2021-2022学年内蒙古包头市包钢三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年内蒙古包头市包钢三中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3. 下列多项式中，能分解出因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列命题：若，则；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；等边三角形的三个内角都相等；全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如果、同时扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 变为原来的 D. 不变

6. 已知，，是三角形的三边，那么代数式的值(    )

A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不能确定

7. 若关于的不等式组有个整数解，则正整数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法：是的解；若，则；是一个完全平方式，则；两个连续奇数的平方差是的整数倍；若分式的值为，则的值为；已知是关于的一元一次不等式，则的值为其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 某工厂原有煤吨，原计划每天烧吨，后来改进生产设备，每天节约了吨，则实际比原计划多烧了多少天(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的分式方程有增根，则的值是(    )

A. 或 B.
C.  D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 化简的结果为______．
12. 若关于，的二元一次方程组中，的值为负数，的值为正数，则的取值范围是______．
13. 已知实数满足，则代数式的值为______．
14. 若关于的不等式的解集中的任意，都能使不等式成立，则的取值范围是______．
15. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，根据图象可得关于的不等式的解集为______．

16. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为______．
17. 如图，在中，，，平分交于点，于，若，则的周长是______．

18. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：；；；，其正确的个数是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共46分）

19. 解不等式组；
    因式分解：；
    解方程：；
    先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
20. 市政公司为绿化建设路风景带，计划购买甲乙两种树苗株，甲种树苗每株元，乙种树苗每株元．有关统计表明，甲乙两种树苗的成活率分别为和注：成活率．
    若购买树苗的钱不超过元，应如何选购甲、乙两种树苗；
    若希望这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的费用最低，应如何选购甲、乙两种树苗并求出最低费用是多少元．
21. 阅读材料：
    利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．
    根据以上材料，解答下列问题．
    分解因式：；
    求多项式的最小值；
    已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
22. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，月份按一定售价销售，销售额为元，为扩大销量，减少库存，月份在月份售价基础上打折销售，结果销售量增加件，销售额增加元．
    求该商店月份这种商品的售价是多少元？
    如果该商店月份销售这种商品的利润为元，那么该商店月份销售这种商品的利润是多少元？
23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为，连接．
    当秒时，求的长度结果保留根号；
    当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
    过点作于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在数轴上表示如图，
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

2.【答案】 

【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长．
综上所述，三角形的周长为或．
故选：．
分是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，该式不能分解出因式，故本选项错误；
B、原式不能分解，本选项错误；
C、原式，本选项正确；
D、原式，本选项错误，
故选：．
利用完全平方公式和提公因式法进行计算并作出判断即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，则的逆命题为若，则，错误，为假命题，不符合题意；
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意．
真命题有个，
故选：．
分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，是三角形的三边，
，，
的值是负数．
故选：．
首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得．
关于的不等式组有个整数解．
不等式的整数解是，，
是正整数，
正整数的值为．
故选：．
首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定的范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，确定的范围是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，故正确；
当，有，故错误；
当是一个完全平方式，则，故错误；
，
两个连续奇数的平方差是的整数倍，故正确；
若分式的值为，则，故错误；
若是关于的一元一次不等式，则的值为，故错误；
正确的有，故选：．
根据不等式的解的意义，代入验证；
根据不等式是性质求解；
根据完全平方公式求解；
根据题意列式证明；
根据分数的值为的条件求解；
根据一元一次不等式的定义求解；
本题考查了方程、不等式、分式、完全平方式，掌握代数基础知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原计划可烧天，
后来可烧，
实际比原计划多烧了天，
故选：．
根据题意给出的等量关系列出代数式即可求出答案．
本题考查列代数，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
，
当时，，
，
当时，，
，
的值是或，
故选：．
根据题意可得：，然后把的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
分子、分母分别进行因式分解，然后约分．
本题主要考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得：，
，得，
即得：，
的值为负数，的值为正数，
，
解得：，
即的取值范围是，
故答案为：．
得出，求出，得出，求出，根据的值为负数，的值为正数得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程的解和解二元一次方程组等知识点，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
代数式．
故答案为．
将代数式通分，可得：；又由，可得；整理化简，问题可求．
本题的解答，是将式子合理变形，利用整体代入，化简整理得出结果．这种解题方法经常用到，须灵活掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
关于的不等式的解集中的任意，都能使不等式成立，
，
故答案为：．
解不等式得出的范围，再根据题意得出的范围．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

15.【答案】 

【解析】解：将代入得，
解得，
点坐标为，
由图象可得时，直线在直线下方，
不等式的解集为，
故答案为：．
先将点坐标代入直线求出点横坐标，再通过图象求解．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
 

16.【答案】且 

【解析】解：分式方程，
方程两边同时乘以得，，
解得：，
为正数，且，
，且，
解得：且，
的取值范围是且．
故答案为：且．
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，
，
，
的周长，
故答案为：．
根据角平分线的性质定理得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，故正确
，
，
故正确，
，
，
，故正确，
无法判断，故错误，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等，
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：，
解得：，
解得：，
故原不等式组的解集是；


；
，
方程两边都乘，得：，
解得，
检验：当时，，
故原分式方程无解；



，
当或或时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先解出每个不等式的解集，从而可以得到不等式组的解集；
先提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
根据解分式方程的方法解答，注意分式方程要检验；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，，中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、因式分解、分式的化简求值，熟练掌握它们各自的解答方法是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：
设选购甲种树苗株，则选购乙种树苗为株，根据题意得

解得
答：选购甲种树苗不少于株，乙种树苗不超过株．
设购买两种树苗的费用和为元，根据题意得

解得
随的增大而减小
当时，费用最少为元．
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元． 

【解析】关系式为：甲种树苗总价钱乙种树苗总价钱，据此列不等式即可求解；
甲种树苗数量乙种树苗数量甲种树苗数目乙种树苗数目，据此列出不等式可得甲种树苗的取值范围，利用函数的单调性可求得最低费用．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
 

21.【答案】解：

；
，
，
，
多项式的最小值为；
，
，
，
，
，，，
，，，
的周长． 

【解析】本题主要考查因式分解的应用，偶次方的非负性，掌握好完全平方公式进行配方是本题的解题关键．
根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
先运用配方法把原式化为，再根据非负数的性质求出、、，即可求解．
 

22.【答案】解：设该商店月份这种商品的售价为元，则月份这种商品的售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：该商店月份这种商品的售价是元．
设该商品的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
元．
答：该商店月份销售这种商品的利润是元． 

【解析】

【分析】
设该商店月份这种商品的售价为元，则月份这种商品的售价为元，根据数量总价单价结合月份比月份多销售件，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
设该商品的进价为元，根据销售利润每件的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用月份的利润每件的利润销售数量，即可求出结论．  

23.【答案】解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．

在中，，，
根据勾股定理，得
当点在线段的垂直平分线上时，即，
则，
解得．

点在线段上时，过点作于，如图所示：
则，
，
平分，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示：
同得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 

【解析】根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．