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山东省济南市商河县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共6页，满分150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【详解】解：①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不符合题意；
④，是多项式，不符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
2. 下列生活现象中，属于平移的是（ ）．
A. 钟摆的摆动B. 拉开抽屉
C. 足球在草地上滚动D. 投影片文字经投影转换到屏幕上
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】A选项：旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键．
3. 下列命题与它的逆命题均为真命题的是（）
A. 内错角相等B. 对顶角相等
C. 如果ab0，那么a0D. 互为相反数的两个数和为0
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断原命题的真假，写出原命题是假命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果ab=0，那么a=0，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可．
【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误；
B、，符合因式分解的定义，故B正确；
C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误；
D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误．
故选：B．
5. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折．
A. 六B. 七C. 八D. 九
【答案】B
【解析】
【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．
【详解】解：设该自行车最多能打x折，
由题意得，
解得：，即最多可打7折．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键．
6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，再求出，即可得到的度数．
【详解】∵将绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是理解不等式组解集的取法．根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案．
【详解】解：解关于x的不等式组，
由①得：，
由②得：，
不等式无解，
，
．
故选：A．
8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
9. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ）
A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
11. 命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”这个命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质即可判断命题的正误．
【详解】解：，，
，
故此命题是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查命题的真假及不等式的基本性质，解答的关键是熟悉判断命题真假的方法，即要判断命题的真假，需要看命题在其条件的约束下，结论是否一定成立．
12. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得：，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，即可解答．
详解】解：由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质解题的关键．
13. 如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距________海里．
【答案】7
【解析】
【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可．
【详解】解：如图：
，
，
，海里，
海里，海里，
（海里），
（海里），
故答案为：7．
【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答．
14. 直线和如图所示，则关于的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及一次函数的平移，正确得出两直线的平移方式是解题关键．根据图像可得出的解集，根据直线和是直线和向右平移2个单位所得，结合直线和交点坐标即可即可得出平移后两直线的交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵直线和的交点坐标为，
∴的解集为，
∵直线和是直线和向右平移2个单位所得，
∴平移后两直线的交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
15. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____．
【答案】a≤b
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．
16. 对、定义一种新运算“”规定：（、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如已知，则关于的不等式的最小整数解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出与的值，即可由，得出，解得，从而得出关于的不等式的最小整数解为．
【详解】解：，，，
，
，
解得，
，
，
解得，
关于的不等式的最小整数解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（共10小题86分）
17. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式，以及熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分，即可解得．
【详解】解：，
由①得，，解得，
由②得，，解得，
所以，原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
19. 如图，在中，是的平分线，且，试求的度数．
【答案】100°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC，根据角平分线的定义可求出∠DBE，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠DEB，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，属于基础题，应熟练掌握．
20. 如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）周长
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质，等边对等角，三角形外角的性质：
（1）根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，进而得到，再由三角形外角的性质即可得到答案；
（2）根据三角形周长计算公式可得的周长，据此可得答案．
