2023-2024学年内蒙古包头三十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古包头三十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若m>n，下列不等式不一定成立的是( )
A. m2>n2B. −3m<−3nC. m3>n3D. m+3>n+3
2.一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.分式|x|−4x−4的值为0，则x的值是( )
A. 0B. −4C. 4D. −4或4
4.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kxA. x<1
B. x>1
C. x<2
D. x>2
5.已知关于x的分式方程2x−mx−3=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤3B. m<3C. m>3且m≠6D. m≥3且m≠6
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. DE=BFB. OE=OF
C. ∠ADE=∠CBFD. ∠ABE=∠CDF
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=4 2，DE=2，则线段BD的长为( )
A. 6
B. 6 2
C. 4 10
D. 4 7
8.如图，A(0,3)，B(−2,0)，C(3,0)都是▱ABCD的顶点，若将▱ABCD沿x轴向右平移，使AB边的中点E的对应点E′恰好落在y轴上，则点D的对应点D′的坐标是( )
A. (6,32)B. (4,32)C. (6,3)D. (4,3)
9.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE.若AB=7，DE=1，则AC的长度是( )
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 5.5
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：ma2−6ma+9m= ______．
12.若不等式组x−a>02x−3≤1有解，则a的取值范围是______．
13.关于x的分式方程mx−2−32−x=1有增根，则m的值为______．
14.如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和AB上的点，AE/​/CF，连接BE和DF，已知，AF=2BF，四边形BFDE的面积是3，则四边形AFCE的面积是______．
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是______．
16.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.则：①OE=OF；②若AB=4，AC=6，则2四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算题：
(1)解不等式组3(x−1)−x<22x+13≤x+1，并写出这个不等式组的所有整数解．
(2)先化简：(xx−2−4x2−2x)÷x+2x2，然后从−2≤x< 7，中选一个你认为合适的整数作为x的值代入求值．
18.(本小题8分)
解方程：xx−2−1=xx2−4．
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,5)，B(6,3)，C(2,1)均在格点上.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长1个单位长度的正方形)
(1)画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
．
20.(本小题8分)
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等.篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？
(3)商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，若BD=14，AE+CF=EF，求EG的长．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，BC=10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)AP=______，CQ=______，(分别用含有t的式子表示)；
(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】
解：A、如果m=2，n=−3，m>n，m2B、不等式的两边都乘以−3，不等号的方向改变，故B正确，不符合题意；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；
D、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意；
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，多边形的外角和等于360度．
根据多边形内角和公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)结合题意可列出方程180(n−2)=360×2，再解即可．
【解答】
解：由题意得：180(n−2)=360×2，
解得：n=6，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵分式|x|−4x−4的值为0，
∴|x|−4=0且x−4≠0，
解得x=−4．
故选：B．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据图象可知：两函数的交点为(1,2)，
所以关于x的一元一次不等式kx故选：A．
写出直线y=kx在直线y=mx+n下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5.【答案】D
【解析】解：方程两边都乘x−3，
得2x−m=x−3，
解得x=m−3，
∴m−3≥0且m−3−3≠0，
解得m≥3且m≠6，
故选：D．
先解此方程得x=m−3，再运用一元一次不等式和分式方程解的范围进行求解．
此题考查了求解分式方程的应用能力，关键是能准确求解分式方程，并能运用分式方程解的范围和解一元一次不等式的知识进行求解．
6.【答案】A
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
由OB=OD，DE=BF，∠DOE=∠BOF，不能判定△DOE≌△BOF，
∴不能得出OE=OF，
∴不能判定四边形DEBF是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，AD/​/CB，
∴∠DAE=∠BCF，
又∵∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、同上得：△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，DE=2，
