2024年内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹第六中学中考三模数学试题

这是一份2024年内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹第六中学中考三模数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．0.384×105B．0.384×106C．3.84×105D．3.84×106
3．（3分）如图所示的五棱柱，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．a8÷a6＝a2
5．（3分）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
6．（3分）把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）将一块直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36°B．45°C．54°D．60°
8．（3分）如图，AB＝AC，CD是⊙O的直径，∠ABC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．45°
9．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
10．（3分）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
A．5cmB．4.5cmC．6.5cmD．8cm
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y＝2x上，顶点Q在函数（k＞0，x＞0）的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为（ ）
A．6B．C．12D．
12．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
13．（3分）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）
A．收缩压的中位数为139
B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142
D．舒张压的方差为
14．（3分）如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE；
⑤CD＝HF，其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题
15．（3分）因式分解：2x3y﹣12x2y2+18xy3＝ ．
16．（3分）如图，将▱AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D．若OA＝6，OB＝5，且OD：BD＝3：4，则点C的坐标为 ．
17．（3分）如图，某高度为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端C的仰角为45°，避雷针底部B的仰角为37°，避雷针BC的长度为 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．（3分）在直角坐标系中，直线与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A1B2平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则等边△A2016A2017B2017的边长是 ．
三、解答题
19．先化简再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．
20．请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ ）．
21．（12分）为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制计入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%计入总分．
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示：10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是 ，中位数是 ；
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
22．在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：
通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．
（1）求小麦的种植面积．
（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．
23．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M（x，y）在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点（0，1）和（2，2），则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
（1）当n＝1时，若一次函数y＝kx+t是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过点D（1，3），与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下，点P（a﹣1，y1），Q（a+3，y2）是二次函数y＝ax2+bx+4图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为10a2，求a的值．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为BA延长线上一点，点D为⊙O上一点，连接CD，AD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2OA，EF＝2，求BD的长．
25．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
26．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．求的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请得符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
2．（3分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．0.384×105B．0.384×106C．3.84×105D．3.84×106
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：C．
3．（3分）如图所示的五棱柱，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，是一个正五边形．
故选：A．
4．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．a8÷a6＝a2
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意；
B、（a3）4＝a12，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误，不符合题意；
D、a8÷a6＝a2，正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【解答】解：∵，即，
∴，
∴ 的值应在4和5之间，
故选：A．
6．（3分）把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x﹣3＜2x，得x＞﹣3，
解不等式，得x≤5，
故原不等式组的解集是﹣3＜x≤5，
其解集在数轴上表示如下：
故选：C．
7．（3分）将一块直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．36°B．45°C．54°D．60°
【解答】解：过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠CMN＝∠1＝36°，∠2＝∠AMN，
∵∠AMC＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣36°＝54°，
∴∠2＝54°．
故选：C．
8．（3分）如图，AB＝AC，CD是⊙O的直径，∠ABC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝35°，
∴∠ACD＝55°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝35°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝55°﹣35°＝20°，
故选：A．
9．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
10．（3分）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