【小问1详解】
解：的垂直平分线交于点，
，
，
；
【小问2详解】
解：的周长，
，
，
的周长．
21. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形顶点叫作格点），的顶点均在格点上，且，，，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）的面积为___________；
（2）作，使它与关于坐标原点O成中心对称．
（3）在x轴上作一点P，使得的值最小．
【答案】（1）2.5 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用割补法求三角形的面积即可；
（2）先作出各顶点关于原点成中心对称的对应点，再描点即可；
（3）作点C关于x轴对称点D，连接交x轴于点P即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：如图，即为所求
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求，
．
【点睛】本题考查了中心对称变换，轴对称，割补法求面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22. 认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
＝
＝
＝
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：；
（3）猜想：分解因式的结果是 ．
【答案】（1）提公因式法
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分解因式的方法是“提公因式法”；
（2）参照范例分解即可；
（3）观察、分析范例和（2）中的结果可知，本题分解因式的结果为：．
【小问1详解】
解：分解因式的方法是“提公因式法”，
故答案为：提公因式法．
【小问2详解】
解：
＝
＝
＝
＝ ．
【小问3详解】
解：观察、分析范例和（2）中分解因式的结果可知：
分解因式的结果是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，数式规律，熟练掌握用提公因式法分解因式是解题的关键．
23. 小白同学想利用中考后的暑假时间，体验一下社会实践活动．他发现路边卖的腌制青芒果生意特别火爆，于是他开始做准备工作，先上网查阅资料，了解腌制青芒果的制作工序，需要的原材料有青芒果、盐、白糖．他去市场打听到了青芒果一斤4元，白糖一斤6元．小白妈妈说盐家里有好多，盐就由她赞助给小白．在制作过程中，他发现一斤青芒果削皮去核后，青芒果肉只剩下半斤，用少许盐腌制后，清洗干净再用白糖腌制，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，小白觉得在制作过程中挺费劲的，而且在实际售卖过程中，只能捞出芒果肉售卖，他想利润率不低于，请你帮他计算一下，售价至少定为多少元？
【答案】售价至少定为元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程与销售利润的关系，理解题目数量，掌握销售中数量关系是解题的关键．
根据一斤青芒果削皮去核后，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，可求出一斤白糖腌制的成本，再根据利润的计算方法即可求解．
【详解】解：青芒果一斤4元，白糖一斤6元，一斤青芒果削皮去核后，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，
∴三斤果肉需要6斤青芒果，费用为（元），
∴总成本为：（元），
∵利润率不低于，
∴设售价为元，
∴，
解得，，
∴售价至少定为元．
24. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
（1）由旋转的性质，等边三角形的性质得到，，再通过证明，得到．
（2）由全等三角形的性质，得到，再结合等边三角形的性质，得到，再利用勾股定理，得到答案．
【小问1详解】
证明：由旋转可知，，
是等边三角形，
，
，
，
即
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，，
是等边三角形，
，
又，
，
在中，．
25. 观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式；
（3）请利用上述规律计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式；
（2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式；
（3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1）∵①22-21=4-2=21；
②23-22=8-4=22；
③24-23=16-8=23；
则第④个等式是：25-24=32-16=24，
（2）第n个等式是：2n+1-2n=2n，
∵2n+1-2n
=2×2n-2n
=（2-1）×2n
=2n，
∴2n+1-2n=2n；
（3）根据规律：
=（22-21）+（23-22）+（24-23）+…+（22022-22021）
=22-21+23-22+24-23+…+22022-22021
=22022-21
=22022-2．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
26. 【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得到△DA，则△BD的形状是 ；
（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
（3）如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）等边三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出BD=D，∠BD=60°，所以△BDB′是等边三角形；
（2）根据旋转的性质知等边三角形的边长为3，过点作M⊥BD，利用等边三角形的性质及勾股定理得出三角形的高，求出△BD的面积即可；
（3）类比（1），连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DA，连接B，延长BA，作E⊥BE；易证△AF是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=E=1，B=，求△AB和△BD的面积差即可．
【小问1详解】
解：如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DA，
∵BD=D，∠BD=60°
∴△BD是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
【小问2详解】
由旋转的性质得：△BCD≌△AD，
∴四边形ABCD的面积=等边△BD的面积，
∵BC=A=1
∴B=AB+A=2+1=3，
∴B=BD=3，
过点作M⊥BD，如图2所示：
∴BM=，
∴M=，
∴；
【小问3详解】
如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DA，
连接B，延长BA，作E⊥BE；
∴由旋转得△BCD≌△AD
∴=，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°，
∴∠AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°，
∴∠BA=360°-(∠AD+∠BAD)=135°
∴∠AE=45°，
∴∆AE为等腰直角三角形，
∵A=BC=，
∴E=AE=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴B=，
∴，
∵∠BD=60°，BD=D，
∴∆BD为等边三角形，
同（2）中方法一致，得∆BD得高为，
∴，
∴=．
【点睛】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点并作出相应图形是解题关键．
