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    山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题

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    这是一份山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题,共19页。试卷主要包含了已知实数满足,则的可能值为,设,当变化时的最小值为,设函数等内容,欢迎下载使用。

    吕梁市2024年高三年级第三次模拟考试
    数学
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上,写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知复数满足,则复数在复平面对应的点在( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    2.已知等边的边长为1,点分别为的中点,若,则( )
    A. B.
    C. D.
    3.设,则对任意实数是的( )
    A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    4.如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点 出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于的位置,则( )
    A. B. C. D.
    5.已知实数满足,则的可能值为( )
    A.6 B.3.5 C.2.5 D.4.5
    6.设,当变化时的最小值为( )
    A. B. C. D.
    7.在四面体中,与互相垂直,,且,则四面体体积的最大值为( )
    A.4 B.6 C.8 D.4.5
    8.设函数.若实数使得对任意恒成立,则( )
    A.-1 B.0 C.1 D.
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知等差数列的首项为,公差为,前项和为,若,则下列说法正确的是( )
    A.当最大
    B.使得成立的最小自然数
    C.
    D.中最小项为
    10.已知椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点,,以下结论正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.是公差为-1的等差数列
    11.已知正方体的棱长为是空间中的一动点,下列结论正确的是( )
    A.若点在正方形内部,异面直线与所成角为,则的范围为
    B.平面平面
    C.若,则的最小值为
    D.若,则平面截正方体所得截面面积的最大值为
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.在的展开式中,的系数为__________.(用数字作答)
    13.设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,与轴的负半轴交于点,已知,则__________.
    14.对任意闭区间I,用表示函数在I上的最大值,若正实数a满足,则a的值为________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题13分)国家高度重视食品、药品的安全工作,某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核,通过随机抽样抽取其中的50家,统计其考核成绩(单位:分),并制成如下频率分布直方图.
    (1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
    (2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会,并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言,记抽到的企业中考核成绩在的企业数为Y,求Y的分布列与数学期望;
    (3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布,其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数 , 近似为样本方差 ,经计算得,利用该正态分布,估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
    附参考数据与公式:,则,
    16.(本小题15分)已知函数
    (1)讨论函数的单调性
    (2)若对任意的,倠恒成立,则实数的取值范围.
    17.(本小㩆15分)如图,为圆锥的顶点,为圆锥底面的圆心,为底面直径,为底面四的内接正三角形,且的边长为,点在母线上,且,.
    (1)求证:,并求三棱锥的体积;
    (2)若点为线段上的动点,当直线与平面所成角的正弦值最大时,求此时点到平面的距离.
    18.(本小题17分)如图,已知分别为椭圆的左,右焦点,椭圆上的动点,若到左焦点距离的最大值为,最小值为.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)过动点作椭圆的切线,分别与直线和相交于两点,记四边形的对角线相交于点,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.
    19.(本小题17分)对于无穷数列,若对任意且,存在,使得成立,则称为“数列”.
    (1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”,并说明理由;
    (2)已知数列为等差数列,
    ①若是“数列”,且,求所有可能的取值;
    ②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“数列”.
    数学参考答案
    1.D
    【详解】因为,则
    则其对应的点为,所以在第四象限.故选:D.
    2.B
    【详解】在中,取为基底,
    则,
    因为点分别为的中点,
    所以,
    所以.
    故选:B.
    3.C
    【详解】的定义域为,
    且,
    因为为奇函数,
    当时,函数均为单调递增函数,所以在单调递增.
    进而可得在上单调递增,,
    故对任意实数是的充要条件,故选:C
    4.C
    5.B
    【详解】因为实数满足
    所以,则,即.
    令,
    则.
    所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
    令,解得:;令,解得:,
    所以函数在区间上单调递增;在区间上单调递减.作出函数的图象:又因为,所以.故选:B
    6.C
    【详解】在上,在上,设到准线做墼线交准线于点轴于.

    又为焦点到上点的最小值,故
    ,故选C.
    7.A
    【详解】由题可知,点在平面内以为焦点的椭圆上,点在平面内以为焦点的椭圆上,所以,即,由椭圆定义可知,即,所以到中点距离的最大值为,所以中,
    时的最大值为3
    8.B
    【详解】函数,
    依题意,对任意的恒成立,
    即对恒成立,
    因此对恒成
    立,
    于是,显然,否则且,矛盾,
    则,显然,否则且,矛盾,
    从而,解得,
    所以.故选:B.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.
    9.BD
    【详解】根据题意:,即,两式相加,
    解得:,当时,最大,故错误
    由,可得到,所以,
    ,所以,故C错误;
    由以上可得:,
    ,而,
    当时,;当时,;要使得成立的最大自然数,故B正确.当,或时,;当时,;
    由,
    所以中最小项为,故D正确.故选:BD.
    10.BCD
    【详解】设,
    由于椭圆与双曲线有公共焦点,所以,所以选项错误.
    根据椭圆和双曲线的定义得:
    所以,
    由余弦定理得,

    ,B选项正确.
    ,C选项正确.

