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考前回顾07解析几何（清单+易错+23真题+24模拟）-高考数学重难点培优精讲
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这是一份考前回顾07解析几何（清单+易错+23真题+24模拟）-高考数学重难点培优精讲，文件包含考前回顾07解析几何知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟原卷版docx、考前回顾07解析几何知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
考前回顾07解析几何（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）
知识清单
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)(直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.
②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
(2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．
②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便．
3．三种距离公式
(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离
|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点到直线的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．
(3)两平行线间的距离d＝eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离．
(2)弦长的求解方法
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋eq \f(l2,4)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2eq \r(r2－d2).
(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含．
(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
7．直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)．
易错提醒
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0．当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．
4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，导致错解．
5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2a<|F1F2|．如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
易错分析
易错点1 忽略对参数取值的检验致误
1.[江苏宿迁2023调研]若直线与直线垂直，则的值为（ ）
特别提醒：本题考查根据直线一般式方程判断垂直关系，需要满足，求出参数值后，切记要对参数的取值进行检验，如本题，容易误认为也满足题设条件导致增解．
【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或.
当时，直线不存在，故舍去；当时，满足题意，故选.
【答案】
易错点2 忽视对截距为0时情况的讨论而致错
2.[浙江杭师大附中2023期中]过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .
特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略．
【解析】当直线过原点时，设其方程为，因为直线过点，所以，解得，故直线方程为当直线不过原点时，设其方程为
（提示：已知直线在轴和轴上的截距为，，，则直线方程为），因为直线过点，所以，解得，即直线方程为，综上，直线方程为或.
【答案】或
3.[重庆一中2022期中]过点作直线，满足在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）．
【解析】若在两坐标轴上的截距都为零，则直线过，则直线方程为；若两坐标轴上的截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以满足在两坐标轴上截距相等的直线有2条．故选.
【答案】
易错点3 忽视圆的一般方程需要满足的条件而致错
4.[山东菏泽2023期中]已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
特别提醒：二元二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，满足，即圆的半径大于0.
【解析】圆的标准方程为，则，所以圆心为，半径为，由直线与圆相离，可知圆心到直线的距离，可得，即实数的取值范围为．故选.
【答案】
易错点4 忽视对斜率不存在情况的讨论而致错
5.[四省八校2022质量检测]直线和直线垂直，则实数的值为（ ）．
特别提醒：当时，一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，两直线方程分别为与，符合题意．因而求解时，正确利用两直线的一般式方程垂直的判断方法，或者分类讨论．需要特别注意直线斜率不存在与直线斜率为0时的情况．
【解析】因为直线和直线垂直，所以，解得或．故选.
【答案】
易错点5 忽视二次方程表示圆的条件而致错
6.[浙江2022模拟]已知圆的方程是，则实数的取值范围是 ，若上恰有三个点到直线的距离为1，则实数=
特别提醒：二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，一方面可以通过配方确定，另一方面可以直接利用结论确定．而本题中由，也可得，最后所得的值需要符合这一条件．
【解析】由得，因为表示圆，所以，解得．因为圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离
又上恰有三个点到直线的距离为1，所以，解得
【答案】，
易错点6 对双曲线定义的理解不透彻致错
7.[河南TOP二十名校2023二模]已知的顶点．若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ）
特别提醒：（1）双曲线定义用集合语言可叙述为：
点集；
（2）分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点，当时，表示双曲线的右支或下支；当时，表示双曲线的左支或上支．
【解析】如图，
，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），则，顶点的轨迹方程为．故选
【答案】
8.[天津和平区2022期中]已知点，若，则点的轨迹为（ ）．
特别提醒：平面内动点到两定点，距离差的绝对值等于定值，若，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；若，则动点的轨迹是分别以为起点的两条射线；若无轨迹．特别地，若取消绝对值符号，则是双曲线一支或一条射线或无轨迹，因此解题时需要做出正确判断．
【解析】因为，，所以，因为，所以点的轨迹为一条射线．故选.
【答案】
易错点7 忽视抛物线焦点所在轴而丢解致错
9．（多选）[重庆巴蜀中学2023第六次月考]已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为（ ）
特别提醒：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况．
【解析】已知抛物线的焦点在直线上，当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为.
当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为.
故选.
【答案】
10.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
【解析】对于直线方程，令，得，令，得，所以抛物线的焦点为或
当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为
当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为.
故所求抛物线的标准方程为或 故选.
【答案】
易错点8 求轨迹时忽视限制条件致错
11.[辽宁名校2022联考]已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）．
特别提醒：若设定点，，动点满足且，那么动点在椭圆上，因为，在椭圆上，而点不能与重合，因而轨迹中需要去掉，两点，方程中需要注明或，若忽视此点求解时就容易出错，特别是本题若不注意，则，，就会错选.
【解析】由题意可知，，整理可得，则，故由，得，所以，所以，故选.