A．5cmB．4.5cmC．6.5cmD．8cm
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
又∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，
∴，
又∵AB＝3cm，
∴CD＝4.5cm，
故选：B．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线y＝2x上，顶点Q在函数（k＞0，x＞0）的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为（ ）
A．6B．C．12D．
【解答】解：∵点Q的横坐标为，
∴M（3，0），
∵直线y＝2x，
∴，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴，OM＝3，
∴ON＝，
∴MN＝MQ＝2，
∴Q（3，2），
∵点Q在反比例函数图象上，
∴k＝3×2＝12．
故选：C．
12．（3分）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.5）元，
依题意得：＝．
故选：B．
13．（3分）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）
A．收缩压的中位数为139
B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142
D．舒张压的方差为
【解答】解：把7天的收缩压从小到大排列，排在中间的数是140，故中位数是140，故选项A符合题意；
在7天的舒张压中，88出现的次数最多，所以舒张压的众数为88，故选项B不符合题意；
收缩压的平均数为：（151+148+140+139+140+136+140）＝142，故选项C不符合题意；
舒张压的平均数为（90+92+88+88+90+80+88）＝88，
舒张压的方差为[2×（90﹣88）2+（92﹣88）2+（80﹣88）2+3×（88﹣88）2＝，故选项D不符合题意．
故选：A．
14．（3分）如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE；
⑤CD＝HF，其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：∵∠ABE＝90°，AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，AE＝BE，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AE＝BE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°，
∴∠DAB＝∠ABE＝90°，AH＝DH＝AB＝BE，
又∵DC⊥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝DH，AD＝BC＝BE，∠BCD＝∠DHE＝90°，
∵DH＝DC，DE＝DE，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH（HL），
∴HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°，
∴DE平分∠HDC，故①正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴∠ABH＝∠AHB＝67.5°，
∴∠OHE＝∠OEH＝67.5°，
∴OH＝OE，∠DHO＝22.5°＝∠HDO，
∴DO＝HO，
∴OE＝OD，故②正确；
如图，连接CH，
∵∠ABH＝67.5°，
∴∠CBH＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵HE＝EC，∠AEB＝45°，
∴∠ECH＝∠EHC＝22.5°，
∴∠HBC＝∠HCE，∠FCH＝67.5°，
∴BH＝CH，∠FCH＝∠BFC，
∴HC＝HF，
∴BH＝HF，
∴点H是BF的中点，故③正确，
如图，过点H作HN⊥BC于N，
∴HN∥CD，
∴△BHN∽△BFC，
∴＝，
∴FC＝2HN，
∵AE＝BE，AH＝BE，
∴HE＝（﹣1）BE＝CE，
∵HN⊥BC，∠AEB＝45°，
∴HN＝HE＝（﹣1）BE，
∴CF＝2HN＝（2﹣）BE，
∵BC﹣CF＝BE+CE﹣CF＝BE+（﹣1）BE﹣（2﹣）BE＝2（﹣1）BE，
∴BC﹣CF＝2CE，故④正确；
∵∠HFD＝180°﹣67.5＝112.5°，∠HDF＝45°，
∴∠HFD≠∠HDF，
∴HF≠DH，
∴HF≠CD，故⑤不合题意，
故选：B．
二、填空题
15．（3分）因式分解：2x3y﹣12x2y2+18xy3＝ 2xy（x﹣3y）2 ．
【解答】解：2x3y﹣12x2y2+18xy3
＝2xy（x2﹣6xy+9y2）
＝2xy（x﹣3y）2，
故答案为：2xy（x﹣3y）2．
16．（3分）如图，将▱AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D．若OA＝6，OB＝5，且OD：BD＝3：4，则点C的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：∵四边形AOBC是平行四边形，边AO与x轴重合，OA＝6，
∴BC∥x轴，BC＝OA＝6，
∴∠ODB＝∠AOD＝90°，
∵OB＝5，OD：BD＝3：4，
∴OD＝BD，
∵OB＝＝＝BD＝5，
∴BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣4＝2，OD＝×4＝3，
∴C（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
17．（3分）如图，某高度为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端C的仰角为45°，避雷针底部B的仰角为37°，避雷针BC的长度为 5米 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝1.5米，AB＝16.5米，
∴BF＝AB﹣AF＝16.5﹣1.5＝15（米），
在Rt△DBF中，∠BDF＝37°，
∴DF＝≈＝20（米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，
∴CF＝DF•tan45°＝20（米），
∴BC＝CF﹣BF＝20﹣15＝5（米），
∴避雷针BC的长度约为5米，
故答案为：5米．
18．（3分）在直角坐标系中，直线与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A1B2平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则等边△A2016A2017B2017的边长是 22016 ．
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴交于点B1，
∴B1（1，0），OB1＝，△OA1B1边长为，
∵直线l：y＝x﹣与x轴夹角为30°，∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∵A1B2∥x轴，
∴∠OB1A1＝∠B1A1B2＝60°，
∴∠A1B2B＝30°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，△A1B2A2的边长为2，
同理可得：，△A2B3A3的边长为22，
由此变化规律可得：△AnAn+1Bn+1的边长是2n，
∴△A2016A2017B2017的边长为22016，
故答案为：22016．
三、解答题
19．先化简再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．
【解答】解：原式＝﹣•＝﹣x+1，
解不等式组得﹣1＜x≤2，
符合不等式解集的整数是0，1，2，
当x＝0时，原式＝1．
20．请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE＝AF，求证：平行四边形ABCD为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① AD∥BC ，
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴② ∠DEC＝∠AFD＝90° ，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴③ AD＝DC ，
∴平行四边形ABCD是菱形（④ 邻边相等的平行四边形为菱形 ）．
【解答】（1）解：如图，AF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠ADF＝∠C，
∵DE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠DEC＝∠AFD＝90°，
在△AFD与△DEC中：
，
∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为：AD∥BC，∠DEC＝∠AFD＝90°，AD＝DC，邻边相等的平行四边形为菱形．
21．（12分）为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制计入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%计入总分．
