2024年高考第三次模拟考试题：数学（全国卷）（文科）（解析版）

这是一份2024年高考第三次模拟考试题：数学（全国卷）（文科）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则（ ）
A．5B．C．D．3
【答案】B
【解析】∵，则，
则，故选B.
2．已知全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得所以故选D.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，画出的是某几何体的三视图，该几何体的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体是圆柱，如下图所示：
所以侧面积为：，故选A
4．某老师很喜欢某APP中的“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
根据最小二乘法得到关于的回归直线方程为，则（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得.故选B.
5．已知为奇函数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为为定义在R上的奇函数，
所以，即，解得，
当时，，
此时，则为奇函数，
故，故选A.
6．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，常见的形状有圆形､矩形､正六边形､正八边形等.如图，正八边形是某窗户的平面图，，点P是正八边形的中心，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【解析】如图，过点P作，垂足为 ，由题意可得为线段的中点，
则，从而，
故，故选A
7．的展开式中常数项为（ ）
A．28B．56C．70D．76
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为：，
令，解得，故的展开式中常数项为．
故选A.
8．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c；且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，
因为，所以，解得，
由正弦定理得：，
所以，所以或，
因为，所以，所以.故选：D
9．函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4）B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
【解析】由题意，函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得函数有三个零点，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
10．已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于函数，，
因为在上单调，
所以，即.
又，
所以为的一条对称轴，
且即为的一个对称中心，
因为，
所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，
则，即，
所以，
所以，
又为的一个对称中心，
则，，
则，，
当时，.故选A.
11．已知点在圆上运动，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆，即，
圆心为，半径，
则的几何意义就是圆上一点与原点之间连线的斜率，
令，即为，
可知直线与圆有公共点，即相交或相切，
所以，解得，
所以的最大值为.故选D.
12．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
根据题意可知,
所以在中，，
又因为，所以，,
在中，，
在中，,
即，
化为，即，
则双曲线的渐近线为，故选A.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知抛物线过点，则其准线方程为 .
【答案】
【解析】抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的准线方程为，
14．已知，则
【答案】
【解析】，
.
15．已知，满足，则目标函数的最大值是 ．
【答案】3
【解析】画出可行域及目标函数，
变形为，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标，
故当过点时，取得最大值，
联立，解得，故，
将其代入，解得.
16．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】取的中点，连接，，因为，所以，
因为的面积为，则，解得，
则，
又因为是边长为的等边三角形，所以，所以，
又，，所以，即，
又，，平面，可得平面，
将三棱锥补成正三棱柱，
三棱锥的外接球即正三棱柱的外接球，
则外接球的球心为上、下底面的外接圆圆心的连线的中点，
连接，，设外接球的半径为，下底面外接圆的半径为，，
则，所以，所以球O的表面积为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分10分）记数列的前项和.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和，证明.
【解】（1）当时，，
则，
故，即，
当时，有，即，
故数列是公差、首项均为2的等差数列；
（2）由数列是公差、首项均为2的等差数列，故，
故，
则，
故，又在时单调递减，
故随的增大而增大，故，
即有.
18．（本小题满分12分）某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．
(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？
(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附：，其中．
【解】（1）根据频率分布直方图知，，
所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为分.
（2）由（1）及已知得列联表如下：
则的观测值为：，
所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”.
（3）由（2）知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位，女士30位，
用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位，女士5位，
记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，
从中随机抽取两位为监督员事件为：，
共计28个基本事件，
其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，
所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.
19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，E为与的交点．

(1)证明：平面ACE；
(2)设底面ABCD是边长为2的正方形，若三棱锥的体积为2，求棱的长．
【解】（1）在直四棱柱中，连接，与交于点，如图，

因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又四边形为矩形，，则为的中点，
连接，则为的中位线，即，又平面平面，
所以平面.
（2）直四棱柱的底面是正方形，连接，而为的中点，
则，解得，
所以棱的长为3.
20．（本小题满分12分）已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围．
【解】（1）解：当时，，所以，
所以，，
所以的图象在处的切线方程是，即；
（2）解：若在上单调递减，则在上恒成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，解得，即实数的取值范围是．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的的方程；
(2)设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.
【解】（1）抛物线的焦点，依题意，椭圆C的半焦距，而，解得，，
所以椭圆的的方程为.
（2）当圆的切线AB斜率存在时，设直线AB：，则有，即，
由消去y并整理得：，设，
则，，
，即有，因此以为直径的圆过原点，
当圆的切线AB斜率不存在时，直线AB：，由对称性，不妨取直线AB：，
由得点，有，以为直径的圆过原点，
所以以为直径的圆经过定点，该定点为原点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线的参数方程是（为参数），直线与圆相切，求的值．
【解】（1）圆的极坐标方程为，
所以，因为，
所以，故圆的直角坐标方程为．
（2）因为直线的参数方程是（为参数），所以直线的普通方程为．
因为直线与圆相切，所以，
解得或．
23．（本小题满分10分）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求直线与函数的图象围成的封闭图形的面积．
【解】（1）
不等式等价于或或
解得或，即不等式的解集为．
（2）由的图象可知直线与的图象围成的封闭图形是四边形，
且，，，，
则的面积．
延长交直线于点，则，
从而的面积．
故四边形的面积为．
天数
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答对题数
14
16
18
21
21
a
27
不满意
满意
总计
男
18
32
50
女
30
20
50
总计
48
52
100