内蒙古霍林郭勒市第五中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于或等于0和分母不为0列出不等式组并求解即可．
【详解】解：根据题意可得
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．
2. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一验证排除即可．
【详解】A．是最简二次根式，故此选项正确；
B．=，故此选项错误；
C．=，故此选项错误；
D．=，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
3. 下列各式中，属于勾股数的一组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股数的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、∵都不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
D、∵，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，满足的三个正整数称为勾股数．
4. 下列图象能表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案．
【详解】A．如图，，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
B．如图，，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
C．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5. 等腰三角形的周长为20，设底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为（为自变量）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的腰长=（周长-底边长）÷2，把相关数值代入即可．
【详解】等腰三角形的腰长y=（20-x）÷2=-+10．
故选C．
【点睛】考查列一次函数关系式；得到三角形底腰长的等量关系是解决本题的关键．
6. 由下列条件，可以唯一确定一个平行四边形的是（ ）
A. 两条邻边长B. 两条对角线长
C. 一边长及另一边上的高D. 两条对角线长及一边长
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质和三角形构成特点即可解答.
【详解】知道两条对角线长就知道两条对角线长度的一半，因为两条对角线的一半和一边必然组成一个三角形，确定了平行四边形中的一个三角形，就可以确定整个平行四边形.
故选：D.
【点睛】此题考查平行线的对角线互相平分的性质，题中考虑对角线与三角形构成特点的关系是解题的关键.
7. 如图，中，，平分，，，则的长是（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
过点作于，根据角平分线的性质和已知条件分别求得，再根据三角形面积公式求得，进而求得．
【详解】过点作于，
平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
∴．
故选：B．
8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A. 直角三角形纸片的面积B. 最大正三角形纸片的面积
C. 最大正三角形与直角三角形的纸片面积和D. 较小两个正三角形纸片重叠部分的面积
【答案】D
【解析】
【分析】设三个等边三角形的面积分别为、、，则有，利用三角形面积的和与差可得结论．
【详解】解：如图，以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为、、，
则有，
∴，
∴，
即阴影部分的面积等于较小两个正三角形纸片重叠部分的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明和三角形的面积，直观识图是关键．
9. 如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A. OB=OCB. DEABC. DB=DED. =
【答案】C
【解析】
【分析】作图步骤可得出直线为线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质判断选项；线段为的中位线，根据中位线的性质判断选项即可．
【详解】解：由题意可知直线为线段的垂直平分线
∴，，故选项A正确；
∵为线段的中点，为线段的中点
∴线段为的中位线
∴，，故选项B正确；
∴=，故选项D正确；
∵
∴，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的画法与性质以及中位线的性质．
10. 如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连结，，则下列命题：①若，则；②若，则;③若正方形边长为4，则的最小值为2，其中正确的命题是( )

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于Q，利用证明，可得，即可判定①；由可证得，利用平行线的判定可证明②的正确性；当时，有最小值，此时P为的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得的最小值，进而求得的最小值，进而可判定③．
【详解】解：延长交于Q，

∵四边形为正方形，
∴，，，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形矩形，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
若，则，故①正确；
若，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
当时，有最小值，此时P为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，故③错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用，证明是解题的关键．
二、填空题（共21分）
11. Rt△ABC的两边长分别为6和8，则三边长是_____．
【答案】6，8，10或6，8，2
【解析】
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：设第三边为x，则
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2，解得：x＝10；
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2．
所以第三边长为10或2．
故答案为：6，8，10或6，8，2
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
12. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____．
【答案】20
【解析】
【详解】试题分析：根据面得菱形的另一条对角线为8，则边长为=5，则周长=5×4=20.
考点：菱形的性质.
13. 已知,则的值为______________.
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了代数式的求值，关键是根据二次根式有意义的条件求出x的值．
根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求出x的值，再根据根据x的值求出y的值，即可代入求解．
【详解】由题意可得
解得
∴
∴
故答案为5．
14. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
15. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质及勾股定理，求出AC的长度，易得△ADC≌△ADE，则可求出BE的长度，再利用等腰直角三角形即可得到CD的长度．
【详解】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴AC＝AB＝2 ，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴，
∴AC＝AE，CD=DE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2 ，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∴CD＝BE＝4﹣2 ，
故答案为：4﹣2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形和角平分线的性质，利用三角形全等将线段进行转化是解题的关键．
16. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线定理推出PE=AD，PF=BC，由此得到PE=PF，推出△PEF是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵，
∴PE=PF，
∴△PEF等腰三角形，
∴∠PFE=，
∴=，
故答案为：．
【点睛】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．
17. 如图，在正方形中，，点E、F分别在，上，连接、，若，则最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】由“”可证，可得，点，点，点三点共线时，的最小值为，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
作点关于的对称点，连接，，
，
，
点，点，点三点共线时，的最小值为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定点位置是解题的关键．
三、解答题（共69分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，正确化简每一项是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂，零指数幂，算术平方根分别化简计算即可；
（2）先化简，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确化简是解题的关键．
先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再进行减法运算，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，原式．
20. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
【答案】树高AB为m．
【解析】
【分析】设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点睛】本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．
21. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先由四边形ABCD是平行四边形可得AD//BC，AD＝BC，进而得到∠ADE＝∠CBF；再根据AE//CF得到∠AEF＝∠CFE，进而得到∠AED＝∠CFB；再利用AAS得到三角形△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的对应边相等即可证明结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE//CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AED＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，证得△ADE≌△CBF是解本题的关键．
22. 甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离y2（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）小明步行的速度是 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 米/分钟；
（2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标；
（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值．
【答案】（1）50，150；（2）（75，375）；（3）7，8或14
【解析】
【分析】（1）根据题意和图象中数据，可以得到小明步行的速度和小亮骑车的速度；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出点E坐标；
（3）根据题意，可知有三种情况，两人相距100米，然后分别计算出x的值即可．
【详解】（1）由图可知，
小明步行的速度为1500÷30＝50（米/分钟），
小亮骑车的速度为1500÷10＝150（米/分钟），
故答案为：50，150；
（2）点E的横坐标为：1500÷（50+150）＝7.5，纵坐标为：50×7.5＝375，
即点E的坐标为（7.5，375）；
（3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14．
理由：两人相遇前，（50+150）x+100＝1500，得x＝7，
两人相遇后，（50+150）x﹣100＝1500，得x＝8，
小亮从甲地到追上小明时，50x﹣100＝150（x﹣10），得x＝14，
即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，解答的关键是从函数的图象中获取有效信息.
23. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）度
【解析】
【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）利用证明，即可得；
（2）设，根据“等边对等角和三角形内角和定理”列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得、、是等腰三角形，设，依题意得
，
解得，
，
为度．
24. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
【答案】（1）AE=t，AD=12-2t；
（2）见解析 （3）当t=3秒或t=秒时，△DEF为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值．
【小问1详解】
解：由题意得AE=t，AD=12-2t；
【小问2详解】
解：∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=CD=×2t=t，
∵AE=t，
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
【小问3详解】
解：①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=AD，
∴t=（12-2t），
∴t=3；
③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∴AD=AE，
∴12-2t=t，
∴t=，
综上：当t=3秒或t=秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质．另外，解题时，需要分类讨论．