∴AD=AB，BC=DE=2，∠DAB=90°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 2，BC=2，
∴AB= AC2+BC2= (4 2)2+22=6，
∴BD= AD2+AB2= 62+62=6 2，
故选：B．
由旋转的性质得出AD=AB，BC=DE=2，∠DAB=90°，进而得出△DAB为等腰直角三角形，由勾股定理求出AB=6，再利用勾股定理即可求出BD的长度．
本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A(0,3)，B(−2,0)，C(3,0)都是▱ABCD的顶点，
∴AB=CD，AB/​/CD，3−(−2)=5，
即线段AB沿x轴向右平移5个单位得到线段CD，点D是点A的对应点，点C是点B的对应点，
∴D(5,3)，
∵点E是线段AB边的中点，
∴点E的坐标为(−2+02,0+32)，即(−1,32)，
过点E作EF⊥y轴，
∴∠AE′E=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AE′E=∠AOB，
∴EE′//BC，
∴点E′是线段AO边的中点，
∴E′(0,32)，
∵将▱ABCD沿x轴向右平移，使AB边的中点E的对应点E′恰好落在y轴上，
又∵E(−1,32)，0−(−1)=1，
∴▱ABCD沿x轴向右平移1个单位，
∴D′(6,3)．
故选：C．
首先根据平移及平行四边形的性质确定D(5,3)，利用中点坐标公式得出E′(0,32)，根据三角形中位线的判定确定点E′是线段AO边的中点，继而得到E′(0,32)，从而确定▱ABCD向右平移1个单位，据此得解．
本题考查平行四边形的性质，平移的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
∠AEF=∠EAC AE=AE ∠AEF=∠AEC ，
∴△EAF≌△EAC(ASA)，
∴AF=AC，EF=EC，
又∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE=2．
∴AC=AF=AB−BF=7−2=5；
故选：C．
延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC，EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=2，即可得出结果．
此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
10.【答案】BC
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：BC．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
11.【答案】m(a−3)2
【解析】解：ma2−6ma+9m
=m(a2−6a+9)
=m(a−3)2，
故答案为：m(a−3)2．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】a<2
【解析】解：由x−a>0得：x>a，
由2x−3≤1得：x≤2，
∵不等式组有解，
∴a<2，
故答案为：a<2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】−3
【解析】解：方程两边乘(x−2)得：m+3=x−2，
∴x=m+5，
∵方程有增根，
∴x−2=0，
∴m+5=2，
∴m=−3，
故答案为：−3．
方程两边乘(x−2)，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x=2，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵AE/​/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，
∴AB−AF=CD−CE，
∴BF=DE，
∵BF/​/DE，BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
设AB与CD之间的距离为h，
∵四边形BFDE的面积是3，
∴BF⋅h=3，
∵AF=2BF，
∴S四边形AFCE=AF⋅h=2BF⋅h=2×3=6，
故答案为：6．
先证明四边形AFCE是平行四边形，得AF=CE，即可推导出BF=DE，则四边形BFDE是平行四边形，设AB与CD之间的距离为h，BF⋅h=3，由AF=2BF，得S四边形AFCE=AF⋅h=2BF⋅h=2×3=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形AFCE和四边形BFDE都是平行四边形是解题的关键．
15.【答案】3013
【解析】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE=12CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 52+122=13．
∵S△ABC=12⋅AB⋅CM=12⋅AC⋅BC，
∴CM=6013．
∴DE=12CM=3013．
故答案是：3013．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
16.【答案】①②③④
【解析】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC．
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO．
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCF∠AEO=∠CFOAO=CO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF．
故①正确．
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=12AC=3，BD=2BO．
又AB=4，
∴1∴2故②正确．
③∵O为BD的中点，
∴S△AOB=12S△ABD．
∴S△AOB=12S△ABD=14S▱ABCD．
故③正确．
④∵△AOE≌△COF，
∴S四边形AOFB+S△AOE=S四边形AOFB+S△COF．
∴S四边形ABFE=S△ABC．
故④正确．
故答案为：①②③④．
根据平行四边形的性质可得到△AOE≌△COF，可判断①是否正确；根据三角形三边关系可得到1本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理及性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3(x−1)−x<22x+13≤x+1，
解不等式3(x−1)−x<2，得x<52，
解不等式2x+13≤x+1，得x≥−2，
所以不等式组的解集是−2≤x<52，
即不等式组的整数解是−2，−1，0，1，2；
(2)(xx−2−4x2−2x)÷x+2x2
=[x2x(x−2)−4x(x−2)]⋅x2x+2
=x2−4x(x−2)⋅x2x+2
=(x+2)(x−2)x(x−2)⋅x2x+2
=x，
要使分式有意义，x(x−2)≠0且x+2≠0，
所以x不能为0，2，−2，
∵x满足条件−2≤x< 7的一个整数，
