2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级下学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知一次函数y＝x﹣2的图象经过点（1，a），则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AB＝CDC．AB＝ADD．∠ABD＝∠BDC
3．（3分）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团B．乙团C．丙团D．丁团
4．（3分）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN＝3米，则AB＝（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
5．（3分）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）在一次体重测量后，小明测得自己的体重为50kg，他根据班长数据分析的结果，发现自己的体重低于全班半数学生的体重，则小明得出结论用到的统计量是（ ）
A．方差B．平均数C．众数D．中位数
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°
8．（3分）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
9．（3分）有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为x m，宽AB为y m，则下列函数图象能反映y与x关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，∠A＝90°，S四边形ABCD＝16，CD＝1，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．7D．8
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
12．（3分）一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间的销售情况如表：
根据表中数据，可建议鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为 cm．
13．（4分）将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为 ．
14．（4分）某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占20%，演唱技能占40%，乐器演奏占40%，该校小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为 分．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC•EF的值为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝ （用含α的式子表示）．
17．（4分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，将纸片沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D处，MD′与BC交于点N．继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线MD′上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．若MN＝3，则EC的长为 ．
18．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，﹣m+3a+2）始终处于一次函数y＝﹣x+2﹣a的图象的下方，则a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
20．（8分）某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手成绩，如表是某选手的得分情况：
其中，裁判4、裁判5给出的分数均被去除．经计算，该选手的成绩为93.75分．
请根据上述信息，解决以下问题：
（1）求b的值；
（2）请判断a是最高分还是最低分，并说明理由．
21．（12分）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的解析式；
（2）若点P（t，y1）在直线AB上，当﹣2≤t≤4时，求y1的最大值；
（3）若点N（n，y2）在直线上，当y2＜0时，请直接写出n的取值范围．
22．（10分）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
23．（12分）在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题．
小星和小红分别给出了自己的证明思路．
根据上面的信息，解决问题：
（1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断；
（2）请给出框图中解答题的证明过程．
24．（13分）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
25．（14分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为射线BC上的一个动点，延长CD到点E，使DE＝BP，连接AE，AP，以AE，AP为边作平行四边形APFE，直线PF和直线CD相交于点M．
（1）如图1，点P在边BC上，判断四边形APFE的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若点P为BC的中点，求点F到边CD的距离；
（3）若CP＝2，求CM的长．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2k的图象分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 （用含有k的式子表示）；
（2）若一次函数y＝kx﹣2k 经过点（1，﹣2），平行于x轴的两条直线l1，l2分别与一次函数y＝kx﹣2k的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n．当m﹣n＝3时，线段MN的长度是否发生变化？若不变，请求出MN的长；若变化，请说明理由．
（3）若一次函数y＝kx﹣2k的图象与函数y＝x的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）已知一次函数y＝x﹣2的图象经过点（1，a），则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2的图象经过点（1，a），
∴1﹣2＝a，
∴a＝﹣1．
故选：A．
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，能判断四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AB＝CDC．AB＝ADD．∠ABD＝∠BDC
【解答】解：A．根据AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．由AB∥CD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故该选项正确，符合题意；
C．根据AB∥CD，AB＝AD，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．根据AB∥CD，∠ABD＝∠BDC，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团B．乙团C．丙团D．丁团
【解答】解：∵S甲2＝16，S乙2＝18，S丙2＝5，S丁2＝28，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
4．（3分）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN＝3米，则AB＝（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
【解答】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB＝2MN＝6（m），
故选：B．
5．（3分）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵y＝1中k＜0，b＜0，
∴函数图象经过第二，三，四象限，
故选：A．
6．（3分）在一次体重测量后，小明测得自己的体重为50kg，他根据班长数据分析的结果，发现自己的体重低于全班半数学生的体重，则小明得出结论用到的统计量是（ ）
A．方差B．平均数C．众数D．中位数
【解答】解：全班在一次体重测量排列后，最中间一个数或最中间两个体重数的平均数是这组体重数的中位数，
半数学生的体重位于中位数或中位数以下，
小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数，
故选：D．
