2024年内蒙古赤峰市翁牛特旗中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 下列投影是平行投影的是( )
A. 太阳光下窗户影子B. 台灯下书本的影子
C. 在手电筒照射下纸片的影子D. 路灯下行人的影子
【答案】A
【解析】
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
【详解】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；
B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；
C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；
D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了平行投影特点：解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可．
3. 如图所示，下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义，平面内一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合的图形叫做中心对称图形．根据定义即可得出答案．
【详解】①不是轴对称图形，是中心对称图形；
②是轴对称图形，是中心对称图形；
③是轴对称图形，也是中心对称图形；
④是轴对称图形，不是中心对称图形；
故符合条件有②③，
故选：C．
4. 若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 在每个象限内，y随x的增大而减小B. 图象一定经过
C. 点A位于第二或四象限D. 图象一定经过
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质判断对错进行选择即可．
【详解】解：，
，
该反比例函数图象在第一或三象限，故C选项结论不正确，
图象经过点，
，
，即图象一定经过、，
B和D选项结论正确，
该反比例函数图象在第一或三象限，
在每个象限内，随的增大而减小，故A选项结论正确，
故选：C．
5. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1
【答案】A
【解析】
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：A．
6. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 最大值D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
7. 小明在探究二次函数的图象和性质时，运用列表、描点、连线的步骤画出图象．发现图象的最低点为，从而得出函数的最小值为6，他又根据平方的意义，得出的最小值为0，则的最小值为6，即得出函数的最小值为6．这个过程中蕴含的数学思想是（ ）
A. 类比B. 数形结合C. 从特殊到一般D. 转化
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“数形结合”的思想解答即可．
【详解】解：根据题意，这个过程中蕴含的数学思想是“数形结合”，
故选：B．
8. 二次函数与反比例函数的交点个数为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．
【详解】解：∵二次函数y=x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴；
反比例函数y=的图象在一、三象限，
故两个函数的交点只有一个，且在第三象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握．
9. 已知点(x1 ,-1),(x2 ,),(x3 ,3)都在反比例函数的图象上,则x1 ,x2,x3的大小关系是（ ）
A. x1＞ x2＞x3B. x1＞x3＞x2C. x2＞x1 ＞x3D. x3 ＞x1＞x2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据y1＜0＜y2＜y3即可得出结论．
【详解】∵反比例函数中k=﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵y1＜0＜y2＜y3，∴x1＞0，x2＜ x3＜0，∴x1＞x3＞x2．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）

A. 不大于B. 大于C. 不小于D. 小于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
故选：C．
11. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=，
∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，余角的性质，正弦三角函数等于对边比斜边．
12. 如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为______时，和相似．（）
A. 9B. 6C. 4或9D. 6或9
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
【详解】解：当△ADP∽△ACB时，
∴，
∴，
解得：AP=9，
当△ADP∽△ABC时，
∴，
∴，
解得：AP=4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．
13. 观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A. 0B. 1C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意寻找规律是解题的关键．
由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，由，，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，
∵，，
∴的结果的个位数字为1，
故选：B．
14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=•x•x=；
当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=•（4﹣x）•x=，
故选B．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分）
15. 夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越________（填“长”或“短”）．
【答案】短
【解析】
【分析】此题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
【详解】解：
由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短，
故答案为：短．
16. 若点在双曲线上，则代数式值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求出的值，进一步可求出的值．
【详解】解：∵在双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，则大树的高为______．（请用含m，的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，由题意可得，再根据锐角三角函数可求出，．又可证，即得出．
【详解】如图，延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，
结合题意可知，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD＝6，则k的值为____．
【答案】8
【解析】
【分析】过点C作CE垂直于OA 于E，由反比例函数k值的几何意义以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以得到，，再由和是等底同高的，所以面积相等，最后用割补法列出方程，即可求解．
【详解】解：过点C作CE垂直于OA 于E，
，
，
，
∵C为OB中点，
∴ ，
，
∵C、D都在反比例函数图像上，且图像在第一象限
，
∴ ，

∵C为OB中点，
∴和是等底同高的，
，
，
，
