，
，
，
，
……
由上可知，第n个单项式是：．
故选：C．
7. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：B．
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为米，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A. 1米B. 2米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接交于，

由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸出白球的概率为，再根据摸出白球的概率白球的个数球的总数进行求解即可．
【详解】解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，
∴摸出白球的概率为，
∴袋子里白球可能个，
故答案为：9．
11. 已知方程的一个根是，则m的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
13. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝2，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为 _____．
【答案】或1或
【解析】
【分析】分三种情况：，画出图形分类讨论即可
【详解】解：∵AB＝2，AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，DC=AB=2，∠A=90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=1
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴E=AE=1，
连接DE，
∴，
①当D=DC时，如图1，连接ED，
∵D=DC=AB=2，
∴E+D=3=DE，
∴点E，，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FE=∠FD=90°，
设AF=x，则F=x，FD=2-x，
在Rt△FD中，，
解得：，
即；
②当D=C时，如图2，
∵D=C，
∴点在线段CD的垂直平分线上，
∴点在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴E是AB的垂直平分线，
∴∠AE=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴∠A=∠EF=90°，AF=F，
∴四边形AEF是正方形，
∴AF=AE=1，
③当时，连接CE，
∴，
∴E+C=3=CE，
∴点E，，C三点共线，
∴∠FE=∠FC=90°=∠ADC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△EF，
∴F=AF，
∴F=AF=FD，
∵AF+FD=AD=2，
∴AF=，
综上所述，AF的长度为或1或．
故答案为：或1或.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
15. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，




同理：

三点共线，
关于O对称，

故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
16. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________．

【答案】
【解析】
【分析】设，可求 ，， 由，即可求解．
【详解】解：设，
轴，
，，轴，
，
解得：，
在上，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．
三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据绝对值化简，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的计算，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可.
【详解】解：



，
当时，原式=．
19. 解不等式组：．
【答案】﹣2≤x＜1．
【解析】
【分析】分别求出一元一次不等式的解，然后求交集即可解答.
【详解】 ，
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键.
20. 如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证∠BAC=∠DAE，再证△ABC≌△ADE（ASA），即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．
【小问2详解】
解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
22. 2022年冬季奥运会和冬季残奥会两项赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行．某商家购进了一批冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，发现进价为40元/件的纪念品每月的销售量（件）与售价（元/件）的相关信息如下：
（1）求与的一次函数解析式；
（2）若获利不得高于进价的50%，那么售价定为多少元/件时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）售价定为60元/件时，月销售利润最大为5600元
【解析】
【分析】（1）设每月的销售量（件）与售价（元/件）的一次函数解析式为，将时，以及时，代入即可得到一次函数的解析式；
（2）设利润为元，得到，根据二次函数的性质得到最大值即可．
小问1详解】
解：设每月的销售量（件）与售价（元/件）的一次函数解析式为，
由表格可知，当时，得，①，
当时，得，②，
联立①②得，解得，
∴与的一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设利润为元，则，
∵，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大．
∴当时，（元），
答：售价定为60元/件时，月销售利润最大为5600元．
【点睛】本题主要考查求一次函数的解析式以及二次函数的性质，掌握一次函数解析式的求法以及二次函数的性质是解题的关键．
23. 如图，在中，，点O在边上，且，过点A作交的延长线于点D，以点O为圆心，的长为半径作交于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为5，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线性质定理，切线的判定等知识．
（1）过点O作，垂足为F．由题意得，进而得，由，得，问题得证；
（2）由勾股定理求得，证明，即可求解．
【小问1详解】
证明：过点O作，垂足为F．
∵， ，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即为的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：的半径为5，，
∴，，
在中，由勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人；
（3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图相关知识以及用树状图或列表法求概率．
（1）先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图．
（2）直接用乘以选择D基地人数得占比即可求出所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项基地的占比即可推知整体．
（3）列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率．
【小问1详解】
本次抽取的学生有：（人），
其中选择的学生有：（人），
补全的条形统计图如右图所示；
【小问2详解】
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有：（人），
【小问3详解】
树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
两校恰好选取同一个基地的概率为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
（1）求一次函数与二次函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）点坐标，，，
【解析】
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵过点，
∴，解得，
∴一次函数表达式为：；
∵点在上，
∴，即，
∵点在上，
∴，解得，
∴二次函数表达式为：；
【小问2详解】
解：∵点在轴上，且在上，
∴，即，
如图所示：
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设，，则有，
或，解得或，
是直线上的点，
∴点坐标为，，，．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．
26. （1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;
（2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积；
（3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）直接证明即可，
（2）过C作于点D．通过导角证明，利用角平分线的性质定理得出，最后利用三角形面积公式即可求解；
（3）在线段上取一点F，使，并连结．先证，求出相关边长度，再证，根据对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过C作于点D．
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结．
平分，
，
又，
，
，
，
，，
，
，即
．
售价（元/件）
50
60
70
80
…
销售量（件）
300
280
260
240
…