山西省吕梁市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题

这是一份山西省吕梁市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题，共15页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损，的值为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

（本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则( )
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（ ）
A．B．C．4D．2
5．的值为（ ）
A．B．C．2D．4
6．如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
8．已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．函数关于直线对称
C．D．的周期为3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
10．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．函数为奇函数D．函数在区间上单调递增
11．已知正方体的棱长为1，点满足（与三点不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，平面平面
D．当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．粗圆的蒙日圆方程为
C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4
D．记点到直线的距离为，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
某市2018年至2022年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此计算相应于样本点的残差为______．
15．设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______．
16．已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本题满分12分）
设的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）设的角平分线交于点，求的最小值．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．
（1）线段上是否存在一点使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离．
20．（本题满分12分）
吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
（1）若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
（2）若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
21．（本题满分12分）
已知直线与抛物线相切于点，动直线与抛物线交于不同两点异于点，且以为直径的圆过点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）当最小时，求直线的方程．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）若对任意恒成立，求正实数的取值集合．
吕梁市2023-2024学年第一学期期末调研测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 解：∵A＝（1，2），B＝（﹣∞，2），∴A∪B＝B，故选A．
2.B 解：z=1-i1+i=（1-i）1-i1+i1-i=-2i2=-i,|z|=-i=1,故选: B.
3.A 解：由题意，得；故离心率为.
4.D 解：由已知得
解得则AB⋅AE=2×1=2 故选：D
5.D解： 故选：D.
6. C 解：如图，作出圆台的轴截面，设截面上部延长部分三角形的高为
，由相似三角形性质，得
设水到达最大容量时水面的圆面半径为，则
如水的最大容量为
7.解：由题意，得

当时，
D解：法一：令，故A正确；
，
，故B正确；
，令
，故C正确.
令
法二：构造函数
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BCD解：对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误；
对于B选项，由，因此，故B正确；
对于C选项，故C正确.
对于D选项，
，故D正确.故选：BCD.
10.AD解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A＝2，，∴ω＝2，
对于A选项，结合五点法作图，可得，故A正确，
，将函数f（x）的图象平移后得到函数g（x）的图象，
则，
对于B选项，
显然不是其对称轴，故，故B错误，
对于C选项，函数g（x）显然不是奇函数，故C错误，
对于D 选项，∵﹣2＜0，∴g（x）递增区间即y＝sin（2x+）的递减区间，
令2，
解得，
故g（x）的递增区间是，
当k＝-1时，g（x）的递增区间是[-11π12，-5π12]，
故D正确，故选：AD．
11.ABD解：对于A选项，当时，点在平面内，易得
,,故A正确；
对于B选项，当,
,故点在直线上，直线即为直线
易得,故B正确；
对于C 选项，当 当时，
,故P为的中点
易得，
连接交于点O，则
故C错误；
对于D 选项，当，时，
则，
可知点在平面内，
因为平面∥平面，
则直线与平面所成角即为直线与平面所成的角，
因为平面，则直线与平面所成的角为，
可得，
又因为，即，则
可得
当且仅当，即时，等号成立，
可知的最小值为，则的最大值，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.故选ABD.
12.AC解：当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，故A正确；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，故B错误；
对于C选项，由题意可知，，所以MN为蒙日圆的直径，MN=4,故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义可得，
所以，，
直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 20 解： 的第项为，
令
代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为20.故为：20
14. 解：依题意，，，
代入回归直线，解得
所以回归直线为
当时，，因此残差为，
15.
解：
.
解：点
可知：
又
由知，和在上单调递增
，其值域为Rx
令
令
所以，实数的最大值为.
四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）;(2).
解：（1）由题意，得
当分
当,适合上式. 分
分
分
分
18.（1）;(2)9
解：（1）.
分
分
分
分
分

分
当且仅当，等号成立，
所以的最小值为9. 分
19. （1）存在点Q，当Q与P重合时成立；（2）31919
解：以AB,AD,AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则各点的坐标为B（1,0,0），C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)分
（1）BP=(-1,0,3)，
设Q为直线PB上一点，且BQ=λBP=(-λ,0,3λ)，∴Q1-λ,0,3λ分
∴Q1-λ,0,3λ,CQ=(-λ,-1,3λ),又CD=(-1,1,0)，
分
所以存在点Q，满足，此时BQ=1. 分
由（1）可得，
又Q1-λ,0,3λ,CQ=(-λ,-1,3λ)
则点到直线的距离d=CQ2-CQcsCQ,CD2=CQ2-CQ•分
=λ2+1+9λ2-λ-11+12=192λ2+λ+分
∵192λ2+λ+12=192λ+1192+919≥919
∴d≥319 19 分
所以异面直线PB与CD之间的距离为分
20. (1) (2)小李能进入决赛
解：(1)设A＝“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：
①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为
②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为
③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为
所以； 分
(2)由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为，每道中式热菜被评委认可的概率为，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为
，分因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则 分
∴，
∴小李能进入决赛 分
21．（1）抛物线C的方程为，点A的坐标为；（2）直线的方程为.
解：（1）联立，消得，
因为直线与抛物线相切，
所以，解得或（舍去）， 分
当时，，解得，所以， 分
所以抛物线C的方程为，点A的坐标为； 分
（2）显然直线的斜率存在，
可设为，
由，消得，
则，
， 分
，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以，
即， 分
整理可得，
所以，
化简得，
所以，
所以或，
即或， 分
当时，直线，
即，所以直线过定点（舍去），
当时，直线，满足，
即，所以直线过定点， 分
设点A到直线PQ的距离为d，则
分
当直线与垂直时，d最大
又，所以，
所以直线的方程为. 分
22.（1） (2)
解：（1）， 分
分
分
故切线方程为 分
（2）由题意，得 对任意x∈R，≥0恒成立，
令g（x）＝，则g′（x）＝ax﹣a+ex+sinx，
令h（x）＝ax﹣a+ex+sinx，则h′（x）＝a+ex+csx， 分
当a＞1时，h′（x）＞0，g′（x）单调递增，且g′（0）＝1﹣a＜0，g′（1）＝e+sin1＞0，
所以存在x0∈（0，1）使得g′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）＜g（0）＝0，不合题意； .. 分
当a＝1时，h′（x）＞0，g′（x）单调递增，且g′（0）＝0，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）≥g（0）＝0，符合题意； . . 分
当0＜a＜1时，h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，
又h′（﹣1）＝a++cs1＞0，
所以h′（x）＞h′（﹣1）＞0，g′（x）在（﹣1，0）上单调递增，
又g′（0）＝1﹣a＞0，＝＜0，
所以存在m∈（﹣1，0）使得g′（m）＝0，
当x∈（m，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意， 分
综上，正实数a的取值集合为{1}． 分年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号
0
1
2
3
4
年销量
10
15
20
30
35