高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项式定理的推导达标测试

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项式定理的推导达标测试，共5页。

1．若(x＋1)n的展开式共有12项，则n＝( )
A．11 B．12
C．13 D．14
2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于( )
A．－5 B．5
C．90 D．180
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))7的展开式中x项的系数是( )
A．－35 B．35
C．－21 D．21
4．若(1＋eq \r(2))4＝a＋beq \r(2)(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33 B．29
C．23 D．19
5．若(ax－1)5的展开式中的x3的系数是80，则实数a的值为( )
A．－2 B．2eq \r(3)
C.eq \r(3,4) D．2
6．(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840 B．840
C．210 D．－210
7.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8展开式中的常数项为________．
8．在(a＋x)4的展开式中，x3的系数等于8，则实数a＝________.
9．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))n的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于________．
10．已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3.
(1)求n.
(2)求展开式中所有的有理项．
[提能力]
11．[多选题]对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n的展开式(n∈N＋)，下列判断中正确的是( )
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对于任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对于任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
12．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
13．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为________．
14．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
15．设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)＋\f(1,\r(3,3))))n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1:6，求展开式中的第7项．
[培优生]
16．设整数n>4，(x＋2eq \r(y)－1)n的展开式中xn－4与xy两项的系数相等，则n的值为________．
课时作业(四十一)
1．解析：由二项式定理知，(x＋1)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，即n＝11.故选A.
答案：A
2．解析：因为(1＋x)10＝(－2＋1－x)10，所以a8＝C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) (－2)2＝45×4＝180.故选D.
答案：D
3．解析：在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(7)的展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) (－1)kx7－2k中，令7－2k＝1，得k＝3，即得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(7)的展开式中x项的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ×(－1)3＝－35.故选A.
答案：A
4．解析：∵(1＋eq \r(2))4＝1＋4eq \r(2)＋12＋8eq \r(2)＋4＝17＋12eq \r(2)，且(1＋eq \r(2))4＝a＋beq \r(2)(a，b为有理数)，∴a＝17，b＝12，∴a＋b＝29.故选B.
答案：B
5．解析：(ax－1)5的展开式中含x3的项为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (ax)3·(－1)2＝10a3x3，由已知得10a3＝80，解得a＝2.故选D.
答案：D
6．解析：在通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) (－eq \r(2)y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ×(－eq \r(2))4＝840.故选B.
答案：B
7．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))eq \s\up12(8)的第k＋1项为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) (2x)8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8x3)))eq \s\up12(k)
＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) 28－4kx8－4k，
令8－4k＝0，解得k＝2，
即T3＝T2＋1＝(－1)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) 20x0＝28.
答案：28
8．解析：∵(a＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) a4－kxk且x3的系数等于8，∴C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) a4－3＝8，∴a＝2.
答案：2
9．解析：展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xn－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)x－eq \f(k,2)＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)xn－eq \f(3k,2)，根据题意，第3项和第5项的二项式系数相等，即C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ，所以n＝6，则常数项为6－eq \f(3k,2)＝0，得到k＝4，所以常数项C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(15,16).
答案：eq \f(15,16)
10．解析：(1)依题意有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ∶C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝14∶3，化简，得(n－2)(n－3)＝56，解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，所以n的值为10.
(2)通项公式为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) (eq \r(3,x))10－k·(－1)keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(3,x))))eq \s\up12(k)＝(－1)keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·xeq \s\up6(\f(10－2k,3))，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(10－2k,3)∈Z，,0≤k≤10，,k∈Z，))
解得k＝2，5，8，所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为eq \f(45,4)x2，－eq \f(63,8)，eq \f(45,256x2).
11．解析：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(n－k)x3k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) x4k－n
可知当n＝4，k＝1时，4k－n＝0，
故A正确；当n＝3，k＝1时，4k－n＝1，故D正确．
答案：AD
12．解析：因为(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，所以C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋aC eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝5，即10＋5a＝5，解得a＝－1，故选A.
答案：A
13．解析：展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝4＋8＝12.
答案：12
14．解析：方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) x4·x＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) x5.
所以x5y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝30.
方法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．
∴x5y2可从其中5个因式中，两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝30.
答案：30
15．解析：由二项展开式的通项公式得T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) (eq \r(3,2))n－6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))eq \s\up12(6)，Tn＋1－6＝Tn－5＝C eq \\al(\s\up1(n－6),\s\d1(n)) (eq \r(3,2))6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))eq \s\up12(n－6)，
由eq \f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) （\r(3,2)）n－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(6),C eq \\al(\s\up1(n－6),\s\d1(n)) （\r(3,2)）6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(n－6))＝eq \f(1,6)，化简得6eq \f(n,3)－4＝6－1，所以eq \f(n,3)－4＝－1，所以n＝9.
所以T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) ×(eq \r(3,2))9－6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))eq \s\up12(6)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ×2×eq \f(1,9)＝eq \f(56,3).
16．解析：注意到(x＋2eq \r(y)－1)n＝eq \i\su(k＝0,n,)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xn－k(2eq \r(y)－1)k.
其中xn－4项仅出现在k＝4时的展开式C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) xn－4(2eq \r(y)－1)4中，xn－4项系数为(－1)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＝eq \f(n（n－1）（n－2）（n－3）,24).
而xy项仅出现在k＝n－1时的展开式C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) x(2eq \r(y)－1)n－1中，xy项系数为C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) 4(－1)n－3＝(－1)n－32n(n－1)·(n－2).
因此有eq \f(n（n－1）（n－2）（n－3）,24)＝(－1)n－32n(n－1)(n－2).
注意到n>4，化简得n－3＝(－1)n－348，故n只能为奇数且n－3＝48.解得n＝51.
答案：51