    ,D选项正确.故选:BCD.
    11.BCD
    【详解】对于,选项,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
    则,


    因为
    所以,
    故,则的取值范围为,故A不正确;对于B,在正方体中,平面平面显然成立.故B正确;对于C,如图1,在上取点,使得,
    在上取点,使得,则由,即,故点是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面,此时,当三点共线时(如图2),取得最小值,故C正确;对于D,因为,所以,又,可知是线段上一点,如图3,连接并与交于点.当与重合时,平面与平面重合,此时截面面积为4.当在线段(不含点)上时,平面截正方体所得截面为三角形,且当与重合时,截面为,此时截面面积最大,由三边长均为,故此时截面面积最大值为.当在线段(不含点)上时,如图4,延长异与交于点,作平行于并与交于点,则截面为等腰梯形,设,则,梯形的高,面积为.当与重合时,截面为矩形,面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为,故D正确,故选BCD.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.15
    13.
    【详解】由,可得,所以①,且,又可设直线的方程为:,与抛物线联立得:,,
    故,从而②,
    结合①②可得从而.
    故答案为:
    14.或
    【详解】当时,,
    由可得,此时;
    当时,,或.
    若,则由可得,因,故无解;
    若,则由可得,此时,即;
    当时,,
    因区间的长度至少为,故,
    而显然不成立,故舍去;
    综上,a的值为或.
    故答案为:或.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.
    15.解:(1)这50家食品生产企业考核成绩的平均数为:
    由频率分布直方图得内,

    解得中位数(分).
    (2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有

    其中考核成绩在内的企业有家,
    由题意可知,的可能取值为,

    的分布列为:
    (3)由题意得,
    (家)
    估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.
    16.解:(1)的定义域为,
    令,
    又,
    ,当,即时,,此时在上单调递增
    ,当,即时,
    令,解得
    其中,当时,
    在单调递增,在单调递减;
    当时,,
    故在单调递减,单调递增.
    综上:
    在上单调递增;
    在上单调递增;
    在上单调递减,在上单调递增.
    (2)法一:不妨设,则,同除以得,所以令在
    ,若恒成立,符合题意.
    ,当恒成立,
    令则,
    所以在单调递增,在单调递减,
    所以,所以
    ,若,同理恒成立,由知,当
    所以不存在满足条件的.
    综上所述:
    法二:.
    令,则只需在单调递增,
    即恒成立
    ,令,则恒成立;

    ①当时,在单调递增成立;
    ②当时,在单调递增,又,故不恒成立.不满足题意;
    ③当时,由得在单调递减,在单调递增,
    因为恒成立,所以
    解得
    综上,.
    17.解:(1)设,连接,
    为底面圆的内接正三角形,
    为中点,
    又,



    平面平面平面平面,
    平面平面平面平面,
    又面,
    又面,又面,
    所以
    又平面,
    平面平面平面;
    为中点,,即,
    又平面,平面,平面,
    平面平面,


    又平面,
    .
    (2)为中点,又,
    为中点,,

    以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
    则,



    设,

    设平面的法向量,


    令,解得:,
    设直线与平面所成角为,

    令,则,

    当,
    即时,,
    ,此时,

    点到平面的距离.
    18.解:(1)由题知,设为椭圆上任意一点,
    由得
    又,得

    ,得
    所以椭圆的标准方程为.
    (2)因为点在椭圆上,
    则,即,
    又因为,
    取,
    所以,
    所以切线的斜率,
    所以切线方程为
    由,可得,
    假设,
    所以切线方程为:,
    即,
    所以切线的方程为,
    令得,令知:得,
    ,则直线,①
    ,则直线,②
    由①②知:,
    点的轨迹方程为,
    即存在定点,使得为定值6.
    19.解:(1)数列的通项公式为,
    对任意的,都有,
    取,则,所以是“数列”.
    (2)数列为等差数列,
    ①若是“数列”,且,
    则,
    对任意的,
    ,由题意存在,使得,
    即,显然,,
    所以,即,
    .所以是8的正约数,即,
    时,时,;
    时,时,.
    综上,的可能值为.
    ②若对任意,存在,使得成立,
    所以存在,
    设数列公差为,则,
    可得,
    对任意,
    则,取,
    可得,
    所以数列是“数列”.0
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