【答案】
高考真题
一．选择题（共15小题）
1．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
【分析】根据题意，设，分析和，结合直线与圆的位置关系可得有，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
2．（2023•全国）抛物线过点，求焦点
A．，B．，C．D．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合抛物线焦点的性质，即可求解．
【解答】解：抛物线过点，
则，解得，
故该抛物线的焦点为．
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
3．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，再计算和的值．
【解答】解：圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
4．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则
A．7B．6C．5D．4
【分析】本题只需将点到的距离，转化为到准线的距离，再根据抛物线定义即可求得．
【解答】解：如图所示，因为点到直线的距离，
点到直线的距离．
由方程可知，是抛物线的准线，
又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等，
故．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
5．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的方程可求其离心率，进而可求，可求．
【解答】解：由椭圆可得，，，
椭圆的离心率为，
，，，
，
即，
解得（负的舍去），
即．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
6．（2023•全国）为原点，在圆上，与圆相切，则
A．2B．C．D．
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答】解：为原点，在圆上，与圆相切，
则．
故选：．
【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
7．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值即可．
【解答】解：根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆，其中，
则有，，
可得，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
【分析】记直线与轴交于，由题意可得，求解即可．
【解答】解：记直线与轴交于，
椭圆的左，右焦点分别为，，，，
由△面积是△的2倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，所以△，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
9．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【分析】结合点到直线的距离公式先求出，联立渐近线方程及所在直线方程可求，进而表示出直线的斜率，结合已知可求，，进而可求双曲线方程．
【解答】解：因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
10．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
11．（2023•甲卷）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．
【解答】解：椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
12．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】设，则，根据题意可得，再将转化为的函数，最后通过函数思想，即可求解．
【解答】解：如图，设，则，
根据题意可得：，
，又，
当，，时，
取得最大值．
故选：．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
13．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
14．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是
A．B．C．D．
【分析】根据点差法分析可得，对于、、：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于：结合双曲线的渐近线分析判断．
【解答】解：设，，，，中点为，，
，
①②得，
对于选项：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时△，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时△，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项：可得，，则，
由双曲线方程可得，，则为双曲线的渐近线，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项，，则，
联立方程，消去得，
此时△，故直线与双曲线有交两个交点，故正确．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
15．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证是否恒成立即可．
【解答】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，
在双曲线中，，，当时，点不存在；
当，时，，
但当，此时，这与矛盾，故②错误．
故选：．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证是否成立是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共1小题）
16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】解：直线过抛物线的焦点，可得，所以，
所以正确；
抛物线方程为：，与交于，两点，
直线方程代入抛物线方程可得：，
，
所以，所以不正确；
，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，
所以以为直径的圆与相切，所以正确；
，
不妨可得，，，，
，，，
所以不是等腰三角形，所以不正确．
故选：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
三．填空题（共8小题）
17．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点在抛物线上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
18．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
【分析】根据题意，建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
19．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 1 ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．
【解答】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
20．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为1，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
21．（2023•全国）若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为 ．
【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解．
【解答】解：因为双曲线焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
22．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 2（或或或 ．
【分析】由“面积为，求得，设，得到，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
法二：由题意可知的半径为2，圆心坐标为，
设圆心到直线的距离为，则弦长为，
，解得或，
或，
当时，由点到直线的距离公式可得，解得，
当时，由点到直线的距离公式可得，解得，
综上所述：或．
故答案为：2（或或或．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
23．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
【分析】（法一）设，，，根据题意可得点的坐标，进一步得到，再由，可得．结合点在双曲线上，可得解；
（法二）易知，设，，解三角形可知，进而得解．
【解答】解：（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
24．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 6 ．
【分析】不妨设直线方程为，由直线与圆相切求解值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得点坐标，再由列式求解的值．
【解答】解：如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共10小题）
25．（2023•甲卷）设抛物线，直线与交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）为的焦点，，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值．
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线，，，，，利用，找到，的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答】解：设，，，，联立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
；
（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线，，，，，
由，可得，所以，，
△，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积，
当直线的斜率可不存在时，
由题意设点坐标为，，
则，解得，
此时的面积．
综上，面积的最小值为．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
26．（2023•上海）已知椭圆且．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；
（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率；
（2）由已知得，，设，由已知可得，，求解即可；
（3）设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围．
【解答】解：（1）若，则，，，，；
（2）由已知得，，设，
，即，
，，，，，
，代入求得；
（3）设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由△，，
联立双曲线可得，整理得，
由△，，
，
，
又，，，
综上所述：，．
【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题．
27．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得的值；
（2）易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解；
（3）设，表示出直线的方程，进一步表示出点的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到的范围．
【解答】解：（1）抛物线的准线为，
由于到抛物线准线的距离为3，
则点的横坐标为2，则，
解得；
（2）当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，
由题意可得，解得，
所以，
则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，
设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
