广西百色市田阳区2023-2024学年八年级下学期5月期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟；满分：120分）
注意事项：
答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项．
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 要使二次根式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件列出一元一次不等式组，解一元一次不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
故选：A．
2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（ ）
A. 1.5，2，3B. 2，4，6C. 8，10，12D. 7，24，25
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形三边关系的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；
B．∵，∴不能组成三角形，故不符合题意；
C∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；
D．∵，∴能组成直角三角形，故符合题意，
故选：D．
3. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键，“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．”根据一元二次方程的定义，逐项判断即可．
【详解】A．是一元二次方程，符合题意；
B ．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C ．，当时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
D． 化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
4. 化简 的结果是 ( )
A. 5B. 6C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后再进行二次根式的加法运算即可.
【详解】原式=
=
=5，
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则以及二次根式的化简是解题的关键.
5. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A. 2B. 0C. 0或2D. 0或﹣2
【答案】A
【解析】
【详解】∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，
∴4﹣4m+4=0，
∴m=2．
故选A．
6. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．
A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：由题意得
在中，根据勾股定理得：

所以大树的高度是3+5=8(米)．
故选C.
7. 已知x、y为实数，且，则x-y的值为（ ）
A. 3B. -3C. 1D. -1
【答案】D
【解析】
详解】解：∵≥0，（y﹣2）2≥0，且+3（y﹣2）2=0，∴=0，（y﹣2）2=0，∴x﹣1=0且y﹣2=0，故x=1，y=2，∴x﹣y=1﹣2=﹣1．故选D．
8. 如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm
【答案】B
【解析】
【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【详解】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为cm，
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是=7cm．
故选B．
【点睛】考查了勾股定理的应用，本题需注意的知识点为：最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．
9. 已知，，则代数式的值为（ ）
A. 9B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】计算出m−n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m−n及mn的代数式表示，整体代入即可完成求值．
【详解】∵，，
∴，mn=-1，
∴
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．
10. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.
【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根.
故选C.
【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
11. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
12. 如图，在中，，平分交于D点，，点P是线段上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 6B. 5C. 13D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点E，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值是5．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 计算的结果是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
14. 关于x的一元二次方程的一个解是，则k值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】把代入方程即可求出k的值，再根据一元二次方程的定义，把不合题意的解舍去，即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴将代入方程得，，即，
解得或，
当时，原方程不是一元二次方程，
∴．
故答案：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值．
15. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【点睛】本题考查非负数性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. 已知，则=_______．
【答案】10．
【解析】
分析】直接代入，运用完全平方公式展开计算即可．
【详解】∵，
∴ =
=
=10．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，灵活运用完全平方公式计算是解题的关键．
17. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式大于零列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
18. 如图，点E、F分别是正方形纸片ABCD的边BC、CD上一点，将正方形纸片ABCD分别沿AE、AF折叠，使得点B、D恰好都落在点G处，且EG=2，FG=3，则正方形纸片ABCD的边长为_____
【答案】6
【解析】
【分析】设正方形ABCD的边长为x，根据翻折变换的知识可知BE=EG=2，DF=GF=3，则EC=x-2，FC=x-3，在Rt△EFC中，根据勾股定理列出式子即可求得边长x的长度．
【详解】设正方形ABCD的边长为x，
根据折叠的性质可知：BE=EG=2，DF=GF=3，
则EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2，
解得：x1=6，x2=-1（舍去），
故正方形纸片ABCD的边长为6．
考点：翻折变换的知识，勾股定理
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等，另外要求同学们熟练掌握勾股定理的应用．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
19. 计算
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算的运算顺序，先算乘除后算加减即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
20. 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先对方程变形为，然后提公因式，即可得出，进一步可求解．
【详解】解：
或
∴，
21. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【答案】1，1
【解析】
【分析】分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可．
【详解】解：当n＝1时，；
当n＝2时，
＝
＝1．
【点睛】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
22. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）千米．
【解析】
【分析】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可；
（）根据勾股定理解答即可；
本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用.
【小问1详解】
是，理由，
在中，，，
∴，
∴
∴，
根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路；
【小问2详解】
设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
23. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
24. 世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件．
（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
（2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
【答案】（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元
（2）降价后的小摆件的价格为108元
【解析】
【分析】（1）设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据一个大摆件的价格一个小摆件的价格元，列出方程，解方程即可；
（2）先表示出调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，然后根据调整后，当天的销售额为20520元，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
（元），
答：每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元．
【小问2详解】
解：调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（元），
答：降价后的小摆件的价格为108元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确解方程．
25. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知.
（1）求证：.
（2）求.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）根据折叠性质和勾股定理解答即可．
【小问1详解】
由折叠性质，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵
∴
∴
在中，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键．
26. 如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5m，墙外可用宽度为3.25m．现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．
(1)若要围成总面积为36m2的花圃，边AB的长应是多少？
(2)花圃的面积能否达到36.75m2？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）x只能取3；（2）花圃的面积不能达到36.75m2
【解析】
【分析】（1）设AB的长为x米，则长为21-3x米，根据其面积列出方程求得即可．
（2）把（1）中用代数式表示的面积整理为a（x-h）2+b的形式可得最大的面积．
【详解】（1）设AB的长为x米，则长为（21-3x）米，
根据题意得：x（21-3x）=36，
解得：x=3或x=4，
∵墙外可用宽度为3.25m，
∴x只能取3．
（2）花圃的面积为（21-3x）x=-3（x-3.5）2+36.75，
∴当AB长为3.5m，有最大面积，为36.75平方米．
因为3.5>3.25故花圃的面积不能达到36.75m2
【点睛】本题考查一元二次方程及配方法的应用；得到长方形花圃的长的代数式是解决本题的易错点；用配方法得到最大面积是解决本题的难点．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1），这是用无理数表示有理数的一个范例．