解得： ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数图像与性质，k值的几何意义，割补法求面积，三角形相似的判定与性质等知识，反比例函数k值的几何意义和割补法求面积是本题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19. 化简求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
20. 在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示：
（1）这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；
（2）如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆；
（3）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体．
【答案】（1）10，见解析
（2）64 （3）4
【解析】
【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图．
（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量；
（3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量．
【小问1详解】
由图可知小正方形的个数为：，
这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下：
故答案为：10；
【小问2详解】
解：（克），
故答案为：64；
【小问3详解】
解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示：
因此最多可添加4块．
故答案为：4．
21. 用棋子摆成的“T”字形图案，如图所示：
（1）填写下表：
（2）若某个“T”字形图案的棋子的个数为2024个，求该“T”字形图案的序号；
（3）直接写出第20个“T”字形图案共有棋子个数_______．并计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．
【答案】（1）见详解 （2）674
（3），个
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程，
（1）通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3枚棋子，得出摆成第③④个图形需要的棋子数；进而得出规律为摆成第n个图形需要个棋子；
（2）令，解方程即可求解；
（3）将代入中可求出第20个“T”字形图案棋子个数，，据此求解即可．
【小问1详解】
第①个图案有枚棋子，
第②个图案有枚棋子，
第③个图案有枚棋子，
依此规律可得第n个图案需:枚棋子；
填表如下：
【小问2详解】令，
解得：，
即该“T”字形图案的序号为；
【小问3详解】
将代入，可得：，
前20个“T”字形图案中棋子的总个数为：
（个）．
故前20个“T”字形图形案中棋子的总个数为个．
22. 如图，在平行四边形中，．
（1）尺规作图：过点C作，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若，．求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的基本作图，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，
（1）根据线段垂直平分线的基本作图完成即可；
（2）先求出，利用平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，求得的长，问题随之得解．
【小问1详解】
如图
就是所求作图形；
【小问2详解】
如图，∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴，，
∴，
又∵在中，，
∴
∴．
23. 大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，某滑雪运动员从离水平地面100m高的A点出发，沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，，求：
（1）线段的长度；
（2）该运动员滑行的水平距离的长度．（答案可带根号）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，
（1）作于E，作于F，由题意得，，，利用，，可得、，再证明四边形是矩形，可得：，，再利用进行求解即可；
（2）利用，求出，再结合（1）的结果即可作答．
【小问1详解】
解：如图，作于E，作于F，
，，
由题意得，，，，，
∵在中，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，在中，，
∴（）；
【小问2详解】
∵，在中，，，
∴，
由（1）得：，
，
即她滑行的水平距离为米．
24. 【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．
【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．
【答案】立柱，古树．
【解析】
【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，
基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得，据此判定，问题随之得解；
拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：，，问题随之得解．
【详解】基础解答
如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
解得：；
拓展拔高
如图，
根据题意有：，，，，
根据【基础解答】，同理可得：，，
∴，，
即有：，，
解得：，
即有（），
即古树．
25. 小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①至少写出该函数的两条性质；
②直接写出方程的解；
③直接写出方程有四个实数根时的取值范围．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象?写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）①关于y轴对称；函数的最大值为0（答案不唯一）；②，，；③
（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象；或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数图象的平移，数形结合，
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
【小问1详解】
①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，函数的最大值为0（答案不唯一）；
②由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示：
∴方程的解为，，；
③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；
故答案为；
【小问2详解】
由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．
26. 如图，等腰直角三角形中，，点P为边上的任意一点（不与点B，C重合），且，交于点D．
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数关系式；
（3）判断y是否有最大（或最小）值，若有，求出结果；若没有，说明理由．
【答案】（1）见详解 （2），
（3）有最小值，最小值为1
【解析】
【分析】本题考查了一线三等角的相似模型以及二次函数的图像与性质，
（1）先得出，，根据，，可得，即可证明，问题得证；
（2）根据，即可得，进而有，问题随之得解；
（3）将所得二次函数解析式化为顶点式，问题即可得解．
【小问1详解】
∵为等腰直角三角形,，
∴，，
又∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在三角形和中，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
在（1）中已证明△BPD∽△CAP，
∴，即，
又∵，，，，
∴，
得，
∵，点P为边上的任意一点（不与点B，C重合），
∴，
即：，；
【小问3详解】
有最小值，最小值为1，理由如下：
∵，，
又∵，
∴当时，y有最小值，最小值为：．图案序号
1
2
3
4
…
每个图案中棋子的个数
5
8
…
图形序号
1
2
3
4
…
n
每个图案中棋子个数
5
8
11
14
…