2024年新高考数学冲刺-双曲线高考6大常考基础题型总结（原卷版+解析版）

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考点二：双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
考点三：双曲线常考性质结论
①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
【题型目录】
题型一：利用双曲线定义解题
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线焦点三角形面积
题型四：双曲线的渐近线有关题型
题型五：双曲线的离心率问题
题型六：双曲线的最值问题
【典型例题】
题型一：利用双曲线定义解题
【例1】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可求得.
【详解】解：双曲线C的渐近线方程为，则，所以，，，
由双曲线定义可知，则或，
又因为，故，
故选：A．
【例2】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则
【答案】
【分析】利用双曲线的定义及余弦定理求解得答案.
【详解】在双曲线中，，，,
∵，又，∴，
所以
【例3】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．
【答案】【解析】由双曲线的方程可知

【例4】已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线为椭圆
B．若，则曲线为双曲线
C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则
D．若为双曲线，则渐近线方程为
【答案】BD
【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程可判断ABC，由双曲线的性质可判断D.
【详解】对于A，当时，满足，曲线不为椭圆，故错误；
对于B，当时，由双曲线标准方程知，是双曲线，故正确；
对于C，由可得，若表示焦点在轴的椭圆，则，
即，故错误；
对于D，若为双曲线，则由可得，即双曲线的渐近线方程为，故正确.
故选：BD
【题型专练】
1.设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.
【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，
设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），
由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，
由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，
由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，
∴|MN|﹣|MO|=1，
故选：B．
2.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| = .
【答案】
【分析】利用角平分线定理及双曲线的定义求解得答案.
【详解】在双曲线中，，
所以，又，∴
3.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】求得方程表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.
【详解】由于方程表示双曲线，，
所以，解得，
所以在ABCD四个选项中，
方程表示双曲线的一个充分不必要条件是.
故选：B、
题型二：求双曲线的标准方程
【例1】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.
【详解】
椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
【例2】已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．
【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，由圆，得，该圆的半径，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
所以，，可得，所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B．
【例3】已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.
【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，而双曲线的虚半轴长为3，
即，显然四边形为矩形，其面积，解得
所以双曲线的方程为.
故选：B
【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程.
【详解】因为，，且为中点，所以，且，
因为，所以，解得，
直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
【题型专练】
1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，
焦点到其渐近线的距离为，
双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．
故选：B．
2．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，求解即可
【详解】由题意可知双曲线方程为且，
解得，
所以双曲线的标准方程为，
故选：B
3．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
4.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.
【答案】
【分析】由双曲线焦距可得，讨论焦点在x轴、y轴上，结合求k值即可.
【详解】由焦距为6，知：，
若焦点在x轴上，则方程可化为，即，解得k=6；
若焦点在y轴上，则方程可化为，即，即k=-6.
综上所述，k值为6或-6.
故答案为：±6.
5．（2022·重庆·三模）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（ ）
A．的周长B．的周长与之差
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，可判断A，根据双曲线定义求解可判断B，设，则根据商与积的值可判断CD．
【详解】
如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，故A不正确；
的周长为
所以的周长与之差为，故B正确；
设，则，
由不是常量，故C不正确；
由为常量，故D正确；
故选：BD
题型三：双曲线焦点三角形面积
【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2C．4D．8
【答案】A
【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．
【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，，即，解得，故选A．
解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，
又∵，∴．
解法三：设，则，，，求的．
【例2】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．
【答案】72
【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.
【详解】由可知 ，
因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，
所以，又因为，
所以，所以，
所以四边形的面积,
故答案为：72
【题型专练】
1．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为B．
C．的周长为D．的面积为4
【答案】ABD
【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
因为，所以.
由双曲线的定义可得①，两边平方得，
即，解得，
故的面积为，D正确.
设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.
，解得②，
的周长为，C错误.
①＋②可得，B正确.
