高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.1 二项式定理的推导优秀同步测试题

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1．在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.
【详解】的展开式的通项公式为，.
由已知得，得.
故选：B
2．的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．B．5C．15D．35
【答案】C
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】由二项式定理：，令，得，
所以项的系数为；
故选：C.
3．设，化简（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理化简即可．
【详解】，
故选：C．
4．若的展开式中存在常数项，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项展开式找到通式，令的指数为0即为常数项.
【详解】的二项展开通式为，
令，则一定是5的倍数，
故选：C.
5．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
【答案】A
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】，
令，得，则时，取最小值.
故选：A
6．若，则展开式中的常数项为（ ）
A．1B．15C．21D．35
【答案】D
【分析】利用二项展开式的通项公式可求展开式中的常数项.
【详解】，
又展开式的通项公式为，
令，故的展开式中的系数为，
故展开式中的常数项为，
故选：D.
7．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解.
【详解】，所以，
故选：C
8．若(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于（ ）
A．9B．10
C．11D．8
【答案】C
【分析】根据二项式展开式项数与的关系可得答案.
【详解】∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.
故选：C.
9．（多选）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】AC
【分析】求出展开式的通项，再令，可得与的关系，用赋值法从而可得出结论.
【详解】展开式的通项为：，其中；
令，则，可知n为4的倍数，故B、D错误；
当 时， 最小为 4；当 时， 为8；
故选：AC.
10．（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（md m）．若，（md 10），则b的值可以是（ ）
A．2011B．2012C．2020D．2021
【答案】AD
【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为1，即可得到答案.
【详解】，
∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，
故选：AD．
11．的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】960
【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．
【详解】因为，展开式的第8项为，
所以，的展开式的第8项的系数为960.
故答案为：960
12．已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为 .
【答案】
【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，结合已知即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以项的系数为，
又，所以.
故答案为：.
13．化简：.
【答案】
【分析】逆用二项式定理进行合并即可.
【详解】原式
.
1．的展开式中的常数项为（ ）
A．588B．589C．798D．799
【答案】B
【分析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；
所以展开式中的常数项为.
故选：B.
2．在的展开式中，的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根据题意，的项为，化简后即可求解.
【详解】根据题意，的项为，
所以的系数是.
故选：D．
3．已知，则 .
【答案】648
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为：，
所以,
,
则.
故答案为：648
4．若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，结合二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】由，
其中二项式展开式的通项公式为，
当时，可得，所以.
故答案为：.
5．已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求得，再根据二项式定理即可得解；
（2）求出展开式的通项，令的指数等于，即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
所以展开式的第5项的二项式系数为；
（2）展开式的通项公式为，
其中，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
6．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求得二项式和展开式的通项，两式相加，即可求解；
（2）分别求得和展开式的通项，两式相加，即可求解.
【详解】（1）由，
，
所以.
（2）由二项式的展开式的通项为，
二项式的展开式的通项为，
所以
.
1．若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3B．2C．0D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理化简等式右侧得，从而求解即可.
【详解】由，
得，所以，所以.
故选：C.
2．用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、蓝球、黑球的表达式，相乘即可.
【详解】第一步，5个无区别的红球都取出或都不取出，则有种不同的取法；
第二步，5个无区别的蓝球可能取出0个，1个，，5个，则有种不同的取法；
第三步，5个有区别的黑球可以看作5个不同编号的黑球，则从5个不同编号的黑球中任取出0个，1个，，5个，则有:种不同的取法；
所以根据分步计数原理，所有的红球都取出或都不取出的所有取法为：
.
故选：B.
3．在的二项式展开式中的系数为160，则 ．
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式化简，求出含项的系数即可得解.
【详解】因为，
令，解得，
所以，
故，且，解得，
故答案为：
4．在的展开式中，的系数为 .
【答案】240
【分析】求出展开式中的系数，再求得展开式中的系数，相乘即得结论．
【详解】，其展开式中含的项为，展开式中含的项为，
所以的系数为．
故答案为：240.