2024年河北省沧州市南皮县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页． 总分120分．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，点与点关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点A与点B关于直线l成轴对称，根据轴对称的性质，有直线垂直平分AB．
【详解】解：点A和点B关于直线成轴对称，则直线和线段AB的位置关系是：直线垂直平分AB，
故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了成轴对称的定义，如果一个图形沿着一条直线翻折，能够与另一个图形完全重合，这两个图形就是成轴对称．这条直线叫做对称轴．
2. 可以写成（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，必须熟练掌握，根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可，熟练计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，不可以写成，故A不符合题意；
B、，不可以写成，故B不符合题意；
C、，可以写成，故C符合题意；
D、，不可以写成，故D不符合题意，
故选：C．
3. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案，熟知左视图的概念是解题的关键．
【详解】解：该几何体的左视图为，
故选：B．
4. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，利用分式的乘法法则解答即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
5. 下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）

①
②
③
A. 解题运用了乘法交换律B. 从①步开始出错
C. 从②步开始出错D. 从③步开始出错
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．
将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可．
【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意；
B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意；
C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意；
D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意；
故选：C．
6. 已知一粒大米的质量为0.000021千克，则100粒大米的质量用科学记数法表示为（ ）
A. 千克B. 千克
C. 千克D. 千克
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟知概念是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
7. 不透明的袋子中有5个相同的小球，分别写有1，2，3，4，x五个数字，随机摸出一个小球，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（ ）
A. 0B. 2
C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率，根据奇数的概率为，可以算出奇数个数，即可得答案，熟练用概率求数量是解题的关键．
【详解】解：根据上面的数字是奇数的概率为，
可得奇数的个数为个，
1，2，3，4中为奇数，有两个，
为奇数，
选项中只有D选项符合，
故选：D．
8. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、当时，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、当时，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，，
，平行四边形是矩形，故C符合题意；
D、四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意，
故选：C．
9. 若，则中最大的一个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数比较大小，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，由于，故，进而得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴最大的一个数是；
故选A．
10. 如图，直线，一副三角板放置在，之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在上，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，从而求出的度数，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，

直线，
，
，且，
，
故选：D．
11. 《孙子算经》有首数学歌谣，意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈尺，1尺寸），则竹竿的长为（ ）
A. 四丈B. 四丈五尺C. 五丈D. 五丈四尺
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长为x尺，
由题意得：竹竿的影子长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，标杆影长五寸尺，
∴，解得：（尺）
45尺四丈五尺，
故选：B．
12. 已知锐角三角形的三边长是2，3，x，则x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有勾股定理，三角形的边角关系，分两种情况来做，当为最大边时，结合勾股定理求出由锐角三角形变为直角三角形的临界值；当不是最大边时，则3为最大边，同理结合勾股定理求出由锐角三角形变为直角三角形的临界值，利用分类讨论的数学思想是解题的关键．
【详解】解：分两种情况来做，当为最大边时，由勾股定理可知只要，
解得（负值舍去）；
当不是最大边时，则3为最大边，由勾股定理可知只要，