7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝70°．
故选C．
8．（3分）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为x m，宽AB为y m，则下列函数图象能反映y与x关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为20m，
即2y+x＝20，
所以y＝﹣x+10（0＜x＜20），
所以函数图象能反映y与x关系的是A．
故选：A．
10．（3分）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，∠A＝90°，S四边形ABCD＝16，CD＝1，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．7D．8
【解答】解：设BC＝x，AB＝AD＝y，
∵四边形ABCD是“邻等对补四边形”，∠A＝90°，
∴∠C＝∠A＝90°，
∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝16，CD＝1，
∴AB•AD+BC•CD＝16，
∴y2+x＝32，
即y2＝32﹣x①，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝2y2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2＝x2+1，
∴2y2＝x2+1②，
将①代入②，得：64﹣2x＝x2+1，
∴（x+1）2＝64，
∴x+1＝8或x+1＝﹣8，
由x+1＝8，解得：x＝7，
由x+1＝﹣8，解得：x＝﹣9（不合题意，舍去），
∴BC＝x＝7．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 ﹣2 ．（写出一个即可）
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
则k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间的销售情况如表：
根据表中数据，可建议鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为 23.5 cm．
【解答】解：观察数据可知，24出现的次数最多，故鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为23.5cm．
故答案为：23.5．
13．（4分）将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为 y＝2x+3 ．
【解答】解：根据平移的规则可知：
将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为：y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
14．（4分）某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占20%，演唱技能占40%，乐器演奏占40%，该校小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为 89 分．
【解答】解：小颖同学的音乐成绩为95×20%+90×40%+85×40%＝89（分），
故答案为：89．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC•EF的值为 30 ．
【解答】解：连接AC、EF，
∵点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC，
∴OA＝BC＝9，OC＝AB＝3，
∴B（ 9，3），AC＝＝＝3，
依题意，OE＝4×1＝4，BF＝4×1＝4，
∴AE＝9﹣4＝5，则E（4，0），
∴CF＝BC﹣BF＝9﹣4＝5，
∴F（5，3），
EF＝＝，
∴AC•EF＝3×＝30．
故答案为：30．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝ 90°﹣α （用含α的式子表示）．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
17．（4分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，将纸片沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D处，MD′与BC交于点N．继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线MD′上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．若MN＝3，则EC的长为 6 ．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD＝∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CMD＝∠MCN，
∴∠CMD′＝∠MCN，
∴MN＝CN；
由四边形ABEM折叠得到四边形A′B′EM，
∴∠AME＝∠A′ME，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠MEN，
∴∠A′ME＝∠MEN，
∴MN＝EN，
∵MN＝CN，
∴MN＝EN＝NC，
即EC＝2MN；
∵MN＝3，
∴EC＝6，
故答案为：6．
18．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，﹣m+3a+2）始终处于一次函数y＝﹣x+2﹣a的图象的下方，则a的取值范围为 a＜ ．
【解答】解：当x＝m﹣2时，y＝﹣m+2+2﹣a＝﹣m+4﹣a，
∵点P（m﹣2，﹣m+3a+2）始终处于一次函数y＝﹣x+2﹣a的图象的下方，
∴﹣m+3a+2＜﹣m+4﹣a，
∴a＜，
∴a的取值范围为a＜．
故答案为：a＜．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AM∥CN，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴BO﹣OE＝OD﹣OF，
∴BE＝DF．
20．（8分）某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手成绩，如表是某选手的得分情况：
其中，裁判4、裁判5给出的分数均被去除．经计算，该选手的成绩为93.75分．
请根据上述信息，解决以下问题：
（1）求b的值；
（2）请判断a是最高分还是最低分，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，（94+94+94+b）÷4＝93.75，
解得b＝93，
答：b的值为93；
（2）a是最低分，由题意可知a≤93，否则就不满足平均数是93.75，且去掉的是94分和a分．
21．（12分）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的解析式；
（2）若点P（t，y1）在直线AB上，当﹣2≤t≤4时，求y1的最大值；
（3）若点N（n，y2）在直线上，当y2＜0时，请直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（2，m）在直线，
∴m＝2×2﹣＝，
∴A（2，），B（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣．
（2）将直线AB解析式整理为：x＝4﹣，
∵﹣2≤t≤4即﹣2≤4﹣1≤4，
解得≥y1≥0，
∴y1的最大值是．
（3）当y2＜0时，2n﹣＜0，
n＜．
22．（10分）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 7.7 ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 12 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【解答】解：（1）a＝20﹣3﹣5﹣4﹣4＝4，
将20个数据按由大到小的顺序排列如下：
5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9，
位置在中间的两个数为7.6，7.8，它们的平均数为7.7，
∴这组数据的中位数为7.7，
∴b＝7.7．
故答案为：4；7.7；
（2）由20个数据可知：不低于7万元的个数为12，
∴若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有12名员工获得奖励，
故答案为：12；
（3）由（1）可知：20名员工的销售额的中位数为7.7万元，
∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得，
而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，
∴员工甲不能拿到奖励．
23．（12分）在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题．
小星和小红分别给出了自己的证明思路．
根据上面的信息，解决问题：