28．（2023•全国）已知椭圆的离心率为，直线交于、两点，．
（1）求的方程；
（2）记的左、右焦点分别为、，过斜率为1的直线交于、两点，求△的周长．
【分析】根据题意可知，，且，直线交于、两点，．则，，，，联立方程，求解即可；
（2）根据（1）可知，，△为焦点三角形，求解即可．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，
即，且，
则，，
则椭圆为，
直线交于、两点，．
则，，，，
将其中一点代入，解得，，，
故椭圆的方程为．
（2）根据（1）可知，，
记的左、右焦点分别为、，过斜率为1的直线交于、两点，则△为焦点三角形，
故△的周长为．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的基本性质的应用，属于中档题．
29．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，求解与的值，再由隐含条件求解，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，取，得，分别求出△的面积与△面积，再由已知列式求解，则直线方程可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
△，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
30．（2023•北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，即可得出椭圆的方程．
（2）利用截距式可得直线的方程，设直线的方程为：，，可得坐标，联立，解得坐标，利用直线方程与方程可得坐标，利用斜率计算公式可得，，进而证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，
解得，，
椭圆的方程为．
（2）证明：，，，，
直线的方程为，化为．
设直线的方程为：，，，．
联立，化为：，
解得或，
，．
直线方程为：，即，
与联立，解得，．
，．
，
，
．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
31．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【分析】（1）由题意列关于，，的方程组，求得，，的值，可得椭圆的方程；
（2）设，即，，，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得与的值，写出直线、的方程，求得与的坐标，再由中点坐标公式即可证明的中点为定点．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
椭圆的方程为；
证明：（2）如图，
要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且小于0，
设，即，，，，，，
联立，得．
△．
，，
直线，取，得；
直线，取，得．
．
的中点为，为定点．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
32．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线的方程，并与双曲线联立，再结合韦达定理，推得，，设出，直线方程，再联立方程，即可求解．
【解答】解：（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，
则，解得，
故双曲线的方程为；
（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，
则可设直线的方程为，，，，，
记的左，右顶点分别为，，
则，，
联立，化简整理可得，，
故△且，
，，
直线的方程为，直线方程，
故
，
故，解得，
所以，
故点在定直线上运动．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
33．（2023•甲卷）已知直线与抛物线交于，两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线，，，，，利用，找到，的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答】解：设，，，，联立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
，
（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线，，，，
由，可得，所以，，
△，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
34．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【分析】（1）设点坐标，结合几何条件即可得出的方程．
（2）首先利用平移性，化简的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．
【解答】解：（1）设点点坐标为，由题意得，
两边平方可得：，
化简得：，符合题意．
故的方程为．
（2）解法一：不妨设，，三点在上，且．
设，，，
则，．
由题意，，即，
显然，于是．
此时，．．于是，．
不妨设，则，
则
．
设，则，即，
又．
显然，为最小值点．故，
故矩形的周长为．
注意这里有两个取等条件，一个是，另一个是，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设，，在抛物线上，不在抛物线上，欲证命题为．
由图象的平移可知，将抛物线看作不影响问题的证明．
设，，平移坐标系使为坐标原点，
则新抛物线方程为，写为极坐标方程，
即，即．
欲证明的结论为，
也即．
不妨设，将不等式左边看成关于的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即时取得，
因此欲证不等式为，即，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
【点评】本题第一问属常规求轨迹方程问题，较简单，第二问对思维能力及计算能力要求很高，属难题．
最新模拟
一．选择题（共5小题）
1．（2024•曲靖模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．
【解答】解：由定义知：，
，
，
当且仅当，
即时取得等号
设，
由焦半径公式得：
又双曲线的离心率
，．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．
2．（2024•昌乐县校级模拟）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离，列方程求出离心率的值．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
圆化为标准方程是：，
则圆心到直线的距离为；
即，
解得，
即双曲线的离心率是．
故选：．
【点评】本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题．
3．（2024•兴庆区校级一模）如图，已知双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【分析】根据双曲线的对称性得出四边形为平行四边形，利用双曲线的定义与已知求得，，利用余弦定理可求得离心率．
【解答】解：因为双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，
所以，又，
所以四边形为平行四边形．
设，，则，
因为，所以，
又因为，所以，，
因为，所以，
化为：，解得．
故选：．
【点评】本题考查了双曲线的定义及其对称性和余弦定理应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．
4．（2024•越秀区校级一模）经过第一、二、三象限的直线与圆相交于，两点，若，则的最大值是
A．8B．4C．2D．1
【分析】求出圆心和半径，然后根据得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求出，的关系式，最后利用基本不等式求的最大值．
【解答】解：圆的方程可化为：，
故，半径，设圆心到到直线的距离为，
因为，则，所以直线过圆心，
即，即，因为，，
所以，当且仅当时取等号．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属于中档题．
5．（2024•重庆模拟）已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【分析】由题设条件及，可知平行于轴，且点的横坐标为，又知点在角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求
【解答】解：椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，，
平行于轴，且点的横坐标为，点的横坐标为，
又知点在角平分线上，如图△是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得．
故选：．
【点评】本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率．
二．多选题（共4小题）
6．（2024•南昌一模）已知圆与直线交于，两点，设的面积为，则下列说法正确的是
A．有最大值2B．无最小值
C．若，则D．若，则
【分析】直线恒过定点，，设的中点为，计算的大小，利用基本不等式求出最大值，判断有最大值，没有最小值，由圆的对称性，判断的面积相等时，直线的斜率不一定相等，的面积不相等时，直线的斜率不相等．
【解答】解：由题意知，直线恒过定点，，
直线交圆于两点、，设的中点为，则，
因为，所以，设，；
所以，当且仅当时取“”，
所以有最大值为2，选项正确；
由题意知，没有最小值，选项正确；
由圆的对称性知，的面积相等时，直线的斜率不一定相等，所以选项错误；
当的面积不相等时，直线的斜率不相等，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．
7．（2024•云南一模）已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为、，则
A．当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B．当为等边三角形时，点的坐标为
C．的取值范围是
D．的最小值为
【分析】设点，，求出直线的方程，令可判断；根据为等边三角形，可得，，设出点的坐标，利用可判断；进一步求出的取值范围可判断；求出圆心到直线的距离可判断．
【解答】解：设点，，则，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
以为直径的圆的方程为，
化简得，
联立，得，
所以直线的方程为：，
对于，令，则，所以直线的方程为：，
则直线经过点，故正确；
对于，设点，，则，
当为等边三角形时，可知，
又平分，所以，
在直角三角形中，由于，
所以，即，所以，
又点，所以，
化简得，解得，
所以，则，故正确；
对于，在中，因为，
当最小时，有最大值为，
又因为，所以，
此时的最大值为的取值范围是，故正确；
对于，圆心到直线的距离为，
所以的最小值为2，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．（2024•中山市校级模拟）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，弦的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则下列说法正确的是
A．以为直径的圆与相切B．
C．D．的最小值为4
【分析】由抛物线的定义可得，结合即可判断；设的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得，，，由中点坐标公式和两点表示直线斜率可得，即可判断；由选项知、，结合抛物线的定义化简计算即可判断；由选项得，由射影定理得，则，结合基本不等式计算即可判断．
【解答】解：：由题意得，
又，以为直径的圆与切于点，故正确；
：设的方程为，联立整理得，
，，，又，
则，，即，故正确；
：由选项知，
，故错误；
：由选项，得，则，
在中，，，由射影定理得，
，
当且仅当时，等号成立，且，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
9．（2024•晋城一模）双曲线的左、右焦点分别为，，，为的右支上一点，分别以线段，为直径作圆，圆，线段与圆相交于点，其中为坐标原点，则
A．
B．
C．点为圆和圆的另一个交点
D．圆与圆有一条公切线的倾斜角为
【分析】由中点和中位线的性质可判断选项、；由圆与圆关系及切线性质求得，可判断选项、．
【解答】解：双曲线的方程可化为，所以，，．
由为的中点，为的中点，得，选项错误．
由为的中点，为的中点，得，
则，选项正确．
设点为圆和圆的另一个交点，连接，由轴，
可得，为△的中位线，则直线平分线段，
所以点必在轴上，可得点的坐标为，选项正确．
如图所示，若为圆与圆的一条公切线，，为切点，
连接，，过点作，垂足为．
由，，
得，
