2024年河南省南阳市南召县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分；共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查绝对值，负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解：，
故选D．
2. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A. 克B. 克C. 克D. 克
【答案】D
【解析】
【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是．
【详解】解：粒粟的重量大约为克，
一粒粟的重量约为．
故选：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键．
3. 用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的几何体个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查截一个几何体，关键是明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状特点判断即可．
【详解】解：圆锥用平面去截不可能得到长方形，圆柱、长方体、四棱柱用平面去截可能得到长方形，
∴用一平面去截以上几何体，其截面可能是长方形的有3个，
故选：C．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵一束平行于主光轴的光线，
∴．
故选：D．
5. 在下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的乘法．根据合并同类项，二次根式的乘法，幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
7. 不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（ ）
A. 摸出标记数字为偶数的小球B. 摸出标记数字为5的小球
C. 摸出标记数字比2大的小球D. 摸出标记数字能被3整除的小球
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个试验的概率即可得出答案．
【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率约为，
A、摸出标记数字为偶数的小球的概率为，不符合题意；
B、摸出标记数字为5的小球的概率为，不符合题意；
C、摸出标记数字比2大的小球的概率为，不符合题意；
D、摸出标记数字能被3整除的小球的概率为，符合题意；
故选：D．
8. 《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，（单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是（ ）
A. ，点表示瓜蔓枯萎B. ，点表示瓜蔓垂到地面
C. ，点表示瓜蔓垂到地面D. ，点表示瓠蔓垂到地面
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则：
，
解得，
两图象交点的横坐标是，依题意，点表示瓜蔓垂到地面，此时离地面的高度，
故选C．
9. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得．
【详解】如下图，连接，
∵切于点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键．
10. 如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况讨论即可，求出与之间的函数关系式是解题的关键．
【详解】由图、 图可知，当时，点与点重合；
当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，如图作，交的延长线于点，则 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当 时，则 ，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
解得，
∴，
当时， 则，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，运动时间为，
故选：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个图象不经过第一象限的函数的解析式____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可写出一个经过二、四象限或经过二、三、四象限的一次函数解析式即可．
【详解】解：∵直线经过二、四象限，不经过第一象限，
∴直线符合题意；
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图像的关系等．
12. 数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键．
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】根据题意得，当时，
∵
∴
．
故答案为：．
13. 在唐代，有很多河南诗人，如杜甫，白居易，韩愈，李商隐等，如图，现有四本唐代诗人诗集，若从中随机选两本，恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图求概率，先根据题意画出树状图得到所有等可能的结果数，再找到满足事件的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：分别记杜甫，白居易，李白，王维为A，B，C，D，
根据题意画树状图为：

由图可得，共有12种等可能结果，其中满足恰好选到的两本都是河南籍诗人（A，B）诗集的有2种结果，
则恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为．
故答案为：．
14. 如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，

∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，

∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵沿着翻折得到，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，则，
在中，点是的中点，，，
∴，
∴，即，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，则，
∵，，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴点是的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分）
16. （1）化简：；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
【答案】（1）；（2）B的值与A的值相比变小了，理由见解析
【解析】
【分析】（1）把除变乘，同时将除式的分子分母因式分解，约分即可；
（2）由先求出，作差，然后判断符号即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）B的值与A的值相比变小了．理由如下：
．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴B的值与A的值相比是变小了．
【点睛】本题考查分式的除法，比较分式的大小，掌握分式的除法法则，和比较分式的大小的方法是解题关键．
17. 为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图

