高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项式定理的推导精练

课后素养落实(三十五)　二项式定理的推导

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是(　　)

A．28　　　B．56　　　C．112　　　D．224

C　[该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112．]

2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　)

A．45　　　B．55　　　C．70　　　D．80

C　[由二项式定理，得

(1＋)5＝1＋C·＋C·()2＋C·()3＋C·()4＋C·()5

＝1＋5＋20＋20＋20＋4

＝41＋29．

所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故选C．]

3．在的二项展开式中，x的系数为(　　)

A．10　　　 　　B．－10　　　　　C．40　　　 　　D．－40

D　[∵Tr＋1＝C(2x2)5－r＝(－1)rC25－rx10－3r，令10－3r＝1即r＝3，此时x的系数为(－1)3C22＝－40．]

4．设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的展开式中xk的系数不可能是(　　)

A．10　　　　B．40　　 C．50　　　D．80

C　[x1的系数为C·24＝80，x2的系数为C·23＝80，x3的系数为C·22＝40，x4的系数为C·21＝10，x5的系数为C·20＝1，所以系数不可能为50．]

5．(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　)

A．4项　　 　　B．3项　　　　　C．2项　　 　　D．1项

B　[设第(r＋1)项含x的正整数次幂，则Tr＋1＝C··＝C·x，其中0≤r≤12．

要使6－r为正整数，必须使r为6的倍数．

所以r＝0，6，12，即第1项、第7项，第13项为符合条件的项．]

二、填空题

6．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．

2　[∵Tr＋1＝Ca4－rxr且x3的系数等于8，∴r＝3，即Ca4－3＝8，∴a＝2．]

7．的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)

20　[设第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cx2(6－r)x－r＝Cx12－3r，

令12－3r＝3，得r＝3，

∴x3的系数为C＝20．]

8．在的展开式中，系数是有理数的项共有________项．

4　[Tr＋1＝C(x)20－r＝·()20－r·C·x20－r．

∵系数为有理数，

∴()r与2均为有理数．

∴r能被2整除，且20－r能被3整除．

∴r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，

∴r＝2，8，14，20．

∴共有4项系数为有理数．]

三、解答题

9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的展开式中x3的系数．

[解]　所求x3的系数为：C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C．

所以展开式中x3的系数是C＝5 985．

10．在的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

[解]　(1)第3项的二项式系数为C＝15，

又因为T3＝C(2)4＝24·Cx，

所以第3项的系数为24C＝240．

(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，

令3－k＝2，得k＝1．

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2．

11．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为(　　)

A．64　　　　B．32　　　 C．24　 　　D．16

B　[二项式(1＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx，令为整数，可得r＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选B．]

12．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)

A．－4　　　　B．－3　　　　 C．－2　　 　　D．－1

D　[展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D．]

13．(多选题)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是(　　)

A．2 011　　　　B．2 012　　　　C．2 020　　　　D．2 021

AD　[∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，∴被10除得的余数为1，而2 011与2 021被10除得的余数是1，故选AD．]

14．(一题两空 )在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

16　5　[由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，

当r＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T1＝C·()9·x0＝()9＝16．

当项的系数为有理数时，9－r为偶数，

可得r＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数为5．]

15．(3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)

A．600　　　　B．360　　　　C．－600　　　　D．－360

C　[由二项展开式的通项可知，展开式中含x3项的系数为3×C23(－1)3－2×C22(－1)4＝－600．故选C．]