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山东省济南市育英中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 （原卷版+解析版）
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一、选择题（共10小题）
1. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C D.
3. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，四边形中，对角线相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于任何整数，多项式都能（ ）
A. 被9整除B. 被a整除C. 被整除D. 被整除
9. 如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 已知两个分式：，．将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…
（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①；②当时，；③在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ①④D. ①③④
二、填空题（共6小题）
11. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m的取值范围是______．
12. 因式分解：x2-16x+64=___________
13. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是___度．
14. 若关于x的分式方程有增根，则___________．
15. 在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中，．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐．毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p，H，q满足，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p，H，q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．用含A、G的代数式表示H为________．
16. 如图，中，，延长至点D，使，E为边上的点，且，连接分别为的中点，连接，则的长为________．
三、解答题（共10小题）
17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18. 分解因式：
（1）
（2）
19. （1）化简：
（2）解方程：
20. 如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在边OB上，四边形AEBF平行四边形．
（1）请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请说明你的画法的正确性．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
（1）的长为 ；
（2）线段的长为 ；（用含t的代数式表示）
（3）当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值．
23. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
（1）求树苗基地每捆种树苗价格．
（2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
24. 我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为 ，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则______，______．
（2）若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
25. 【问题背景】
（1）如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，求证：．
证明：过点C作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点E，连接．
∵，．
∴四边形ABEC为平行四边形，则 ，．
∵，∴．
又∵，∴为等边三角形， ．
∴，即．
请完成证明中的两个填空．
【迁移应用】
（2）如图2，正方形的边长为4，点M在边上，点N在边上，点O在上，过点O作的垂线，交于点F，交于点E．求证：
①；
②．
联系拓展】
（3）如图3，为等腰三角形，，过点A作的平行线l，点D在直线l上，点A到的距离为，求线段的最小值．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10．
（1）点C的坐标是 ，直线的表达式是 ；
（2）如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
一、选择题（共10小题）
1. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C D.
3. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，四边形中，对角线相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于任何整数，多项式都能（ ）
A. 被9整除B. 被a整除C. 被整除D. 被整除
9. 如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 已知两个分式：，．将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…
（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①；②当时，；③在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ①④D. ①③④
二、填空题（共6小题）
11. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m的取值范围是______．
12. 因式分解：x2-16x+64=___________
13. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则的大小是___度．
14. 若关于x的分式方程有增根，则___________．
15. 在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中，．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐．毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p，H，q满足，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p，H，q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．用含A、G的代数式表示H为________．
16. 如图，中，，延长至点D，使，E为边上的点，且，连接分别为的中点，连接，则的长为________．
三、解答题（共10小题）
17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18. 分解因式：
（1）
（2）
19. （1）化简：
（2）解方程：
20. 如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在边OB上，四边形AEBF平行四边形．
（1）请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请说明你的画法的正确性．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
（1）的长为 ；
（2）线段的长为 ；（用含t的代数式表示）
（3）当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值．
23. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
（1）求树苗基地每捆种树苗价格．
（2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
24. 我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为 ，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则______，______．
（2）若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
25. 【问题背景】
（1）如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，求证：．
证明：过点C作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点E，连接．
∵，．
∴四边形ABEC为平行四边形，则 ，．
∵，∴．
又∵，∴为等边三角形， ．
∴，即．
请完成证明中的两个填空．
【迁移应用】
（2）如图2，正方形的边长为4，点M在边上，点N在边上，点O在上，过点O作的垂线，交于点F，交于点E．求证：
①；
②．
联系拓展】
（3）如图3，为等腰三角形，，过点A作的平行线l，点D在直线l上，点A到的距离为，求线段的最小值．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10．
（1）点C的坐标是 ，直线的表达式是 ；
（2）如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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