考前回顾08 函数与导数（清单+易错+23真题+24模拟）-高考数学重难点培优精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
考前回顾08 函数与导数（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）
知识清单
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增；
当00，构造函数h(x)＝eq \f(fx,gx)(g(x)≠0)．
例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)，
对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝eq \f(fx,x).
对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)，
对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝eq \f(fx,ex).
易错提醒
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论；对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
易错分析
易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误
1.[江苏三校2023联考]已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）

2. [江苏扬州高邮2022调研]已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）

易错点2 忽视函数定义域而致误
3.[重庆2023一诊]已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 .
4.[安徽黄山2022一模]连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ）

5.[河南中原顶级名校2022联考]函数的零点个数为（ ）

易错点3 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误
6.[吉林部分学校2023大联考]已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）


易错点4 对数型复合函数的定义域为和值域为理解不透彻致误
7.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 .
易错点5 函数的图象画的不准确而致误
8.[河北2023联考]已知函数
若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）

易错点6 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误
9.[江苏常州一中2023调研]若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）


易错点7 忽视分段函数交界处的函数值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 .
易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误
11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当时，，则的取值范围是 .
易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误
12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 .
易错点10 忽视函数图象端点的取值致错
13.[陕西安康2022期末]已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ）


易错点11 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
14.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是 .
3.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（ ）


易错点12 混淆极值点的含义致误
15. [河南洛阳 2023 月考]若是函数的极值点，则的值为（ ）

16. [山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（ ）

高考真题
一．选择题（共13小题）
1．（2023•全国）若，且，则
A．2B．3C．4D．5
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
3．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
4．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A．B．C．D．
5．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
6．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
7．（2023•北京）下列函数中在区间上单调递增的是
A．B．C．D．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
9．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
10．（2023•甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为
A．1B．2C．3D．4
11．（2023•乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．（2023•全国）已知函数在处取得极小值1，则
A．B．0C．1D．2
13．（2023•甲卷）已知函数．记，，，则
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
14．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
15．（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则
A．B．（1）
C．是偶函数D．为的极小值点
16．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
三．填空题（共11小题）
17．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
18．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
19．（2023•全国）为上奇函数，，（1）（2）（3）（4）（5）， ．
20．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 ．
21．（2023•北京）已知函数，则 ．
22．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
23．（2023•全国）曲线在处切线方程为 ．
24．（2023•全国）已知函数，则在区间的最大值为 ．
25．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
26．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
27．（2023•北京）设，函数给出下列四个结论，正确的序号为 ．
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，，，则；
④设，，，，若存在最小值，则的取值范围是，．
四．解答题（共11小题）
28．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
29．（2023•甲卷）已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
30．（2023•上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
31．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
32．（2023•甲卷）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
33．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
34．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
35．（2023•北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求的单调区间；
（Ⅲ）求的极值点的个数．
36．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；
（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；
（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．
37．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
38．（2023•天津）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
最新模拟
一．选择题（共8小题）
1．（2024•武汉模拟）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：，为时间（单位：，则此人每分钟心跳的次数为
A．50B．70C．90D．130
2．（2024•云南一模）已知函数，若，，（3），则
A．B．C．D．
3．（2024•2月份模拟）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线” 由德国心理学家艾宾浩斯．研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：．若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的，则他复习背诵时间需大约在
A．B．C．D．
4．（2024•五华区校级模拟）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元，则一个纸箱的成本最低约为（参考数据：，
A．0.32元B．0.44元C．0.56元D．0.64元
5．（2024•湖北模拟）已知对任意，恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
6．（2024•东莞市校级一模）已知集合，若，，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对，，的个数是
A．16B．24C．32D．48
7．（2024•邵阳模拟）已知函数的定义域为，为的导函数．若（1），且在上恒成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
8．（2024•重庆模拟）已知是奇函数，则在点，处的切线方程为
A．B．C．D．
二．多选题（共1小题）
9．（2024•如皋市模拟）设为常数，，，则
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
三．填空题（共7小题）
10．（2024•江西模拟）若不等式在，上恒成立，则的最大值为 ．
11．（2024•重庆模拟）给机器人输入一个指令，（其中常数后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作．已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 ．
12．（2024•常德模拟）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
13．（2024•罗湖区校级模拟）已知函数若函数的图象在点，和点，处的两条切线相互平行且分别交轴于，两点，则的取值范围为 ．
14．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是 ．
15．（2024•黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 ．
16．（2024•中山市校级模拟）若关于的不等式在，上恒成立，则实数的最大值为 ．
四．解答题（共11小题）
17．（2024•榆阳区校级一模）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
18．（2024•庄浪县校级一模）设，，且（1）．
（1）求的值及的定义域．
（2）求在区间，上的最大值．
19．（2024•广东模拟）已知函数．
（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
20．（2024•龙岗区校级模拟）已知函数．
（1）若在上有唯一零点，求的取值范围；
（2）若对任意实数恒成立，证明：．
21．（2024•重庆模拟）已知函数为实数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数，满足，求证．
（3）若有两个零点，，证明：．
22．（2024•吉林模拟）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上．
（1）当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（2）已知函数，关于的方程有两个不等实根，．
求实数的取值范围；
证明：．
23．（2024•汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．
设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为．
（1）若，，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．
（取
24．（2024•天津模拟），，已知的图象在，处的切线与轴平行或重合．
（1）求的值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围；
（3）利用如表数据证明：．
25．（2024•济宁一模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，，使得成立；
（3）设，数列的前项和为．证明：．
26．（2024•广东模拟）已知函数有极值点
（Ⅰ）求函数的单调区间及的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，求的值．
27．（2024•海淀区校级模拟）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线．求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，，求实数的取值范围．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
1.010
0.990
2.182
0.458
2.204
0.454