故选：ABD
2.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，
则，∵，
∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Cm]
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
∴，
解得，∴，故选B．
题型四： 双曲线的渐近线有关题型
焦点在轴上的渐近线为
焦点在轴上的渐近线为
若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可
即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
【例1】双曲线与有相同的（ ）
A．离心率B．渐近线C．实轴长D．焦点
【答案】D
【分析】根据双曲线方程判断焦点在轴上，并求，进而确定离心率、渐近线、实轴长和焦点．
【详解】对于双曲线可得：焦点在轴上，
则离心率，渐近线，实轴长，焦点
对于双曲线可得：焦点在轴上，
则离心率，渐近线，实轴长，焦点
∴ABC错误，D正确
故选：D．
【例2】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．
试题解析：．
∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A．
【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：．
【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）
【例3】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】 【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．
【例4】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，
由可得：，不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．
【例5】设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形，，根据双曲线的定义可推得，，.又，可知四边形为矩形，根据勾股定理得到的关系式，进而得到的关系式，即可求出渐近线方程.
【详解】
设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形.
由已知可得，又由双曲线的定义知，，所以，.
又，所以四边形是矩形，所以.
在中，有，即，
所以，，所以，.
所以，双曲线的渐近线方程为，整理可得.
故选：A.
【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
2.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再由可求出答案.
【详解】由双曲线的渐近线方程为，可知，
，
，
故选：B．
3.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．
试题解析：由题可知，．
在中，，，，，故选C．
4.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为，故选D．
5.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为．
题型五： 双曲线的离心率问题
【例1】已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.
【详解】设P为第一象限的交点，
则由椭圆和双曲线的定义可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
当且仅当，即时，取得最小值为3.
故选：B.
【例2】双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线的方程得焦点，延长交的延长线于点，由角平分线的性质得且，由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离心率公式即可得到答案.
【详解】由抛物线的焦点，故，延长交的延长线于点
是的角平分线，于点，
且
点是的中点，
由双曲线的定义得,
故
故双曲线的离心率为
故选：A.
【例3】已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的定义可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得离心率的值.
【详解】因为，，
由双曲线的定义可得：，
，则，
由，
在中，由余弦定理可得，
化简得，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
【例4】已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依次求出点、的坐标，然后由点在双曲线上可建立方程求解.
【详解】不妨设在，令，则有，
解得，所以，，
因为点在双曲线上，所以，解得，
故选：B.
【例5】设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出M，N两点的坐标，再利用余弦定理，求出a,c之间的关系，即可得了双曲线的离心率.
【详解】解：不妨设圆与相交，且点的坐标为，
则点的坐标为，
联立，
得，
又且，
所以，
所以由余弦定理得：，
化简得，
所以，
所以.
故选：A
【题型专练】
1．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案.
【详解】解：由题意可得，且，
又因为，
所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
2．已知双曲线，左、右焦点分别为、，O为坐标原点，P为右支上一点，且，O到直线的距离为b，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用已知条件及图像用两种方式求出，建立关于的等式，结合及双曲线离心率，化简方程，解出即可.
【详解】如图所示：
由为坐标原点，为右支上一点，且，
在双曲线中：，
所以，
由三角形的性质有：，
过作，则
因为到直线的距离为b，且为的中点，
所以为的中位线，为线段的中点，
所以，
在中，
所以，
所以
所以，
由双曲线的定义有：，①
， ②
联立①②解得：，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，
故选：B.
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可.
【详解】解：如图，设，因为,
所以，
由双曲线的定义得：，
所以， ，，，，
所以，在中，，
在中，
因为，
所以，即，
所以
故选：B
4．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，
圆的圆心，半径为：2，
双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：，
解得：，则，即．
故选：C．
5．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由为圆心，为半径为径的圆经过点，得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解．
【详解】解：由题意得，
设，则，，，，
在中，
由勾股定理得，解得，
则，，
在中，
由勾股定理得，化简得，
所以的离心率，
故选：B
6．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设，如图，
直线与双曲线联立方程组，解得：
，即，
点的纵坐标为，
直线与直线联立方程组，可得 ，
点的纵坐标为，
由于点是中点，由中点坐标公式可得，
，，
即.
故选：B.
7．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得，进而求得离心率.
【详解】右焦点，一条渐近线为，
到的距离为，
即，
由于，所以，
由于，
由正弦定理得，
而，
所以，
所以.
故选：C
题型六： 双曲线的最值问题
【例1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可.
【详解】
因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，
所以，因为，，所以，，
所以，将代入得：
.
故选：B．
【例2】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．
【详解】若，，且，