可得，由轴，且，可得公切线的倾斜角为，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了双曲线与圆的综合应用问题，利用圆与圆位置关系求解是关键，是中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024•芝罘区校级模拟）圆关于直线对称的圆的方程是 ．
【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设出对称圆心，利用中点在垂线上，圆心连线的斜率与已知直线的斜率为负倒数，求出圆心坐标，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：，
化成标准形式：，
圆心为，半径为，
设对称圆的方程为，
圆心为，则半径，
对称圆与圆 关于直线对称，
即对称圆的圆心与圆心关于直线对称，
化简得，①
化简得，②
①②得，
将代入①中可得，
所以对称圆的方程是，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查关于点、直线对称的圆的方程，解题的关键是：垂直、平分关系的应用，对称圆的半径与已知圆的半径相等的关系．仔细审题，详细解答，体现数学素养．
11．（2024•泉州模拟）已知直线，圆被所截得到的两段弧的长度之比为，则圆的方程可以为 （只需写出一个满足条件的方程即可）
【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可．
【解答】解：若圆被所截得到的两段弧的长度之比为，
则劣弧所对圆心角为，设圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
不妨使得圆心为坐标原点，设圆的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以圆的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心到直线的距离与半径的关系，也考查了推理与运算能力，是基础题．
12．（2024•广州一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于6的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 2 ．
【分析】设，讨论时和时，分别求出点的轨迹方程，设点到直线的距离为，由此计算的最小值即可．
【解答】解：设，当时，，
所以，化简得：，，，即；
当时，，所以，整理得：，，，即；
设点到直线的距离为，则，
因为，，，所以，
即的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的轨迹应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
四．解答题（共6小题）
13．（2024•陕西模拟）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，，，，联立，根据，由，结合韦达定理求解．
【解答】解：（1）由抛物线过点，且，
得，解得；
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线与抛物线交于不同两点，
设，，，，联立，得，
所以△，
所以，
所以，
因为，
所以，
则，
所以，即，
解得或，
当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数．
【点评】本题考查的知识要点：抛物线方程的求法，直线与抛物线的关系，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（2024•当阳市校级模拟）已知椭圆的长轴长为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，与椭圆相交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为点，设直线，的斜率分别为，，且，求的值．
【分析】（1）由题意求出和，即可得出椭圆的方程．
（2）设出点、坐标，由直线与椭圆方程联立，消去得关于的方程，利用根与系数的关系，表示，列方程求出的值．
【解答】解：（1）椭圆，由，解得，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，，，则，，
由，消去，得，
由根与系数的关系，得，，
所以
，
解得或（舍，所以．
【点评】本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15．（2024•厦门模拟）已知，，为平面上的一个动点．设直线，的斜率分别为，，且满足，记的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线，分别交动直线于点、，过点作的垂线交轴于点．是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设点．，根据题意列方程，化简即可得出的轨迹方程．
（2）（解法一）设，，写出直线，的方程，求出点、的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，计算的最大值即可．
（解法二）设直线，的斜率分别为，，且满足，写出直线、的方程，求出点、点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，计算的最大值．
【解答】解：（1）设点．，则，因为，所以，整理得，
所以的轨迹方程为．
（2）（解法一）设，，则，所以直线，的斜率存在且不为0，
则直线，即，则点，．
又直线，即，则点；
又直线的斜率为，所以直线，
令，得；
又，在椭圆上，则，整理得，
所以，则，
所以．
综上，存在，使得有最大值12．
（解法二）设直线，的斜率分别为，，且满足，
直线，则点，，．
同理，直线，则点，，
又直线，令，得，则，
所以．
综上，存在，使得有最大值12．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
16．（2024•惠州模拟）如图，已知半圆与轴交于、两点，与轴交于点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将由、构成的曲线，记为“”．
（1）求实数、的值；
（2）直线与曲线交于、两点，在曲线上再取两点、、分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积；
（3）设点，，是曲线上任意一点，求的最小值．
【分析】（1）根据等边的面积公式列方程求出，再计算；
（2）分别求出点、的坐标，计算，求出点、到直线的最大距离，计算四边形的面积最大值；
（3）讨论的取值范围，写出的表达式，从而求出的解析式．
【解答】解：（1）如图1所示，
由等边的面积为，所以，
解得，所以，
又，解得，即；
（2）如图2所示，
设点在半圆上，且在第三象限内，在半椭圆上，且在第一象限内，
由，解得，，
由，解得，；
所以；
设在半圆上，且在第二象限，，到直线的距离为，
，
，到直线的最大距离为1，
所以四边形的面积最大值为
；
（3）如图3所示，
显然时，，
时，；
当在曲线内部时，曲线上一点满足取得最小值，
设，其中，，
则；
当，即时，；
当时，；
综上知，．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的综合应用问题，也考查了运算求解能力与思维能力，是难题．
17．（2024•垫江县校级模拟）在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点．
（1）过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，求的值；
（2）动点满足，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，，判断直线与曲线的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）写出直线、的方程，与椭圆方程联立，消去得关于的方程，利用判别式△，按整理方程，利用根与系数的关系求出的值．
（2）设，由题意求出的坐标，代入圆化简即可得出曲线的方程；
由题意知直线，斜率和均存在，设过且与圆相切的直线方程，由曲线的圆心到点直线的距离，整理求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设，、的直线方程的统一形式设为：，
联立，消去，得，
由切线有，再按整理方程，即，
所以，是方程的两个根，所以．
（2）设，由，得，，
将代入圆有：，所以，即曲线的方程为；
直线与曲线相切．理由如下：由题意知直线，斜率和均存在，如图所示，
设过 且与圆相切的直线方程为：，即，
则曲线的圆心到点直线的距离为，整理得，三条，，
联立，消去可得：，
即，
则方程异于的实数解为，
由，可得，
所以，
可得，
设，；
则直线的斜率为，
所以直线的方程为；，即，
则曲线的圆心到的距离为，所以直线与曲线相切．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑思维能力，是难题．
18．（2024•辽宁模拟）已知直线与椭圆交于，，，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．
（Ⅰ）证明和均为定值；
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值；
（Ⅱ）由可求线段的中点为，代入并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得，，；，，，从而求得点，，，的坐标，可以求出直线、、的方程，从而得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，
所以，，
，在椭圆上，
①
又，
②
由①②得，．此时，；
当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得
，△
即，
又，，
，
点到直线的距离为，
，
又，
整理得，此时，
；
综上所述，．结论成立．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
，，
因此．
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，
，
所以
．
．当且仅当，
即时，等号成立．
综合得的最大值为；
（Ⅲ）椭圆上不存在三点，，，使得，
证明：假设存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得
，，；，，
解得；．
因此，，只能从中选取，
，，只能从中选取，
因此点，，，只能在，这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾．
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，．
【点评】此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a
(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a
(0<2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(0e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))(e>1)
e＝1
准线
x＝－eq \f(p,2)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
考前回顾07解析几何（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）
知识清单
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)(直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.
②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
(2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．
②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便．
3．三种距离公式
(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离
|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点到直线的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．
(3)两平行线间的距离d＝eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离．
(2)弦长的求解方法
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋eq \f(l2,4)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2eq \r(r2－d2).
