山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置）
1．下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线相等C．对边相等D．对角线互相平分
4．下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
5．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列各数中，与互为倒数的是（ ）
A．B．2C．D．
8．四边形中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，D．，，
9．已知关于x的方程(k－1)x2－x＋＝0有实数根，则k的取值范围为( )
A．k≥－2B．k≥－
C．k≥－且k≠1D．以上都不对
10．如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（ ）
A．AM=ANB．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°
11．如图，四边形的对角线相交于点O，且点O是的中点，若，，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．160B．96C．80D．60
12．折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A．B．2C．D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）
13．二次根式中x的取值范围是 ．
14．若最简二次根式和能合并，则 ．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
16．菱形的两条对角线长分别为12，16，则这个菱形的周长是 ．
17．已知等腰的一腰长为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是 ．
18．如图，在菱形中，，相交于点O，E为的中点，，则的度数是 ．

19．如图，在正方形中，，点E，F分别在边BC和CD上，，，则DF的长是 ．
20．如图所示，在中，，，，P为上一动点（不与A、B重合），作于点E，于点F，连接，则的最小值是 ．

三、解答题（本大题共7个小题，满分70分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．解方程：
(1)用配方法：；
(2)用公式法：．
23．探究下面二次根式的运算规律，根据要求进行解答．
特例1：；特例2：；特例3：；……．
(1)写出一个符合上述运算特征的等式；
(2)如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律，并写出推导过程．
24．已知四边形和四边形都是正方形，且，连接、．求证：
(1)；
(2)．
25．已知：关于x的一元二次方程．
(1)当m取何值时，此方程没有实数根；
(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
26．如图，在中，，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，的面积为，求的长．
27．（1）如图1，菱形的对角线、交于点O，过点D作，且，连接，判断四边形的形状并说明理由．
（2）如图2，如果题目中的菱形变为矩形，结论应变为什么？（直接写出结论）
（3）如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
1．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析判断即可，
【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意；
C． 是二次根式，故该选项符合题意；
D． 是三次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，解题的关键是注意熟记定义．
原式利用平方根，算术平方根，立方根定义判断即可
【详解】A． ，故该选项计算错误，不符合题意；
B． ，故该选项计算错误，不符合题意；
C． ，故该选项计算错误，不符合题意；
D． ，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】根据矩形和菱形的性质判断即可.
【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质；
故选：B.
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，明确矩形的对角线相等是解题的关键.
4．A
【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式进行判断即得到答案．
【详解】由题意可知，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．
根据二次根式的加法对A进行判断，根据二次根式的减法法则对B进行判断，根据二次根式的乘法对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】A． ，计算错误，故选项不符合题意；
B． ，计算错误，故选项不符合题意；
C． ，计算错误，故选项不符合题意；
D． ，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】由题意可知： ,
解得：,
故选：．
【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
7．A
【分析】本题考查了倒数，分母有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键．
根据互为倒数的数乘积为1，得，然后进行分母有理化即可；
【详解】互为倒数的数乘积为1，
，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定逐项判断即得答案．
【详解】A．，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
B． ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C． ，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，故本选项符合题意；
D．，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
9．B
【分析】根据方程有实数根，分为一元一次方程和一元二次方程讨论即可.
【详解】当k＝1时，方程为－x＋=0，有实数根．当k≠1且1＋2k≥0时，方程为一元二次方程，Δ＝(－)2－4(k－1)×＝1＋2k－(k－1)＝k＋2≥0，解得k≥－2；由1＋2k≥0，得k≥－，此时k的取值范围为k≥－且k≠1.综上，当k≥－时，方程有实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式. Δ=b2-4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
10．D
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM=CN，BM=DN，
∵AD=BC，
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分∠，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，故本选项错误；
D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；
故选D．
11．B
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，根据菱形面积计算公式得到结论．
【详解】∵，点O是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
，，，
∵，，
，
在中
∴，
∴，
∴四边形的面积，
故选：B．
12．B
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，

又AB∥CD，

∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），

设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
13．且
【分析】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，掌握它们有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出的取值范围．
【详解】根据二次根式有意义，得
，
解得：，
分式有意义得：，
x的取值范围是且．
故答案为：且．
14．5
【分析】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，解一元一次方程，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键．
由题意得，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：5．
15．
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出m的范围．
【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
16．40
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】解：如图，菱形中，对角线，，
∵四边形是菱形，
∴，，，．
∴是直角三角形．
∴．
∴此菱形的周长为：
故答案为：．

【点睛】
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一次二次方程的解，三角形的三边性质，把代入方程求出的值，再把的值代回方程，求出方程的解，根据三角形的三边性质判断即可求解，掌握一次二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，是方程的根，
把代入方程得，，
整理得，
解得或，
当，方程为，
解得，，符合题意；
当时，方程为，
解得，，
∵，
∴不合题意，舍去；
综上，，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据菱形的四条边都相等可得，然后得到，从而得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】解： E为的中点，，
，
四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：
19．##
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
连接，可得是等边三角形，证明得出，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示
，，，
∴是等边三角形，
∵四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得： 或（舍去），
故答案为：．
20．4.8
【分析】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
连结，当时，最小，利用三角形面积解答即可．
【详解】解：连结，
，，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，此时，
，，
，
的最小值为：．
线段长的最小值为．
故答案为：4.8．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）根据二次根式的乘除法则即可；
（2）根据二次的加减运算法则即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则即可；
（4）根据二次根式、立方根、零次方、绝对值的性质即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
（3）原式
（4）原式
22．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤．
（1）用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式；
（2）用公式法解方程时，先确定a，b，c的值，再计算，若，即可代入求根公式，解得即可．
【详解】（1）
；
；
，；
（2）整理得：
，
方程有两个不等的实数根
，
23．(1)（答案不唯一）
(2)，见详解
【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
（1）根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式；
（2）根据（1）中的发现，先写出关于n的等式，然后写出推导过程即可．
【详解】（1）解：如：（答案不唯一）；
（2）解：如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：；
∵n是正整数，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据正方形的性质，利用证明，即可；
（2）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质，得到，利用外角的性质，得到，即可．
掌握正方形的性质，证明，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键．
（1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答；
（2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
可得，
当，即时，此方程没有实数根；
（2）解：∵有两个实数根，
∴，
∴；
∴m的最小整数值为．
26．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理；
（1）根据平行四边形的性质得出结合，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线以及平行线的性质得出则，即可得证；
（2）根据菱形的性质，勾股定理，求得菱形的面积，进而根据得出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，，，
，
，
菱形的面积；
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
27．（1）矩形，见解析；（2）菱形；（3）正方形，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质和判定．
（1）由，得到四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，从而得到四边形是矩形；
（2）同（1）得到四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，从而得到四边形是菱形；
（3）同（1）得到四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，，从而得到四边形是正方形．
【详解】解：（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴是矩形；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴是菱形；
（3）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是正方形．