湖北省十堰市2024届高三下学期4月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省十堰市2024届高三下学期4月调研考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知是抛物线上的一点,F为抛物线C的焦点,且,则抛物线C的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,的夹角为150°,且,则( )
A.1B.C.D.
4．将函数的图象向右平移个单位长度,得到偶函数的图象,则的最小值是( )
A.B.C.D.
5．某工厂生产零件的尺寸指标,若尺寸指标在内的零件为优等品,从该厂生产的零件中随机抽取10000件,则抽取到的优等品的件数约为( )
参考数据：若,则,,.
A.6827B.8186C.8400D.9545
6．已知球O的体积为,点A到球心（的距离为3,则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是( )
A.B.C.D.
7．如图,在扇形OAB中,半径,,C在半径OB上,D在半径OA上,E是扇形弧上的动点（不包含端点）,则平行四边形BCDE的周长的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知,存在唯一的整数,使得成立,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线与圆,则( )
A.直线l过定点B.圆C的半径为4
C.直线l与圆C一定相交D.圆心C到直线l的距离的最大值是1
10．在正四棱台中,,,P为棱上的动点（含端点）,则下列结论正确的是( )
A.四棱台的表面积是
B.四棱台的体积是
C.的最小值为
D.的最小值为
11．已知定义在R的函数满足,且,若,则( )
A.B.的图象关于直线对称
C.是周期函数D.
三、填空题
12．已知复数z和是关于x的方程的两根,则____________.
13．某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班,已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班,且小明至少参加一种球类的兴趣班,则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是______________.
四、双空题
14．数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：幂势既同,则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓型工艺品（上、下对称）,其轴截面近似为图2中的实线图形,两段曲线是双曲线的一部分,内部虚线为双曲线C的渐近线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为,则___________;利用祖窑原理可求得该工艺品的体积为_______________.
图1图2
五、解答题
15．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若有最大值3,求a的值.
16．为了适应新高考,某校决定实行新的测评方案.新的测评方案起草后,为了解教职工对新的测评方案是否满意,决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球,学校所有教职工从袋子中有放回地随机摸两次球,每次摸出一球,约定若两次摸到的球的颜色不同,则按方式Ⅰ回答问卷,否则按方式Ⅱ回答问卷.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球,则在问卷中打“√”,否则打“×”;
方式Ⅱ：若对新的测评方案满意,则在问卷中打“√”,否则打“×”.
（1）若该校高三年级有25名教职工,用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数,求X的数学期望.
（2）若该校教职工对新的测评方案的满意度的估计值超过80%,则该校通过新的测评方案,否则不通过.当所有教职工完成问卷调查后,统计得到该校的所有调查问卷中,打“√”与打“×”的比例为,用频率估计概率,用所学概率知识判断该校是否通过新的测评方案.
注：满意度＝学校所有对新的测评方案满意的教职工人数÷学校所有教职工人数×100%.
17．如图1,在平面四边形BCDP中,,,垂足为A,,将PAB沿AB翻折到的位置,使得平面平面ABCD,如图2所示.
图1图2
（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l,证明：.
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合）,使得二面角Q-BD-C的余弦值为,共存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18．已知椭圆的左、右顶点分别是,,椭圆C的焦距是2,P（异于,）是椭圆C上的动点,直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）,分别是椭圆C的左、右焦点,Q是内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点M,N,使得为定值？若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
19．函数称为取整函数,也称为高斯函数,其中表示不超过实数x的最大整数,例如：,,.对于任意的实数x,定义,数列满足.
（1）求,的值.
（2）设,从全体正整数中除去所有,剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列.
①求的通项公式;
②证明：对任意的,都有.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得,则.
2．答案：C
解析：由题意可得,解得,则抛物线C的焦点坐标是.
3．答案：D
解析：因为,所以.
4．答案：D
解析：由题意可得.因为是偶函数,所以,所以,所以.
5．答案：B
解析：由题意可得,则.
6．答案：C
解析：设球O的半径为R,则,解得.
因为点A到球心O的距离为3,
所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为,
则所求截面面积的最小值为.
7．答案：A
解析：（法一）如图,连接OE,AB.设,
则,,故.在中,
由正弦定理可得,
则.
在中,由正弦定理可得,则.
平行四边形BCDE的周长为
.
因为,所以,所以,所以,
所以,则,
即平行四边形BCDE的周长的取值范围是.
8．答案：D
解析：设,.
由题意可知函数在直线下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数.