(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含．
(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
7．直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)．
易错提醒
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0．当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．
4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，导致错解．
5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2a<|F1F2|．如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
易错分析
易错点1 忽略对参数取值的检验致误
1.[江苏宿迁2023调研]若直线与直线垂直，则的值为（ ）
特别提醒：本题考查根据直线一般式方程判断垂直关系，需要满足，求出参数值后，切记要对参数的取值进行检验，如本题，容易误认为也满足题设条件导致增解．
【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或.
当时，直线不存在，故舍去；当时，满足题意，故选.
【答案】
易错点2 忽视对截距为0时情况的讨论而致错
2.[浙江杭师大附中2023期中]过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .
特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略．
【解析】当直线过原点时，设其方程为，因为直线过点，所以，解得，故直线方程为当直线不过原点时，设其方程为
（提示：已知直线在轴和轴上的截距为，，，则直线方程为），因为直线过点，所以，解得，即直线方程为，综上，直线方程为或.
【答案】或
3.[重庆一中2022期中]过点作直线，满足在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）．
【解析】若在两坐标轴上的截距都为零，则直线过，则直线方程为；若两坐标轴上的截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以满足在两坐标轴上截距相等的直线有2条．故选.
【答案】
易错点3 忽视圆的一般方程需要满足的条件而致错
4.[山东菏泽2023期中]已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
特别提醒：二元二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，满足，即圆的半径大于0.
【解析】圆的标准方程为，则，所以圆心为，半径为，由直线与圆相离，可知圆心到直线的距离，可得，即实数的取值范围为．故选.
【答案】
易错点4 忽视对斜率不存在情况的讨论而致错
5.[四省八校2022质量检测]直线和直线垂直，则实数的值为（ ）．
特别提醒：当时，一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，两直线方程分别为与，符合题意．因而求解时，正确利用两直线的一般式方程垂直的判断方法，或者分类讨论．需要特别注意直线斜率不存在与直线斜率为0时的情况．
【解析】因为直线和直线垂直，所以，解得或．故选.
【答案】
易错点5 忽视二次方程表示圆的条件而致错
6.[浙江2022模拟]已知圆的方程是，则实数的取值范围是 ，若上恰有三个点到直线的距离为1，则实数=
特别提醒：二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，一方面可以通过配方确定，另一方面可以直接利用结论确定．而本题中由，也可得，最后所得的值需要符合这一条件．
【解析】由得，因为表示圆，所以，解得．因为圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离
又上恰有三个点到直线的距离为1，所以，解得
【答案】，
易错点6 对双曲线定义的理解不透彻致错
7.[河南TOP二十名校2023二模]已知的顶点．若的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ）
特别提醒：（1）双曲线定义用集合语言可叙述为：
点集；
（2）分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点，当时，表示双曲线的右支或下支；当时，表示双曲线的左支或上支．
【解析】如图，
，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），则，顶点的轨迹方程为．故选
【答案】
8.[天津和平区2022期中]已知点，若，则点的轨迹为（ ）．
特别提醒：平面内动点到两定点，距离差的绝对值等于定值，若，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；若，则动点的轨迹是分别以为起点的两条射线；若无轨迹．特别地，若取消绝对值符号，则是双曲线一支或一条射线或无轨迹，因此解题时需要做出正确判断．
【解析】因为，，所以，因为，所以点的轨迹为一条射线．故选.
【答案】
易错点7 忽视抛物线焦点所在轴而丢解致错
9．（多选）[重庆巴蜀中学2023第六次月考]已知抛物线 C 的焦点在直线 x+2y+3=0 上，则抛物线 C 的标准方程为（ ）
特别提醒：求抛物线的标准方程时，若焦点所在坐标轴不确定，需分类讨论，因而设抛物线方程为或，进而求出标准方程，谨防不讨论而导致丢解的情况．
【解析】已知抛物线的焦点在直线上，当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为.
当焦点在轴上时，令，解得，焦点坐标为，设抛物线的方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为.
故选.
【答案】
10.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ）
【解析】对于直线方程，令，得，令，得，所以抛物线的焦点为或
当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为
当焦点为时，设抛物线方程为，则，所以，此时抛物线的标准方程为.
故所求抛物线的标准方程为或 故选.
【答案】
易错点8 求轨迹时忽视限制条件致错
11.[辽宁名校2022联考]已知点，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）．
特别提醒：若设定点，，动点满足且，那么动点在椭圆上，因为，在椭圆上，而点不能与重合，因而轨迹中需要去掉，两点，方程中需要注明或，若忽视此点求解时就容易出错，特别是本题若不注意，则，，就会错选.
【解析】由题意可知，，整理可得，则，故由，得，所以，所以，故选.