解得（负值舍去）；
综上可知，的取值范围为．
故选：B．
13. 设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，首先根据与的取值分析，的增减性，然后根据增减性确定最值，进而求解，关键是根据反比例函数的增减性确定最值．
【详解】解：，
∴在每个象限内，随的增大而减小，
，
当时最大，
即，
，
，
，
∴在每个象限内，随的增大而增大，
，
当时最小，
即，
，
，
解得：，
，
故选：A．
14. 用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可
【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形，
∴，
故选：C
15. 已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确
C. 甲正确，乙不正确D. 甲不正确，乙正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：甲正确，
理由：如图1中，连接，
根据题意可得，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
乙正确，
理由：为直径，
，
，
是的切线，
故选：A．
16. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到n个不同的点，，……，，使得，则n的最大取值为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【详解】解：设，
则……，，
即点，，……，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，
∴n的最大取值为5，
故选A．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 数轴上点A，B对应的数分别为，1，点C在线段上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键，由点C对应的无理数在之间，从而可得答案．
【详解】解：∵点C在线段上运动，
∴点C对应的无理数在之间，
∴可以是，
故答案为：．（答案不唯一）．
18. 如图，在中，，，，射线与边交于点 D． E，F分别为、的中点，设点E，F到射线的距离分别为m，n，则线段的最小值为________，的最大值为________．
【答案】 ①. 2.4 ②. 2.5
【解析】
【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键．
连接，，根据面积关系可以求得，当最小为边上高时，即可求出的最大值．
【详解】解：如图，连接，，过作垂线，垂足为点，过作垂线，垂足为点，即，，
则，，
，分别为，中点，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
设上的高为，
，
，
当最小时，即，此时时，最大，
，
最大值为2.5．
故答案为：2.4，2.5．
19. 如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．

（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________．
【答案】 ①. 6 ②. ##
【解析】
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，
解得，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一个的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2．已知屏幕上设定的初始数字是3，且每轮操作按 10次键．
（1）在一轮操作中，已知按了3次左键，7次右键，求屏幕上最后的结果；
（2）一轮操作中，已知按了n次左键，且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求n的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（1）利用屏幕上显示的结果，即可求出结论；
（2）根据“按次按键后，屏幕上显示的数字结果是正数”，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2，
屏幕上显示的结果，
【小问2详解】
解：由题意可得，
解得，
为正整数，
的最小值为．
21. 发现 将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指向一个数字，记为a，b，c，d，则为一个常数．
验证 （1）方框放到图中的位置①时， ，放到图中的位置②时， ；
探究 （2）设方框的每个顶点指向一个数时，方框中间的数为n，请论证“发现”中的结论．
【答案】（1）；；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，整式的乘法运算，利用平方差公式，理解题意进行计算是解题的关键．
（1）代入题干中的式子，即可解答；
（2）根据日历的特征，表示出方框的每个顶点指向一个数，再列式子化简即可证明．
【详解】解：（1）根据题意可得，
方框放到图中的位置①时，；
方框放到图中的位置②时，，
故答案为：；；
证明：（2）根据日历的规律，当方框中间的数为n，可得：
，
，
即为一个常数．
22. 某专卖店在盘点某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）该月的天数为 ；a的值为 ；
（2）求该月内此商品的日平均销售量；
（3）店长在检查数据时发现，此商品在该月的日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为 件．
【答案】（1）30；10
（2）25 （3）
【解析】
【分析】（1）根据日销售量26件天数与占比可求得该月的天数；用总天数减去其他的天数即可求得a的值；
（2）利用求平均数的方法即可求解；
（3）根据众数、中位数的概念对销量进行分析，即可解题．
【小问1详解】
解：(天)，
，
故答案为：30；10；
小问2详解】
解：（件）；
【小问3详解】
解：众数唯一，
该天的销售量不是件，
日销售量这组数据的中位数不变，且原中位数为，
该天的销售量不低于件，
该时段内的日销售量均不大于28件，