（1）求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中、、，的值：
直接写出： ， ， ， ．
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定．
【答案】（1）6 （2）8，9，8，
（3）七年级成绩更稳定，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形的统计图，加权平均数、众数、中位数和方差的求解，
（1）先根据扇形统计图求出测试成绩为分的人数所占的百分比，再乘以即可；
（2）根据加权平均数、众数、中位数和方差的定义即可求解；
（3）结合方差的意义即可作出判断；
掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
【小问1详解】
解：∵测试成绩为分的人数所占的百分比：，
∴（人），
∴抽取的八年级学生中测试成绩为分的人数为人；
【小问2详解】
∵八年级学生中测试成绩为分的人数为：（人），
测试成绩为分的人数为：（人），
测试成绩为分的人数为：（人），
测试成绩为分的人数为：（人），
∴八年级学生中测试成绩的平均数：，
测试成绩为分的人数最多，
∴众数是，
∵七年级抽取的学生测试成绩排在第、名的成绩都是分，
∴七年级抽取的学生测试成绩的中位数为：，
∵七年级学生中测试成绩的平均数：，
∴七年级学生中测试成绩的方差：
∴，，，；
【小问3详解】
从表格中数据可知：
七年级抽取的学生测试成绩方差为，八年级抽取的学生测试成绩方差为，
且，
∴七年级的成绩更稳定．
18. （1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即所求，
（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数的表达式为：
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；
（3）先求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，
解得：，
∴反比例函数表达式为，
将代入，解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
【小问2详解】
∵，
根据函数图象可得：当时，；
【小问3详解】
∵，令，解得：，
∴，
设，
则，
∵的面积为9，
∴，
解得：或，
∴或．
20. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
（1）求，两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
（2）购买跳绳所需最少费用是元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．
（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
由题意可得，
解得：，
答：种跳绳单价为元，种跳绳的单价为元
【小问2详解】
解：设购买型跳绳根．
班级计划购买，两型跳绳共48根
购买型跳绳根．
根据题意得：
解得：．
设购买跳绳所需费用为元，
则
即
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值，最小值为（元）．
答：购买跳绳所需最少费用是元．
21. 宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表：
（1）根据测量方案和所得数据，第 小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB；
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）二 （2）33米，见解析
【解析】
【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；
（2）选择第一小组的数据测量，延长交的延长线于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
选择第三小组的数据测量，先证是等腰直角三角形，得，设米，则米，米，在中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，
所以第二小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：二；
【小问2详解】
选择第一小组的数据测量，理由如下：
延长交的延长线于，
，，，
，
，，
，，

，
解得，
答：“天下第一灯”的高度为米；
选择第三小组的数据测量，理由如下：
由题意得：，，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，米，
在中，，
，
解得：，
即教学大楼的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题仰角，相似三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．
22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）

（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】（1），米
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，当时，则
解得：，，则，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线函数解析式为；
令，则
解得：，
∴米．
【小问2详解】
解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，当时，
则
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴(米)
点的坐标为；
【小问3详解】
解：，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23. 综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图1，已知正方形为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依据：________）．
……
（1）上述证明过程中的依据是________，上述猜想中正确的有________（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由．
②点在上运动时，四边形的面积是否改变？________．（填“不变”或“改变”）
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）（或“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等）；①②③；（2）①，理由见解析；②改变；（3）2或
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判定与性质可得出结论；
（2）①证明，根据相似三角形的性质即可解答；
②由相似三角形的性质得出结论；
（3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长．
【详解】解： （1）四边形是正方形，
，，，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
上述证明过程中的依据是
，，
猜想①、猜想②正确．
，
．
．
点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
猜想③正确．
故答案为：ASA；①②③；
（2）①．
理由如下：四边形是矩形，
．
，
．
，
，即．
．
，
．
又，
．
．
．
．
②改变．
由（2），可知，且相似比为，
．
．
点在上运动时，四边形的面积改变．
（3）2或．
分两种情况讨论．①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴
．
②当四边形为矩形时，
如解图2所示，此时．
综上所述，线段的长为2或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
统计量
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8
8
八年级
8
1.56
课题
测量“天下第一灯”（AB）的高度
测量工具
测量角度的仅器，标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量方案
示意图
说明
EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上
CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上
点C、D、B在同一条直线上
测量数据
甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米
从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°
从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米