【答案】
高考真题
一．选择题（共15小题）
1．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是
A．B．4C．D．7
【分析】根据题意，设，分析和，结合直线与圆的位置关系可得有，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，
设，变形可得，其几何意义为直线，
直线与圆有公共点，则有，解可得，
故的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
2．（2023•全国）抛物线过点，求焦点
A．，B．，C．D．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合抛物线焦点的性质，即可求解．
【解答】解：抛物线过点，
则，解得，
故该抛物线的焦点为．
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
3．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，再计算和的值．
【解答】解：圆可化为，则圆心，半径为；
设，切线为、，则，
中，，所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
4．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则
A．7B．6C．5D．4
【分析】本题只需将点到的距离，转化为到准线的距离，再根据抛物线定义即可求得．
【解答】解：如图所示，因为点到直线的距离，
点到直线的距离．
由方程可知，是抛物线的准线，
又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等，
故．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
5．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的方程可求其离心率，进而可求，可求．
【解答】解：由椭圆可得，，，
椭圆的离心率为，
，，，
，
即，
解得（负的舍去），
即．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
6．（2023•全国）为原点，在圆上，与圆相切，则
A．2B．C．D．
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答】解：为原点，在圆上，与圆相切，
则．
故选：．
【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
7．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则
A．1B．2C．4D．5
【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值即可．
【解答】解：根据题意，点在椭圆上，满足，可得，
又由椭圆，其中，
则有，，
可得，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
【分析】记直线与轴交于，由题意可得，求解即可．
【解答】解：记直线与轴交于，
椭圆的左，右焦点分别为，，，，
由△面积是△的2倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，所以△，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
9．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【分析】结合点到直线的距离公式先求出，联立渐近线方程及所在直线方程可求，进而表示出直线的斜率，结合已知可求，，进而可求双曲线方程．
【解答】解：因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
10．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
11．（2023•甲卷）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，通过向量的模，然后转化求解即可．
【解答】解：椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
12．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】设，则，根据题意可得，再将转化为的函数，最后通过函数思想，即可求解．
【解答】解：如图，设，则，
根据题意可得：，
，又，
当，，时，
取得最大值．
故选：．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
13．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
14．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是
A．B．C．D．
【分析】根据点差法分析可得，对于、、：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于：结合双曲线的渐近线分析判断．
【解答】解：设，，，，中点为，，
，
①②得，
对于选项：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时△，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时△，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项：可得，，则，
由双曲线方程可得，，则为双曲线的渐近线，
所以直线与双曲线没有交点，故错误；
对于选项，，则，
联立方程，消去得，
此时△，故直线与双曲线有交两个交点，故正确．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
15．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证是否恒成立即可．
【解答】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，
在双曲线中，，，当时，点不存在；
当，时，，
但当，此时，这与矛盾，故②错误．
故选：．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证是否成立是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共1小题）
16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】解：直线过抛物线的焦点，可得，所以，
所以正确；
抛物线方程为：，与交于，两点，
直线方程代入抛物线方程可得：，
，
所以，所以不正确；
，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，
所以以为直径的圆与相切，所以正确；
，
不妨可得，，，，
，，，
所以不是等腰三角形，所以不正确．
故选：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
三．填空题（共8小题）
17．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点在抛物线上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
18．（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
【分析】根据题意，建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
19．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 1 ．
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．
【解答】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
20．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为1，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
21．（2023•全国）若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为 ．
【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解．
【解答】解：因为双曲线焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
22．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 2（或或或 ．
【分析】由“面积为，求得，设，得到，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
法二：由题意可知的半径为2，圆心坐标为，
设圆心到直线的距离为，则弦长为，
，解得或，
或，
当时，由点到直线的距离公式可得，解得，
当时，由点到直线的距离公式可得，解得，
综上所述：或．
故答案为：2（或或或．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
23．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
【分析】（法一）设，，，根据题意可得点的坐标，进一步得到，再由，可得．结合点在双曲线上，可得解；
（法二）易知，设，，解三角形可知，进而得解．
【解答】解：（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
24．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 6 ．
【分析】不妨设直线方程为，由直线与圆相切求解值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得点坐标，再由列式求解的值．
【解答】解：如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共10小题）
25．（2023•甲卷）设抛物线，直线与交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）为的焦点，，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值．
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线，，，，，利用，找到，的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答】解：设，，，，联立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
；
（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线，，，，，
由，可得，所以，，
△，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积，
当直线的斜率可不存在时，
由题意设点坐标为，，
则，解得，
此时的面积．
综上，面积的最小值为．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
26．（2023•上海）已知椭圆且．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；
（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率；
（2）由已知得，，设，由已知可得，，求解即可；
（3）设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围．
【解答】解：（1）若，则，，，，；
（2）由已知得，，设，
，即，
，，，，，
，代入求得；
（3）设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由△，，
联立双曲线可得，整理得，
由△，，
，
，
又，，，
综上所述：，．
【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题．
27．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得的值；