（1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断；
（2）请给出框图中解答题的证明过程．
【解答】（1）解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确，
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确；
（2）证明：小星的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
即BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
小红的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C，
∵BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEC＝90°，
∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
24．（13分）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝ 0.5 ，b＝ 30 ；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
【解答】解：（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．
当x＝20时，两球相遇，
y1＝10+x＝10+20＝30，
∴b＝30，
设2号探测气球解析式为y2＝20+ax，
∵y2＝20+ax过（20，30），
∴30＝20+20a，
解得a＝0.5，
∴y2＝20+0.5x，
故答案为：0.5，30；
（2）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x；
（3）分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（20+0.5x）﹣（x+10）＝5，
解得x＝10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（x+10）﹣（0.5x+20）＝5，
解得x＝30．
综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m．
25．（14分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为射线BC上的一个动点，延长CD到点E，使DE＝BP，连接AE，AP，以AE，AP为边作平行四边形APFE，直线PF和直线CD相交于点M．
（1）如图1，点P在边BC上，判断四边形APFE的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若点P为BC的中点，求点F到边CD的距离；
（3）若CP＝2，求CM的长．
【解答】解：（1）四边形APFE是正方形，
理由：在正方形ABCD中，
AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝90°，
∵DE＝BP，
∴△ABP≌△ADE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAP＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAP+∠PAD＝90°，
∴∠PAE＝∠DAE+∠PAD＝90°，
又∵四边形APFE是平行四边形，
∴四边形APFE是正方形；
（2）作FH⊥CD，垂足为H，
则FH为所求距离，
∵四边形APFE是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∵∠AED+∠MEF＝90°，
∠EFH+∠MEF＝90°，
∴∠AED＝∠EFH，
∵∠ADE＝∠EHF＝90°，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴ED＝FH，
由（1）得△ABP≌△ADE，
∴PB＝ED，
∴FH＝PB，
∵点P是BC中点，
∴PB＝BC＝2，
∴FH＝2，
∴点F到CD距离为2；
（3）①点P在线段BC上，
在正方形APFE中，∠APM＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝90°，∠MPC+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠MPC，
∴tan∠BAP＝tan∠MPC，
∴，
∴，
∴CM＝1，
②点P在BC延长线上，
在正方形ABCD中，
AD∥BC，∠ADM＝∠PCM＝90°，
∴∠DAM＝∠CPM，
∴tan∠DAM＝tan∠CPM，
∴，
∴，
∴DM＝2CM，
∵CD＝CM+DM＝3CM，
∴CM＝，
∴CM为1或．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2k的图象分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）点A的坐标为 （2，0） ，点B的坐标为 （0，﹣2k） （用含有k的式子表示）；
（2）若一次函数y＝kx﹣2k 经过点（1，﹣2），平行于x轴的两条直线l1，l2分别与一次函数y＝kx﹣2k的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n．当m﹣n＝3时，线段MN的长度是否发生变化？若不变，请求出MN的长；若变化，请说明理由．
（3）若一次函数y＝kx﹣2k的图象与函数y＝x的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2k的图象分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（2，0），B（0，﹣2k）；
故答案为：（2，0），（0，﹣2k）；
（2）不发生变化，理由如下：
∵一次函数y＝kx﹣2k 经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝k﹣2k，
∴k＝2，
∴y＝2x﹣4，
∵平行于x轴的两条直线l1，l2分别与一次函数y＝2x﹣4的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n，
∴M（m，2m﹣4），N（n，2n﹣4），
∴MN＝＝＝3．
（3）设直线y＝kx﹣2k与直线y＝x的交点为P，
∵y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），
∴点A（2，0），
∴OA＝2，
当S△OAP＝1时，P（1，1）或（﹣1，﹣1），
把（1，1）代入y＝kx﹣2k，求得k＝﹣1，
把（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2k，求得k＝，
∵一次函数y＝kx﹣2k的图象与函数y＝x的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1，
∴k≤﹣1或k≥且k≠1．
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
3
4
7
15
6
3
2
裁判
1
2
3
4
5
6
分数
94
94
94
94
a
b
5.9
9.9
6.0
5.2
8.2
6.2
7.6
9.4
8.2
7.8
5.1
7.5
6.1
6.3
6.7
7.9
8.2
8.5
9.2
9.8
销售额/万元
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x＜10
频数
3
5
a
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
b
在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，求证：四边形BFDE是矩形．
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
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2
裁判
1
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分数
94
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a
b
5.9
9.9
6.0
5.2
8.2
6.2
7.6
9.4
8.2
7.8
5.1
7.5
6.1
6.3
6.7
7.9
8.2
8.5
9.2
9.8
销售额/万元
5≤x＜6
6≤x＜7
7≤x＜8
8≤x＜9
9≤x＜10
频数
3
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a
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平均数
众数
中位数
7.44
8.2
b
在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，求证：四边形BFDE是矩形．
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．