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共6页，满分150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【详解】解：①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不符合题意；
④，是多项式，不符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
2. 下列生活现象中，属于平移的是（ ）．
A. 钟摆的摆动B. 拉开抽屉
C. 足球在草地上滚动D. 投影片文字经投影转换到屏幕上
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】A选项：旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键．
3. 下列命题与它的逆命题均为真命题的是（）
A. 内错角相等B. 对顶角相等
C. 如果ab0，那么a0D. 互为相反数的两个数和为0
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断原命题的真假，写出原命题是假命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果ab=0，那么a=0，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可．
【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误；
B、，符合因式分解的定义，故B正确；
C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误；
D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误．
故选：B．
5. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折．
A. 六B. 七C. 八D. 九
【答案】B
【解析】
【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．
【详解】解：设该自行车最多能打x折，
由题意得，
解得：，即最多可打7折．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键．
6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，再求出，即可得到的度数．
【详解】∵将绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是理解不等式组解集的取法．根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案．
【详解】解：解关于x的不等式组，
由①得：，
由②得：，
不等式无解，
，
．
故选：A．
8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
9. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ）
A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
11. 命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”这个命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质即可判断命题的正误．
【详解】解：，，
，
故此命题是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查命题的真假及不等式的基本性质，解答的关键是熟悉判断命题真假的方法，即要判断命题的真假，需要看命题在其条件的约束下，结论是否一定成立．
12. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得：，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，即可解答．
详解】解：由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质解题的关键．
13. 如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距________海里．
【答案】7
【解析】
【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可．
【详解】解：如图：
，
，
，海里，
海里，海里，
（海里），
（海里），
故答案为：7．
【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答．
14. 直线和如图所示，则关于的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及一次函数的平移，正确得出两直线的平移方式是解题关键．根据图像可得出的解集，根据直线和是直线和向右平移2个单位所得，结合直线和交点坐标即可即可得出平移后两直线的交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵直线和的交点坐标为，
∴的解集为，
∵直线和是直线和向右平移2个单位所得，
∴平移后两直线的交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
15. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____．
【答案】a≤b
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．
16. 对、定义一种新运算“”规定：（、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如已知，则关于的不等式的最小整数解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出与的值，即可由，得出，解得，从而得出关于的不等式的最小整数解为．
【详解】解：，，，
，
，
解得，
，
，
解得，
关于的不等式的最小整数解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（共10小题86分）
17. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式，以及熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分，即可解得．
【详解】解：，
由①得，，解得，
由②得，，解得，
所以，原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
19. 如图，在中，是的平分线，且，试求的度数．
【答案】100°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC，根据角平分线的定义可求出∠DBE，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠DEB，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，属于基础题，应熟练掌握．
20. 如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）周长
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质，等边对等角，三角形外角的性质：
（1）根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，进而得到，再由三角形外角的性质即可得到答案；
（2）根据三角形周长计算公式可得的周长，据此可得答案．
【小问1详解】
解：的垂直平分线交于点，
，
，
；
【小问2详解】
解：的周长，