（2）易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解；
（3）设，表示出直线的方程，进一步表示出点的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到的范围．
【解答】解：（1）抛物线的准线为，
由于到抛物线准线的距离为3，
则点的横坐标为2，则，
解得；
（2）当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，
由题意可得，解得，
所以，
则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，
设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
28．（2023•全国）已知椭圆的离心率为，直线交于、两点，．
（1）求的方程；
（2）记的左、右焦点分别为、，过斜率为1的直线交于、两点，求△的周长．
【分析】根据题意可知，，且，直线交于、两点，．则，，，，联立方程，求解即可；
（2）根据（1）可知，，△为焦点三角形，求解即可．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，
即，且，
则，，
则椭圆为，
直线交于、两点，．
则，，，，
将其中一点代入，解得，，，
故椭圆的方程为．
（2）根据（1）可知，，
记的左、右焦点分别为、，过斜率为1的直线交于、两点，则△为焦点三角形，
故△的周长为．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的基本性质的应用，属于中档题．
29．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，求解与的值，再由隐含条件求解，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，取，得，分别求出△的面积与△面积，再由已知列式求解，则直线方程可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，
．
则椭圆方程为，椭圆的离心率为；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
当时，直线方程为，取，得．
联立，得．
△，
，得，则．
．
．
，即，得；
同理求得当时，．
直线的方程为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
30．（2023•北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，即可得出椭圆的方程．
（2）利用截距式可得直线的方程，设直线的方程为：，，可得坐标，联立，解得坐标，利用直线方程与方程可得坐标，利用斜率计算公式可得，，进而证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，
解得，，
椭圆的方程为．
（2）证明：，，，，
直线的方程为，化为．
设直线的方程为：，，，．
联立，化为：，
解得或，
，．
直线方程为：，即，
与联立，解得，．
，．
，
，
．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
31．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【分析】（1）由题意列关于，，的方程组，求得，，的值，可得椭圆的方程；
（2）设，即，，，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得与的值，写出直线、的方程，求得与的坐标，再由中点坐标公式即可证明的中点为定点．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
椭圆的方程为；
证明：（2）如图，
要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且小于0，
设，即，，，，，，
联立，得．
△．
，，
直线，取，得；
直线，取，得．
．
的中点为，为定点．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
32．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线的方程，并与双曲线联立，再结合韦达定理，推得，，设出，直线方程，再联立方程，即可求解．
【解答】解：（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，
则，解得，
故双曲线的方程为；
（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，
则可设直线的方程为，，，，，
记的左，右顶点分别为，，
则，，
联立，化简整理可得，，
故△且，
，，
直线的方程为，直线方程，
故
，
故，解得，
所以，
故点在定直线上运动．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
33．（2023•甲卷）已知直线与抛物线交于，两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线，，，，，利用，找到，的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答】解：设，，，，联立，
消去得：，
，，△，
，，
，
，，，
，
（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线，，，，
由，可得，所以，，
△，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
34．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【分析】（1）设点坐标，结合几何条件即可得出的方程．
（2）首先利用平移性，化简的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．
【解答】解：（1）设点点坐标为，由题意得，
两边平方可得：，
化简得：，符合题意．
故的方程为．
（2）解法一：不妨设，，三点在上，且．
设，，，
则，．
由题意，，即，
显然，于是．
此时，．．于是，．
不妨设，则，
则
．
设，则，即，
又．
显然，为最小值点．故，
故矩形的周长为．
注意这里有两个取等条件，一个是，另一个是，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设，，在抛物线上，不在抛物线上，欲证命题为．
由图象的平移可知，将抛物线看作不影响问题的证明．
设，，平移坐标系使为坐标原点，
则新抛物线方程为，写为极坐标方程，
即，即．
欲证明的结论为，
也即．
不妨设，将不等式左边看成关于的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即时取得，
因此欲证不等式为，即，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
【点评】本题第一问属常规求轨迹方程问题，较简单，第二问对思维能力及计算能力要求很高，属难题．
最新模拟
一．选择题（共5小题）
1．（2024•曲靖模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．
【解答】解：由定义知：，
，
，
当且仅当，
即时取得等号
设，
由焦半径公式得：
又双曲线的离心率
，．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．
2．（2024•昌乐县校级模拟）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离，列方程求出离心率的值．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
圆化为标准方程是：，
则圆心到直线的距离为；
即，
解得，
即双曲线的离心率是．
故选：．
【点评】本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题．
3．（2024•兴庆区校级一模）如图，已知双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【分析】根据双曲线的对称性得出四边形为平行四边形，利用双曲线的定义与已知求得，，利用余弦定理可求得离心率．
【解答】解：因为双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，
所以，又，
所以四边形为平行四边形．
设，，则，
因为，所以，
又因为，所以，，
因为，所以，
化为：，解得．
故选：．
【点评】本题考查了双曲线的定义及其对称性和余弦定理应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．
4．（2024•越秀区校级一模）经过第一、二、三象限的直线与圆相交于，两点，若，则的最大值是
A．8B．4C．2D．1
【分析】求出圆心和半径，然后根据得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求出，的关系式，最后利用基本不等式求的最大值．
【解答】解：圆的方程可化为：，
故，半径，设圆心到到直线的距离为，
因为，则，所以直线过圆心，
即，即，因为，，
所以，当且仅当时取等号．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属于中档题．
5．（2024•重庆模拟）已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【分析】由题设条件及，可知平行于轴，且点的横坐标为，又知点在角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求
【解答】解：椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，，
平行于轴，且点的横坐标为，点的横坐标为，
又知点在角平分线上，如图△是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得．
故选：．
【点评】本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率．
二．多选题（共4小题）
6．（2024•南昌一模）已知圆与直线交于，两点，设的面积为，则下列说法正确的是
A．有最大值2B．无最小值
C．若，则D．若，则
【分析】直线恒过定点，，设的中点为，计算的大小，利用基本不等式求出最大值，判断有最大值，没有最小值，由圆的对称性，判断的面积相等时，直线的斜率不一定相等，的面积不相等时，直线的斜率不相等．
【解答】解：由题意知，直线恒过定点，，
直线交圆于两点、，设的中点为，则，
因为，所以，设，；
所以，当且仅当时取“”，
所以有最大值为2，选项正确；
由题意知，没有最小值，选项正确；
由圆的对称性知，的面积相等时，直线的斜率不一定相等，所以选项错误；
当的面积不相等时，直线的斜率不相等，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．
7．（2024•云南一模）已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为、，则
A．当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B．当为等边三角形时，点的坐标为
C．的取值范围是
D．的最小值为
【分析】设点，，求出直线的方程，令可判断；根据为等边三角形，可得，，设出点的坐标，利用可判断；进一步求出的取值范围可判断；求出圆心到直线的距离可判断．
【解答】解：设点，，则，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
以为直径的圆的方程为，
化简得，
联立，得，
所以直线的方程为：，
对于，令，则，所以直线的方程为：，
则直线经过点，故正确；
对于，设点，，则，
当为等边三角形时，可知，
又平分，所以，
在直角三角形中，由于，
所以，即，所以，
又点，所以，
化简得，解得，
所以，则，故正确；
对于，在中，因为，
当最小时，有最大值为，
又因为，所以，
此时的最大值为的取值范围是，故正确；
对于，圆心到直线的距离为，
所以的最小值为2，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．（2024•中山市校级模拟）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，弦的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则下列说法正确的是
A．以为直径的圆与相切B．
C．D．的最小值为4
