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新高考数学三轮冲刺卷：双曲线的基本量与方程（含解析）
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这是一份新高考数学三轮冲刺卷：双曲线的基本量与方程（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 、 分别是双曲线的左、右焦点．若 ，则
A. B. C. D.
2. 已知定点 ， 且 ，动点 满足 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
3. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足 ，则曲线 的离心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4. 设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，， 为双曲线的两条渐近线．设过点 且平行于 的直线交 于点 ．若 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7. 过双曲线 的右焦点且与 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 ， 两点，
A. B. C. D.
8. 是方程 表示双曲线的
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知 是双曲线 上的一点，， 是 的两个焦点．若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，且双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
11. 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 满足 ，且 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
13. 已知双曲线 的两个焦点是 ，，点 在双曲线 上，若 的离心率为 ，且 ，则
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
14. 已知抛物线 的准线与双曲线 交于 ， 两点，点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
15. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线的右支上一点，满足 ，连接 交 轴于点 ，若 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
16. 已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，，则 的离心率为
A. B. C. D.
17. “”是“方程 表示双曲线”的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
18. 过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，．若 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
19. 设双曲线 的中心为点 ，若有且只有一对相交于点 ，所成的角为 的直线 和 ，使 ，其中 和 分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
20. 已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 ．若 ，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 双曲线 的焦点坐标是 ，离心率为 ，渐近线方程是 ．
22. 双曲线 ： 的离心率是 ；渐近线方程是 ．
23. 若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为 ．
24. 双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为 ．
25. 双曲线 的渐近线为正方形 的边 ， 所在的直线，点 为该双曲线的焦点．若正方形 的边长为 ，则 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 设双曲线 ：（）与直线 ： 相交于两个不同的点 ，．求双曲线 的离心率的取值范围．
27. 已知双曲线 的离心率为 ．
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）当 时，已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，，且线段 的中点在圆 上，求实数 的值．
28. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．椭圆与直线 相交于 ， 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦长 ．
29. 已知双曲线和椭圆中心均为原点，它们有相同的焦点 ，，并且它们的离心率 都使方程 有相等实根，求椭圆和双曲线方程．
30. 已知点 ，点 ，圆 ：．
（1）求过点 的圆 的切线方程．
（2）求过点 的圆 的切线方程．
答案
1. C【解析】提示：，所以 ，，所以 ．
2. C【解析】点 在以 ， 为焦点， 的双曲线的一支上，所以 的最小值为 ．
3. A【解析】当曲线为椭圆时，；
当曲线为双曲线时，．
4. D【解析】有一个公共点表示渐近线方程与抛物线方程联立后判别式为 ．
5. B
【解析】若双曲线 的一条渐近线：，渐近线经过点 ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 ，，
所以双曲线的离心率为 ．
6. B【解析】直线 的方程为 ，联立直线 与直线 得 ，又因为 ，所以 得 ，所以双曲线的离心率为 ．
7. D
8. A【解析】当 时，，，此时方程 表示双曲线；
反之，若方程 表示双曲线，则有 ，即 或 ．
故 是方程 表示双曲线的充分不必要条件．
9. A【解析】如图，设 ，，则 ，当 时，，可求得 ．
由 可得 ．
当 时， 是钝角或平角，此时 的取值范围为 ．
10. A
【解析】双曲线 的渐近线为 ，
而渐近线与 平行．
故 ，
所以
又因为双曲线的一个焦点为 ，则 ，
所以 ，
又 ，即
由①②可求得 ，，
所以双曲线方程为 ．
11. C【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
由双曲线的定义，得 ，
所以 ．
12. D【解析】设双曲线 的标准方程为 ，则 ，，
不妨设点 在第一象限内，则易得 ，
又 点在双曲线 上，于是 ，解得 ，
所以 ．
13. A【解析】因为 且 ，
所以 ，
因为离心率 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由双曲线定义知 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
故 或 ．
14. D【解析】依题意知抛物线的准线 ，代入双曲线方程得 ．
不妨设 ，
因为 是等腰直角三角形，
所以 ，
解得：，
所以 ，
所以 ．
15. B
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 为 轴上一点，
所以 为 中点，
所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
两边同时除以 得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
故选B．
16. D【解析】因为 与 轴垂直，，
所以设 ，则 ，如图所示：
由双曲线的定义得 ，即 ，
在直角三角形 中，，即 ，
即 ，则 ．
17. C【解析】若“”，则 ， 均不为 ，方程 ，可化为 ，
若“”，， 异号，方程 中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“”是"方程 表示双曲线”的 充分条件．
反之，若 表示双曲线，则其方程可化为 ，此时 ， 异号，则必有 ，
故“”是“方程 表示双曲线”的 必要条件．
综合可得：“”是"方程 表示双曲线”的 充要条件．
18. C【解析】由题可知，过点 斜率为 的直线的方程为 ，与渐近线 交于点 ，与渐近线 交于点 ．
因为 ，所以 ，所以 ．结合 ，可得 ．
19. A【解析】先考虑焦点在 轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 轴（或 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 且小于等于 ，即 ，所以 ．又
所以 ，解得 ．
焦点在 轴上的双曲线与焦点在 轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．
20. C
【解析】抛物线 的焦点为 ，因为 在抛物线上且 ，由抛物线的定义知 ，而 ，
所以 ，双曲线中 ，而 ，
所以 ，渐近线方程为 ．
21. ，，，
22. ，
【解析】由双曲线方程可得 ，，，离心率为 ，渐近线方程为 ．
23.