因为,所以.
由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增.如图,作出的大致图象.因为直线过定点A,所以,
即,故.
9．答案：ACD
解析：由题意可知直线l过定点,圆C的半径为2,则A正确,B错误.
因为点M在圆C的内部,所以直线l与圆C一定相交,则C正确.当直线时,圆心C到直线l的距离;当直线l不与直线CM垂直时,圆心C到直线l的距离.故圆心C到直线l的距离的最大值是1,所以D正确.
10．答案：ABC
解析：如图1,由题意可知该四棱台的侧面都是等腰梯形,且.作,垂足为E.
因为,,所以,所以,
则四棱台的表面积,故A正确.
图1
如图2,设,O分别是和AC的中点,则是四棱台的高.作,
垂足为H.由题中数据可知,
则四棱台的体积
,故B正确.
图2
如图3,把四边形,展开至同一个平面,连接AC,,.易知的最小值就是展开图中AC的长.在△ABC中,,,则,即的最小值为,故C正确.
图3
在中,由余弦定理可得,则,
从而,
由图可知,则D错误.
11．答案：BCD
解析：因为,所以,所以,即,所以是周期为4的周期函数,则C正确.
令,得,则,从而,故A错误.
因为,所以,所以,所以的图象关于直线对称,则B正确.
易得的周期为4,且其图象关于直线及对称,则直线及均为图象的对称轴,从而,.令,
得,即,则,
故
,故D正确.
12．答案：
解析：设,则,从而,故.
13．答案：
解析：小明和小华参加兴趣班的方案有种,
其中小明和小华参加的兴趣班都不同的情况有种,
故所求概率.
14．答案：;
解析：如图,建立平面直角坐标系,易知在双曲线上,则,
解得.设直线,则直线l在第一象限内与双曲线C的一条渐近线交于,
与双曲线C交于,故双曲线C与其渐近线之间部分的截面面积.
由祖暅原理可得该几何体上半部分的体积是底面面积为,高为的柱体与底面圆的半径为,高为的圆锥的体积之和,则该几何体的体积.
15．答案：（1）当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减
（2）
解析：（1）由题意可得的定义域为,且.
当时,恒成立,则在上单调递增;
当时,由,得,由,得：,
则）在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）由（1）可知当时,在上单调递增,则无最大值,即不符合题意.
当时,在上单调递增,在上单调递减,
则,
即,解得.
16．答案：（1）12
（2）该校能通过新的测评方案
解析：（1）每次摸到白球的概率,摸到黑球的概率,
每名教职工两次摸到的球的颜色不同的概率.
由题意可知该校高三年级25名教职工中按方式Ⅰ回答问卷的人数,
则X的数学期望.
（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”,事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”,事件C为“在问卷中打‘√’”.
由（1）可知,则.
由全概率公式可知.
因为,
所以,解得.
因为,所以该校能通过新的测评方案.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：由题意可知.
因为平面平面,平面平面ABCD,
所以平面SAB.
因为平面平面,
所以平面SAB,则.
（2）由图1可知.
因为平面平面,平面平面AB-CD,
所以平面ABCD,
所以,,则AB,AD,AS两两垂直.
故以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
所以,.
设（）,则,从而,
故
设平面BDQ的法向量为,
则,
令,得.
易知平面BCD的一个法向量为.
设二面角Q-BD-C为,由图可知为锐角,
则,
即,整理得,
解得或（舍去）.
故当时,二面角Q-BD-C的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,.
由题意可得,,
则,,
从而.
因为点P在椭圆C上,
所以,
所以,
则.①
因为椭圆C的焦距是2,
所以.②
联立①②,解得,,
则椭圆C的标准方程为.
（2）设,
因为,
所以.
由（1）可知,则直线的方程为,
即,
从而点Q到直线的距离,
即,
即.
因为,
所以,
所以,
所以,
即.
因为,,,
所以.
因为,
所以,
即.
故存在定点,,使得.
19．答案：（1）45
（2）①②见解析
解析：（1）因为,
所以,
所以,
所以.
因为,
所以,
所以,
所以.
（2）①由题意可得,则.
对于给定的,存在唯一确定的,
使得,即.
因为,
所以当时,,
可设,,
此时,即,;
当时,,
可设,,
此时,即,.
故,
恰好跳过,
即所有正整数中恰好少了.
因为,所以.
②证明：因为,所以,
则为递增数列.
.
当时,,
则
.
故对任意的,都有.