该天的销售量为件，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息综合、画条形统计图、以及众数、中位数、平均数相关概念和求法、熟练掌握相关概念并灵活运用，即可解题．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点． ，与x轴，y轴分别交于点B，E，与正比例函数的图象交于点 C，点 C的纵坐标为3．
（1）求直线l的解析式；
（2）求 的值；
（3）若直线与直线l的交点的横、纵坐标都是整数，求整数m的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）整数m的个数有８个
【解析】
【分析】本题考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是正确求出直线与直线l的交点坐标．
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）求出直线与直线l的交点坐标，根据题意即解得即可．
【小问1详解】
解：把代入得，，
解得，
点的坐标为．
把，点坐标代入得：，
解得：，
直线l的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
，
当时，得，解得
，
，，
；
【小问3详解】
解：列方程组，
解得，
直线与直线l的交点的横、纵坐标都是整数，
，即整数m的个数有８个．
24. 如图1，在正方形中，，O是边的中点，E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．
（1）求证：；
（2）求 的面积的最小值；
（3）如图2，若A，E，O三点共线，求点 F到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等及相似的性质和判定、勾股定理，得到是解决问题的关键．
（1）根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明，即可得到；
（2）由，可得，当时，的值最小，即可求的面积的最小值．
（3）先利用：，求得的长，再利用，求得、的长，即可求得的长．
【小问1详解】
证明：如图1，由旋转得：，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
当时，点到的距离最小，则的值最小，即的值最小，
的面积的最小值．
【小问3详解】
解：如图2，过作的垂线，交的延长线于，
是的中点，且，
，，三点共线，
，
由勾股定理得：，
，
，
由（1）知：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得或（舍，
点 F到直线的距离为．
25. 消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮．在一次模拟高层建筑起火救援中，以大楼起火侧面所在直线为y轴，地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出的水柱是抛物线的一部分．
（1）写出水柱最高处B距离地面的高度，并求a的值；
（2）目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼高2.9米，窗台高度0.9米，窗顶距离该层地面高度为2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
（3）火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了米，喷射的水柱形状不变，为阻止火势进一步蔓延，直接写出d的值．（结果保留根号，伸缩臂伸长时间忽略，）
【答案】（1）50米；
（2）水柱能射入该层窗口
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题．
（1）将点坐标代入二次函数解析式，即可解答；
（2）根据解析式求出最大值，再根据题中条件，进行比较；
（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【小问1详解】
解：根据解析式可得水柱最高处B距离地面的高度为米，
由题意得到：点坐标，
代入解析式可得，
解得；
【小问2详解】
解：可得函数解析式为，
当时，
，
第16层楼顶高度为：米，
17楼窗台到地面的高度为米，
17楼窗顶到地面的高度为米，
，
此时水柱能射入该层窗口；
【小问3详解】
解：如图：
过作平行于轴，
设伸长至处，的长即为其伸长的长度，
过作于，则，
米，米，
即相当于将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
新抛物线的解析式：，
当时，，
可得，
解得：（舍去），，
米．
26. 如图，在矩形中，，，点P从延长线上离点B很远的位置开始沿直线向左运动，运动过程中，以为直径，在的左侧画半圆O，E为 的中点．设．
（1）点O到直线的距离为 ；
（2）当点 E落在直线上时，求被直线截得的弧长；
（3）当点运动到点左边时，当与边有两个公共点时，求x的取值范围；
（4）若点E到直线的距离为1，直接写出：的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
（1）过点作，交于点，根据平行线之间线段成比例，即可解答；
（2）画出图形，此时点 E与点重合，证明为等腰直角三角形，求得半圆的半径长度，即可解答；
（3）画出两个临界值，分别求出临界状态时的值，即可解答；
（4）分类讨论，考虑点在直线的下方或上方，两种情况，利用全等三角形的判定和性质，即可解答．
【小问1详解】
解：过点作，交于点，
四边形为矩形，
，，
，
点O到直线的距离即为直线和直线的距离，即为的长度，
根据平行线之间线段成比例，可得,
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图：
是直径，
,
，
当点 E落在直线上时，两点重合，
E为 中点，
，
为等腰直角三角形，
，
；
；
小问3详解】
解：如图，当半圆O与相切时，设切点为，连接，并延长交于点，
，
半圆O与相切，
，
，
，
，
，
设，
，
根据勾股定理可得，可得方程，
解得，
；
如图，当运动到点时，与边有两个公共点时，此时,
;
综上，可得；
【小问4详解】
解：当点在直线下方时，过点作的垂线段，过点作的垂线段，交的延长线于点，
可得四边形为矩形，
，
，
，
，
，
E为 的中点，
，
，
，
，
，
；
；
当点在直线下方时，过点作的垂线段，过点作的垂线段，
同理可得，，
，
，
综上，或．甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求．
乙：如图2，①作射线；
②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求．