【三轮冲刺】高考数学（大题专练）07 新定义题型（原卷版）

这是一份【三轮冲刺】高考数学（大题专练）07 新定义题型（原卷版），共21页。试卷主要包含了，则称集合为集合的一个元基底，，，，，其中.，“让式子丢掉次数”，约数，又称因数.它的定义如下，为，，，四点的交比，记为，如图1，已知，，，，，.等内容，欢迎下载使用。

继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题
（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
（1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
2．（2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）设为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中.
（1）若，，直接写出；
（2）对于，，，证明：；
（3）对于某个正整数，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质.
题型二：函数与导数的新定义问题
（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
（1）若在上为“凸函数”，求的取值范围；
（2）若，判断在区间上的零点个数.
1．（2023·上海浦东新·统考二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
2．（2024·广东茂名·统考一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
（1）若，判断是否为上的“3类函数”；
（2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
题型三：复数与不等式的新定义问题
（2024·全国·高三校联考竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
（1）判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
（2）设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
1．（2024·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考开学考试）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
（1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
（2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
（3）设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知由实数组成的数组满足下面两个条件：
①；②．
（1）当时，求，的值；
（2）当时，求证；
（3）设，且，求证：．
题型四：三角函数的新定义问题
（2023·高三课时练习）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）已知点满足，求的最小值；
（2）设，其中，求证：，并求的“相伴向量”的模的取值范围；
（3）已知（）为圆：上一点，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点在圆上运动时，求的取值范围．
1．（2021上·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）记表示数组：中的最大值.
（1）判断函数，的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；
（3）已知函数，与都定义在实数集上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：是单调递增函数的充要条件是：对任意，，.
2．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.
（1）判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；
（2）求证：当时，是“3级周天函数”；
（3）设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
题型五：平面向量的新定义问题
（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量的相伴函数为，求当且时的值；
（3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
1．（2023·全国·高三专题练习）对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.
（1）当时，试写出向量；
（2）证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为0；
（3）若，证明：存在正整数，使得.
2．（2024·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
题型六：数列的新定义问题
（2024·江苏南通·高三统考开学考试）设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
（1）若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
（2）若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
（3）求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
1．（2024·江苏·校联考模拟预测）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
（1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
（2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
（3）若正项数列为“数列”，且，，证明：．
2．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）若，求数列的最小项；
（2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（3）若，求证：数列具有性质．
题型七：立体几何的新定义问题
（2024·河南·高三校联考期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点
（1）①若，，求；
②证明.
（2）记的面积为 ，证明：.
（3）证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
1．（2024·重庆·校联考一模）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．
（1）求证：当为的中点时，平面
（2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．
（3）求三棱锥的体积的最大值．
2．（2023·全国·高三专题练习）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且

（1）写出三条正六棱台的结构特征.
（2）“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）
（3）“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“”亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.
题型八：平面解析几何的新定义问题
（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
（1）若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
（2）若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．
2．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
题型九：概率统计的新定义问题
（2024·河北·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannn）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
（1）当时，计算；
（2）若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
（3）若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.
1．（2024·辽宁·校联考一模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
（1）记，求证：；
（2）记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.
2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列；
（2）当时，证明：；
（3）当为奇数时，记的最大值为，求.
题型十：高等数学背景下的新定义问题
（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．
（1）求证：；
（2）若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有；
②求方程的正整数解的个数．
1．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．
（1）求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；
（2）在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
2．（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
（1）若，且，求；
（2）已知，证明：，并解释其几何意义；
（3）证明：，．
1．（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）集合具有性质，求的最小值；
（2）已知具有性质，求证：；
（3）已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
2．（2024·北京朝阳·高三统考期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且.
3．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？
（2）设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；
（3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．
4．（2024·全国·校联考模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；
（2）当时，对伯努利不等式进行证明；
（3）考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
5．（2024·全国·高三专题练习）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
6．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，恒成立，则称函数为区间上的“有界变差函数”；
（1）试判断函数是否为区间上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；若不是，说明理由；
（2）若与均为区间上的“有界变差函数”，证明：是区间上的“有界变差函数”；
（3）证明：函数不是上的“有界变差函数”.
8．（2024·重庆·校联考一模）如图1，已知，，，，，.
（1）求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积；
（2）将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角；
（3）某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
9．（2024·安徽合肥·统考一模）“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，
（1）计算：；
（2）证明：对于任意，
（3）证明：对于任意，
1．（2018·北京·高考真题）设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2．（2023·北京·统考高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足 使得．
3．（2022·北京·统考高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
4．（2020·北京·统考高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
5．（2018·江苏·高考真题）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s（1）求的值；
（2）求的表达式(用n表示)．
6．（2021·北京·统考高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
7．（2019·北京·高考真题）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．
集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.