【分析】由抛物线的定义可得，结合即可判断；设的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得，，，由中点坐标公式和两点表示直线斜率可得，即可判断；由选项知、，结合抛物线的定义化简计算即可判断；由选项得，由射影定理得，则，结合基本不等式计算即可判断．
【解答】解：：由题意得，
又，以为直径的圆与切于点，故正确；
：设的方程为，联立整理得，
，，，又，
则，，即，故正确；
：由选项知，
，故错误；
：由选项，得，则，
在中，，，由射影定理得，
，
当且仅当时，等号成立，且，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
9．（2024•晋城一模）双曲线的左、右焦点分别为，，，为的右支上一点，分别以线段，为直径作圆，圆，线段与圆相交于点，其中为坐标原点，则
A．
B．
C．点为圆和圆的另一个交点
D．圆与圆有一条公切线的倾斜角为
【分析】由中点和中位线的性质可判断选项、；由圆与圆关系及切线性质求得，可判断选项、．
【解答】解：双曲线的方程可化为，所以，，．
由为的中点，为的中点，得，选项错误．
由为的中点，为的中点，得，
则，选项正确．
设点为圆和圆的另一个交点，连接，由轴，
可得，为△的中位线，则直线平分线段，
所以点必在轴上，可得点的坐标为，选项正确．
如图所示，若为圆与圆的一条公切线，，为切点，
连接，，过点作，垂足为．
由，，
得，
可得，由轴，且，可得公切线的倾斜角为，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了双曲线与圆的综合应用问题，利用圆与圆位置关系求解是关键，是中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024•芝罘区校级模拟）圆关于直线对称的圆的方程是 ．
【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设出对称圆心，利用中点在垂线上，圆心连线的斜率与已知直线的斜率为负倒数，求出圆心坐标，即可得到所求圆的方程．
【解答】解：，
化成标准形式：，
圆心为，半径为，
设对称圆的方程为，
圆心为，则半径，
对称圆与圆 关于直线对称，
即对称圆的圆心与圆心关于直线对称，
化简得，①
化简得，②
①②得，
将代入①中可得，
所以对称圆的方程是，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查关于点、直线对称的圆的方程，解题的关键是：垂直、平分关系的应用，对称圆的半径与已知圆的半径相等的关系．仔细审题，详细解答，体现数学素养．
11．（2024•泉州模拟）已知直线，圆被所截得到的两段弧的长度之比为，则圆的方程可以为 （只需写出一个满足条件的方程即可）
【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可．
【解答】解：若圆被所截得到的两段弧的长度之比为，
则劣弧所对圆心角为，设圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
不妨使得圆心为坐标原点，设圆的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以圆的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心到直线的距离与半径的关系，也考查了推理与运算能力，是基础题．
12．（2024•广州一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于6的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 2 ．
【分析】设，讨论时和时，分别求出点的轨迹方程，设点到直线的距离为，由此计算的最小值即可．
【解答】解：设，当时，，
所以，化简得：，，，即；
当时，，所以，整理得：，，，即；
设点到直线的距离为，则，
因为，，，所以，
即的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的轨迹应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
四．解答题（共6小题）
13．（2024•陕西模拟）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，，，，联立，根据，由，结合韦达定理求解．
【解答】解：（1）由抛物线过点，且，
得，解得；
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线与抛物线交于不同两点，
设，，，，联立，得，
所以△，
所以，
所以，
因为，
所以，
则，
所以，即，
解得或，
当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数．
【点评】本题考查的知识要点：抛物线方程的求法，直线与抛物线的关系，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（2024•当阳市校级模拟）已知椭圆的长轴长为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，与椭圆相交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为点，设直线，的斜率分别为，，且，求的值．
【分析】（1）由题意求出和，即可得出椭圆的方程．
（2）设出点、坐标，由直线与椭圆方程联立，消去得关于的方程，利用根与系数的关系，表示，列方程求出的值．
【解答】解：（1）椭圆，由，解得，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，，，则，，
由，消去，得，
由根与系数的关系，得，，
所以
，
解得或（舍，所以．
【点评】本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15．（2024•厦门模拟）已知，，为平面上的一个动点．设直线，的斜率分别为，，且满足，记的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线，分别交动直线于点、，过点作的垂线交轴于点．是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设点．，根据题意列方程，化简即可得出的轨迹方程．
（2）（解法一）设，，写出直线，的方程，求出点、的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，计算的最大值即可．
（解法二）设直线，的斜率分别为，，且满足，写出直线、的方程，求出点、点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，计算的最大值．
【解答】解：（1）设点．，则，因为，所以，整理得，
所以的轨迹方程为．
（2）（解法一）设，，则，所以直线，的斜率存在且不为0，
则直线，即，则点，．
又直线，即，则点；
又直线的斜率为，所以直线，
令，得；
又，在椭圆上，则，整理得，
所以，则，
所以．
综上，存在，使得有最大值12．
（解法二）设直线，的斜率分别为，，且满足，
直线，则点，，．
同理，直线，则点，，
又直线，令，得，则，
所以．
综上，存在，使得有最大值12．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
16．（2024•惠州模拟）如图，已知半圆与轴交于、两点，与轴交于点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将由、构成的曲线，记为“”．
（1）求实数、的值；
（2）直线与曲线交于、两点，在曲线上再取两点、、分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积；
（3）设点，，是曲线上任意一点，求的最小值．
【分析】（1）根据等边的面积公式列方程求出，再计算；
（2）分别求出点、的坐标，计算，求出点、到直线的最大距离，计算四边形的面积最大值；
（3）讨论的取值范围，写出的表达式，从而求出的解析式．
【解答】解：（1）如图1所示，
由等边的面积为，所以，
解得，所以，
又，解得，即；
（2）如图2所示，
设点在半圆上，且在第三象限内，在半椭圆上，且在第一象限内，
由，解得，，
由，解得，；
所以；
设在半圆上，且在第二象限，，到直线的距离为，
，
，到直线的最大距离为1，
所以四边形的面积最大值为
；
（3）如图3所示，
显然时，，
时，；
当在曲线内部时，曲线上一点满足取得最小值，
设，其中，，
则；
当，即时，；
当时，；
综上知，．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的综合应用问题，也考查了运算求解能力与思维能力，是难题．
17．（2024•垫江县校级模拟）在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点．
（1）过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，求的值；
（2）动点满足，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，，判断直线与曲线的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）写出直线、的方程，与椭圆方程联立，消去得关于的方程，利用判别式△，按整理方程，利用根与系数的关系求出的值．
（2）设，由题意求出的坐标，代入圆化简即可得出曲线的方程；
由题意知直线，斜率和均存在，设过且与圆相切的直线方程，由曲线的圆心到点直线的距离，整理求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）设，、的直线方程的统一形式设为：，
联立，消去，得，
由切线有，再按整理方程，即，
所以，是方程的两个根，所以．
（2）设，由，得，，
将代入圆有：，所以，即曲线的方程为；
直线与曲线相切．理由如下：由题意知直线，斜率和均存在，如图所示，
设过 且与圆相切的直线方程为：，即，
则曲线的圆心到点直线的距离为，整理得，三条，，
联立，消去可得：，
即，
则方程异于的实数解为，
由，可得，
所以，
可得，
设，；
则直线的斜率为，
所以直线的方程为；，即，
则曲线的圆心到的距离为，所以直线与曲线相切．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑思维能力，是难题．
18．（2024•辽宁模拟）已知直线与椭圆交于，，，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．
（Ⅰ）证明和均为定值；
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值；
（Ⅱ）由可求线段的中点为，代入并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得，，；，，，从而求得点，，，的坐标，可以求出直线、、的方程，从而得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，
所以，，
，在椭圆上，
①
又，
②
由①②得，．此时，；
当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得
，△
即，
又，，
，
点到直线的距离为，
，
又，
整理得，此时，
；
综上所述，．结论成立．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
，，
因此．
当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，
，
，
所以
．
．当且仅当，
即时，等号成立．
综合得的最大值为；
（Ⅲ）椭圆上不存在三点，，，使得，
证明：假设存在，，，，，使得
由（Ⅰ）得
，，；，，
解得；．
因此，，只能从中选取，
，，只能从中选取，
因此点，，，只能在，这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾．
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，．
【点评】此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a
(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a
(0<2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(0
e＝1
准线
x＝－eq \f(p,2)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
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