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示：10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是 90 ，中位数是 88.5 ；
（2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
（3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
【解答】解：（1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是90，中位数为×（88+89）＝88.5；
故答案为：90，88.5；
（2）∵85×+90×+90×+80×+70×+75×＝83.5，
∴1号参赛试题在第一环节中的得分为83.5；
（3）几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别用1、2、3、4表示，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
∴P（抽到“推理能力”和“模型观念”）＝＝．
22．在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：
通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．
（1）求小麦的种植面积．
（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．
【解答】解：（1）设小麦的种植面积为x亩，
由题意得 ，
即，
方程两边同乘x（x﹣5000），
得 1080x＝1440（x﹣5000），
解得 x＝20000．
检验：当x＝20000时，x（x﹣5000）≠0，
∴x＝20000是分式方程的解．
答：小麦的种植面积为20000亩；
（2）设改种蔬菜的面积为y亩，
根据题意得．
解得y≤4000．
答：改种蔬菜的最大面积为4000亩．
23．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M（x，y）在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点（0，1）和（2，2），则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
（1）当n＝1时，若一次函数y＝kx+t是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是 y＝x（答案不唯一） （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过点D（1，3），与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下，点P（a﹣1，y1），Q（a+3，y2）是二次函数y＝ax2+bx+4图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为10a2，求a的值．
【解答】解：（1）如图：
当n＝1时，A（1，0），B（1，1），C（0，1），
当一次函数y＝kx+t图象过O（0，0），B（1，1）时，其解析式为y＝x，此时直线y＝x与正方形OABC只有两个交点，
∴一次函数y＝x是正方形OABC的“LS函数”；
故答案为：y＝x（答案不唯一）；
（2）该函数是正方形OABC的“LS函数”；理由如下：
把点D（1，3）代入中得：，
解得m＝3，
∴，
把x＝3代入得y＝1，
∴点E的坐标为（3，1），
∴函数y＝的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D，E均是“LS点”，
∴函数 是正方形OABC的“LS函数”；
（3）当n＝4时，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（0，4），
把点B（4，4）代入二次函数 y＝ax2+bx+4 中得：4＝16a+4b+4，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4a+4），
在y＝ax2﹣4ax+4中，令x＝0得y＝4，
∴点C（0，4）在函数 y＝ax2+bx+4 的图象上，
函数 y＝ax2+bx+4 是正方形OABC的“LS函数”，其图象经过点B，C，
①当a＞0时，抛物线顶点在x轴上方，
∴﹣4a+4＞0，
解得a＜1，
∴0＜a＜1；
②当a＜0时，函数 y＝ax2+bx+4图象经过点B，C，则函数 y＝ax2+bx+4一定是正方形OABC的“LS函数”；
综上所述，a的取值范围为0＜a＜1或a＜0；
（4）由（3）知，该函数图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标为（2，﹣4a+4），
当0＜a＜1时，有﹣1＜a﹣1＜0，3＜a+3＜4，抛物线开口向上，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶点，
∴a（a﹣1）2﹣4a（a﹣1）+4﹣（﹣4a+4）＝10a2，
整理得：a2﹣16a+9＝0，
解得：， （舍去）；
当a＜0时，抛物线开口向下，
①当a+3≥2，即﹣1≤a＜0时，有﹣2≤a﹣1＜﹣1，2≤a+3＜3，
∴点P，Q之间的图象的最高点是顶点，最低点是点P，
∴（﹣4a+4）﹣[a（a﹣1）2﹣4a（a﹣1）+4]＝10a2，
整理得 a2+4a+9＝0，此方程无实数根，a的值不存在；
②当a+3＜2，即a＜﹣1时，有a﹣1＜a+3＜2，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P，
∴[a（a+3）2﹣4a（a+3）+4]﹣[a（a﹣1）2﹣4a（a﹣1）+4]＝10a2，
整理得a+4＝0，
解得a＝﹣4；
综上所述，a的值是 或﹣4．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为BA延长线上一点，点D为⊙O上一点，连接CD，AD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2OA，EF＝2，求BD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°．
∴∠OAD+∠AOF＝90°．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，即∠ODC＝90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：设OD＝OA＝OB＝r，
∵AC＝2OA，
∴AC＝2r，OC＝3r．
∴BC＝OC+OB＝4r．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°．
∴∠AEO＝∠ADB．
∴AE＝DE，OE∥BD．
∵OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线．
∴．
∴BD＝2OE．
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD．
∴．
∴，
∴，
解得OE＝4．
∴BD＝8．
25．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于1.5+0.5＝2，
∴﹣×（）2++0.5+n≥2，
解得n≥，
∴水管高度至少向上调节米，
∴0.5+＝（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求．
26．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．求的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．求的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD．
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
设AB＝x，则BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝x，
∴＝＝＝；
（3）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝．测量时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
收缩压（毫米汞柱）
151
148
140
139
140
136
140
舒张压（毫米汞柱）
90
92
88
88
90
80
88
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
类别
小麦
大豆
总产量/万公斤
1440
270
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
测量时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
收缩压（毫米汞柱）
151
148
140
139
140
136
140
舒张压（毫米汞柱）
90
92
88
88
90
80
88
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
类别
小麦
大豆
总产量/万公斤
1440
270
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5