∴取x=−1，
所以原式=−1．
【解析】(1)先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可；
(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为0，2，−2，取x为−1，最后代入求出答案即可．
本题考查了估算无理数的大小，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算等知识点，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(1)的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解(2)的关键．
18.【答案】解：方程去分母，两边同乘(x+2)(x−2)，
得x(x+2)−x2+4=x，
去括号，得x2+2x−x2+4=x，
解得x=−4，
检验：把x=−4代入(x+2)(x−2)=12≠0．
∴原方程的解为：x=−4．
【解析】本题考查解分式方程的方程，因为x2−4=(x+2)(x−2)，所以可确定原方程的最简公分母为(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意一定要检验．
本题考查了解分式方程，掌握将分式方程转化为整式方程是关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求作三角形，A1(−3,5)；

(2)如图，△A2B2C为所求作三角形，点A2的坐标为(6,−2)．

【解析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出的对应点A2、B2即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20.【答案】解：(1)设足球单价为x元，则篮球单价为(x+30)元，
由题意得：360x=480x+30，
解得x=90，
经检验：x=90是原分式方程的解，
则x+30=120，
答：足球单价为90元，篮球单价为120元；
(2)设购买篮球m个，则购买足球(13m+10)个，
由题意得：(150−120)m+(110−90)⋅(13m+10)>1300，
解得m>30，
∵13m+10为整数，
∴m的最小整数值为33，
故篮球最少要卖33个；
(3)设购买篮球n个，则购买足球(100−n)个，
由题意得：120n+90(100−n)≤10350，
解得：n≤45，
∵篮球不少于40个，
∴40≤n≤45，
∴有6种方案，
设商场获利w元，
由题意得：w=(150−120)n+(110−90)(100−n)=10n+2000，
∵10>0，
∴w随n的增大而增大，
∴n=45时，w有最大值，
100−45=55(个)，
答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大．
【解析】(1)利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；
(2)设购买篮球m个，则购买足球(13m+10)个，根据题意列不等式即可；
(3)设购买篮球n个，则购买足球(100−n)个，根据题意求出n的取值范围，再根据(1)的结论列不等式即可得出购买方案，设商场获利w元，列出w关于n的函数关系式，利用一次函数的性质即可解答．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
在△AGE和△CHF中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE/​/HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
(2)解：连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=14，
∴OB=OD=7，
∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，AE=CF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=12OB=72．
【解析】(1)证△AGE≌△CHF(SAS)，得GE=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得GE/​/HF，即可得出结论；
(2)先由平行四边形的性质得出OB=OD=7，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
22.【答案】t cm 2t cm
【解析】解：(1)∵点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
∴设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm，
故答案为：t cm；2t cm；
(2)设t秒后四边形ABQP是平行四边形；
根据题意得：AP=t cm，CQ=2t cm，
则BQ=(6−2t)cm；
∵AD/​/BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=10−2t，
解得：t=103，
即103秒时四边形ABQP是构成平行四边形；
当四边形DCQP是平行四边形，
根据题意得：AP=x cm，CQ=2x cm，
则PD=(6−x)cm；
∵AD/​/BC，
∴当AP=BQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x=6−x，
解得：x=2，
当PD=BQ时，
10−2x=6−x，
解得：x=4，
因此2或103或4秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形；
(3)设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t，
∵AD=6cm，BC=10cm，
∴PD=(6−t)cm，QB=(10−2t)cm，
当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，
四边形ABQP和PDCQ的面积相等，
则6−t+2t=t+10−2t，
解得：t=2，
答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．
(1)设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm，
(2)设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP=t cm，CQ=2t cm，由AP=BQ得出方程，解方程即可；第二种情况：四边形DCQP是平行四边形，根据题意得：AP=x cm，CQ=2x cm，则PD=(6−x)cm进而可得方程2x=6−x，再解即可，再利用PD=DQ得出答案．
(3)AP=t cm，CQ=2t cm，则PD=(6−t)cm，QB=(10−2t)cm，四边形ABQP和PDCQ是同高，因此根据梯形面积公式可得6−t+2t=t+10−2t，再解即可；
此题主要考查了平行四边形的判定，以及梯形的面积计算，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．