，
，
的周长．
21. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形顶点叫作格点），的顶点均在格点上，且，，，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）的面积为___________；
（2）作，使它与关于坐标原点O成中心对称．
（3）在x轴上作一点P，使得的值最小．
【答案】（1）2.5 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用割补法求三角形的面积即可；
（2）先作出各顶点关于原点成中心对称的对应点，再描点即可；
（3）作点C关于x轴对称点D，连接交x轴于点P即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：如图，即为所求
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求，
．
【点睛】本题考查了中心对称变换，轴对称，割补法求面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22. 认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
＝
＝
＝
（1）上述分解因式的方法是 ；
（2）分解因式：；
（3）猜想：分解因式的结果是 ．
【答案】（1）提公因式法
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分解因式的方法是“提公因式法”；
（2）参照范例分解即可；
（3）观察、分析范例和（2）中的结果可知，本题分解因式的结果为：．
【小问1详解】
解：分解因式的方法是“提公因式法”，
故答案为：提公因式法．
【小问2详解】
解：
＝
＝
＝
＝ ．
【小问3详解】
解：观察、分析范例和（2）中分解因式的结果可知：
分解因式的结果是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，数式规律，熟练掌握用提公因式法分解因式是解题的关键．
23. 小白同学想利用中考后的暑假时间，体验一下社会实践活动．他发现路边卖的腌制青芒果生意特别火爆，于是他开始做准备工作，先上网查阅资料，了解腌制青芒果的制作工序，需要的原材料有青芒果、盐、白糖．他去市场打听到了青芒果一斤4元，白糖一斤6元．小白妈妈说盐家里有好多，盐就由她赞助给小白．在制作过程中，他发现一斤青芒果削皮去核后，青芒果肉只剩下半斤，用少许盐腌制后，清洗干净再用白糖腌制，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，小白觉得在制作过程中挺费劲的，而且在实际售卖过程中，只能捞出芒果肉售卖，他想利润率不低于，请你帮他计算一下，售价至少定为多少元？
【答案】售价至少定为元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程与销售利润的关系，理解题目数量，掌握销售中数量关系是解题的关键．
根据一斤青芒果削皮去核后，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，可求出一斤白糖腌制的成本，再根据利润的计算方法即可求解．
【详解】解：青芒果一斤4元，白糖一斤6元，一斤青芒果削皮去核后，一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉，
∴三斤果肉需要6斤青芒果，费用为（元），
∴总成本为：（元），
∵利润率不低于，
∴设售价为元，
∴，
解得，，
∴售价至少定为元．
24. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
（1）由旋转的性质，等边三角形的性质得到，，再通过证明，得到．
（2）由全等三角形的性质，得到，再结合等边三角形的性质，得到，再利用勾股定理，得到答案．
【小问1详解】
证明：由旋转可知，，
是等边三角形，
，
，
，
即
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，，
是等边三角形，
，
又，
，
在中，．
25. 观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式；
（3）请利用上述规律计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式；
（2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式；
（3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1）∵①22-21=4-2=21；
②23-22=8-4=22；
③24-23=16-8=23；
则第④个等式是：25-24=32-16=24，
（2）第n个等式是：2n+1-2n=2n，
∵2n+1-2n
=2×2n-2n
=（2-1）×2n
=2n，
∴2n+1-2n=2n；
（3）根据规律：
=（22-21）+（23-22）+（24-23）+…+（22022-22021）
=22-21+23-22+24-23+…+22022-22021
=22022-21
=22022-2．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
26. 【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得到△DA，则△BD的形状是 ；
（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
（3）如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）等边三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出BD=D，∠BD=60°，所以△BDB′是等边三角形；
（2）根据旋转的性质知等边三角形的边长为3，过点作M⊥BD，利用等边三角形的性质及勾股定理得出三角形的高，求出△BD的面积即可；
（3）类比（1），连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DA，连接B，延长BA，作E⊥BE；易证△AF是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=E=1，B=，求△AB和△BD的面积差即可．
【小问1详解】
解：如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DA，
∵BD=D，∠BD=60°
∴△BD是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
【小问2详解】
由旋转的性质得：△BCD≌△AD，
∴四边形ABCD的面积=等边△BD的面积，
∵BC=A=1
∴B=AB+A=2+1=3，
∴B=BD=3，
过点作M⊥BD，如图2所示：
∴BM=，
∴M=，
∴；
【小问3详解】
如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DA，
连接B，延长BA，作E⊥BE；
∴由旋转得△BCD≌△AD
∴=，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°，
∴∠AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°，
∴∠BA=360°-(∠AD+∠BAD)=135°
∴∠AE=45°，
∴∆AE为等腰直角三角形，
∵A=BC=，
∴E=AE=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴B=，
∴，
∵∠BD=60°，BD=D，
∴∆BD为等边三角形，
同（2）中方法一致，得∆BD得高为，
∴，
∴=．
【点睛】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点并作出相应图形是解题关键．
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