【解析】注意双曲线中 ．
24.
【解析】双曲线 ，，，，从而 ，．
设 与 中较小的值为 ，则较大的值为 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
由 为直角三角形，知点 到 轴的距离 ．
25.
【解析】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 为正方形，，
所以 ，．
因为直线 是渐近线，方程为 ，
所以 ，即 ．
又因为 ，
所以 ．
26. 由 与 相交于两个不同点，故知方程组 有两组不同的实根，消去 并整理得
所以 解得 ，且 ．
双曲线的离心率 ，因为 且 ，
所以 ，且 ．即离心率 的取值范围为
27. （1） 由题意得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ．
（2） 由（）得当 时，，双曲线 的方程为 ．
设 ， 两点的坐标分别为 ，，线段 的中点为 ，
由 消去 得 （判别式 ），
所以 ，，
因为点 在圆 上，
所以 ，
所以 ．
28. （1） 因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ，
所以
解得 ，，
所以椭圆方程为 ．
（2） 联立 得 ，显然有 ，
设 ，，
则 ，，
由弦长公式可得 ．
29. 因为 有相等实根
所以 ，
解得 ，．
所以椭圆离心率为 ，双曲线离心率为 ．
设椭圆方程为 ，则 且 ，
所以 ，，
故椭圆方程为 ．
设双曲线方程为 ，则 且 ，
所以 ，，
故双曲线方程为 ．
30. （1） 由题意得圆心 ，半径 ．
因为 ，
所以点 在圆 上．
又 ，
所以切线的斜率 ．
所以过点 的圆 的切线方程是 ，即 ．
（2） 因为 ，
所以点 在圆 外部．
当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，即 ．
又点 到直线 的距离 ，即此时满足题意，
所以直线 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ．
所以切线方程为 ，即 ．
综上可得，过点 的圆 的切线方程为 或 ．
一、选择题（共20小题；）
1. 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 、 分别是双曲线的左、右焦点．若 ，则
A. B. C. D.
2. 已知定点 ， 且 ，动点 满足 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
3. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足 ，则曲线 的离心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4. 设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，， 为双曲线的两条渐近线．设过点 且平行于 的直线交 于点 ．若 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7. 过双曲线 的右焦点且与 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 ， 两点，
A. B. C. D.
8. 是方程 表示双曲线的
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知 是双曲线 上的一点，， 是 的两个焦点．若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，且双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
11. 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 满足 ，且 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
13. 已知双曲线 的两个焦点是 ，，点 在双曲线 上，若 的离心率为 ，且 ，则
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
14. 已知抛物线 的准线与双曲线 交于 ， 两点，点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
15. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线的右支上一点，满足 ，连接 交 轴于点 ，若 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
