湖南省长沙市岳麓区2023-2024学年高三下学期数学模拟试题（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市岳麓区2023-2024学年高三下学期数学模拟试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数 +z2对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．
4．已知，则实数的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
5．为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“10合1检测法”，即将10个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对来自重点管控区的100人进行核酸检测，若有2人感染病毒，则随机将其平均分成10组后这两名感染患者在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知奇函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．-1或1B．或
C．-2或2D．或
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆的左､右焦点，点A是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）
A．高为
B．表面积为
C．体积为
D．上底面积、下底面积和侧面积之比为
10．利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程是 .
13．已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 ．
14．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为 kg．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设数列的前项和为，若，.
（1）求，，并证明：数列是等差数列；
（2）求.
16．已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值.
17．某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
18．已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.
（1）求证：；
（2）已知，平面，且平面.
①求证：；
②求与平面所成角的正弦值.
19．已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的最小值.
答案解析部分
1．B
2．A
3．D
4．C
5．C
6．D
7．D
8．B
9．B,C,D
10．A,B,D
11．B,C
12．；
13．
14．54.5
15．（1）解：当时，由条件得，所以.
当时，由条件得，所以.
因为，所以（），
两式相减得：，即，
所以，
从而数列为等差数列.
（2）解：由（1）知，
与（1）类似，可证：，，…，成等差数列，
所以
16．（1）解：（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减.
（2）解：令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，，
解得：，所以的最小值为
17．（1）解：法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；
再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；
若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）解：①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.
②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为.
所以，前三次传球中满足题意的概率为：.
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.
18．（1）证明：连交于，连.
由于为的重心，所以为的中点.
在三棱柱中，因为，，，所以，从而.
由于为的中点，所以，，又，
所以平面，因为平面，所以，
因为，所以.
（2）证明：①∵，，∴为正三角形；同理，也为正三角形，∴，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，
由于为的重心，∴平面，又平面，所以.
解：②设的重心为，，且，在平面内，过作，连，则平面.
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，
所以，，，，
，
所以.
设，与平面所成的角为，
则，
所以，
因为平面，所以设，由①知：，从而存在实数，使，
所以，解得：，，，
从而.，令，
，令，
.
19．（1）解：因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为（，），从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，所以，，双曲线的方程为：.
（2）解：①，设直线的方程为：，将代入方程：，
得：，当且时，
设，，则，.
设直线得倾斜角为，不妨设，则，
由于，，，四点共圆知：，所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，令，则，从而，
所以，又，得：，
，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点的坐标为.
②，由①知：，所以.
，所以，
若，在轴上方时，在的上方，即时，；
若，在轴下方时，即时，，所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆的半径为，面积为，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.