16. 已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，，则 的离心率为
A. B. C. D.
17. “”是“方程 表示双曲线”的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
18. 过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，．若 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
19. 设双曲线 的中心为点 ，若有且只有一对相交于点 ，所成的角为 的直线 和 ，使 ，其中 和 分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
20. 已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 ．若 ，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 双曲线 的焦点坐标是 ，离心率为 ，渐近线方程是 ．
22. 双曲线 ： 的离心率是 ；渐近线方程是 ．
23. 若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为 ．
24. 双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距离为 ．
25. 双曲线 的渐近线为正方形 的边 ， 所在的直线，点 为该双曲线的焦点．若正方形 的边长为 ，则 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 设双曲线 ：（）与直线 ： 相交于两个不同的点 ，．求双曲线 的离心率的取值范围．
27. 已知双曲线 的离心率为 ．
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）当 时，已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，，且线段 的中点在圆 上，求实数 的值．
28. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．椭圆与直线 相交于 ， 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦长 ．
29. 已知双曲线和椭圆中心均为原点，它们有相同的焦点 ，，并且它们的离心率 都使方程 有相等实根，求椭圆和双曲线方程．
30. 已知点 ，点 ，圆 ：．
（1）求过点 的圆 的切线方程．
（2）求过点 的圆 的切线方程．
答案
1. C【解析】提示：，所以 ，，所以 ．
2. C【解析】点 在以 ， 为焦点， 的双曲线的一支上，所以 的最小值为 ．
3. A【解析】当曲线为椭圆时，；
当曲线为双曲线时，．
4. D【解析】有一个公共点表示渐近线方程与抛物线方程联立后判别式为 ．
5. B
【解析】若双曲线 的一条渐近线：，渐近线经过点 ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 ，，
所以双曲线的离心率为 ．
6. B【解析】直线 的方程为 ，联立直线 与直线 得 ，又因为 ，所以 得 ，所以双曲线的离心率为 ．
7. D
8. A【解析】当 时，，，此时方程 表示双曲线；
反之，若方程 表示双曲线，则有 ，即 或 ．
故 是方程 表示双曲线的充分不必要条件．
9. A【解析】如图，设 ，，则 ，当 时，，可求得 ．
由 可得 ．
当 时， 是钝角或平角，此时 的取值范围为 ．
10. A
【解析】双曲线 的渐近线为 ，
而渐近线与 平行．
故 ，
所以
又因为双曲线的一个焦点为 ，则 ，
所以 ，
又 ，即
由①②可求得 ，，
所以双曲线方程为 ．
11. C【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
由双曲线的定义，得 ，
所以 ．
12. D【解析】设双曲线 的标准方程为 ，则 ，，
不妨设点 在第一象限内，则易得 ，
又 点在双曲线 上，于是 ，解得 ，
所以 ．
13. A【解析】因为 且 ，
所以 ，
因为离心率 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由双曲线定义知 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
故 或 ．
14. D【解析】依题意知抛物线的准线 ，代入双曲线方程得 ．
不妨设 ，
因为 是等腰直角三角形，
所以 ，
解得：，
所以 ，
所以 ．
15. B
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 为 轴上一点，
所以 为 中点，
所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
两边同时除以 得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
故选B．
16. D【解析】因为 与 轴垂直，，
所以设 ，则 ，如图所示：
由双曲线的定义得 ，即 ，
在直角三角形 中，，即 ，
即 ，则 ．
17. C【解析】若“”，则 ， 均不为 ，方程 ，可化为 ，
若“”，， 异号，方程 中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“”是"方程 表示双曲线”的 充分条件．
反之，若 表示双曲线，则其方程可化为 ，此时 ， 异号，则必有 ，
故“”是“方程 表示双曲线”的 必要条件．
综合可得：“”是"方程 表示双曲线”的 充要条件．
18. C【解析】由题可知，过点 斜率为 的直线的方程为 ，与渐近线 交于点 ，与渐近线 交于点 ．
因为 ，所以 ，所以 ．结合 ，可得 ．
19. A【解析】先考虑焦点在 轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 轴（或 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 且小于等于 ，即 ，所以 ．又
所以 ，解得 ．
焦点在 轴上的双曲线与焦点在 轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．
20. C
【解析】抛物线 的焦点为 ，因为 在抛物线上且 ，由抛物线的定义知 ，而 ，
所以 ，双曲线中 ，而 ，
所以 ，渐近线方程为 ．
21. ，，，
22. ，
【解析】由双曲线方程可得 ，，，离心率为 ，渐近线方程为 ．
23.
【解析】注意双曲线中 ．
24.
【解析】双曲线 ，，，，从而 ，．
设 与 中较小的值为 ，则较大的值为 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
由 为直角三角形，知点 到 轴的距离 ．
25.
【解析】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 为正方形，，
所以 ，．
因为直线 是渐近线，方程为 ，
所以 ，即 ．
又因为 ，
所以 ．
26. 由 与 相交于两个不同点，故知方程组 有两组不同的实根，消去 并整理得
所以 解得 ，且 ．
双曲线的离心率 ，因为 且 ，
所以 ，且 ．即离心率 的取值范围为
27. （1） 由题意得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ．
（2） 由（）得当 时，，双曲线 的方程为 ．
设 ， 两点的坐标分别为 ，，线段 的中点为 ，
由 消去 得 （判别式 ），
所以 ，，
因为点 在圆 上，
所以 ，
所以 ．
28. （1） 因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ，
所以
解得 ，，
所以椭圆方程为 ．
（2） 联立 得 ，显然有 ，
设 ，，
则 ，，
由弦长公式可得 ．
29. 因为 有相等实根
所以 ，
解得 ，．
所以椭圆离心率为 ，双曲线离心率为 ．
设椭圆方程为 ，则 且 ，
所以 ，，
故椭圆方程为 ．
设双曲线方程为 ，则 且 ，
所以 ，，
故双曲线方程为 ．
30. （1） 由题意得圆心 ，半径 ．
因为 ，
所以点 在圆 上．
又 ，
所以切线的斜率 ．
所以过点 的圆 的切线方程是 ，即 ．
（2） 因为 ，
所以点 在圆 外部．
当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，即 ．
又点 到直线 的距离 ，即此时满足题意，
所以直线 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ．
所以切线方程为 ，即 ．
综上可得，过点 的圆 的切线方程为 或 ．
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