专题07-函数与导数-2024年高考数学二模试题分类汇编（北京专用）

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【答案】
【分析】由题意列不等式组即可求得.
【详解】要使函数有意义，
只需解得：且，
从而的定义域为.
故答案为：
2．（2024·北京丰台·二模）已知函数，那么 ．
【答案】1
【分析】先求出，再求即可.
【详解】易知，故，
故答案为：1
3．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得,解得
故定义域为.
故答案为：
4．（2024·北京西城·二模）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可.
【详解】函数的定义域是：
，解得：.
故答案为：.
5．（2024·北京昌平·二模）已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用已知条件结合函数的定义域，函数值，零点综合得出即可.
【详解】解析式为.
函数的定义域为，所以函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
因为，，所以，
又，在区间内有零点，
所以为假命题.
故答案为：（答案不唯一）.
6．（2024·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性.
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递减，故B正确；
对于C：，则，
当时，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：在定义域上单调递增，故D错误.
故选：B
7．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.
【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的；
是偶函数，所以选项B是错误的；
既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；
满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；
故选：D.
8．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可得C错误.
【详解】A：因为，所以不是奇函数，故A错误；
B：因为的定义域为，
又，所以是奇函数，
又在恒成立，
所以在区间上单调递减，故B正确；
C：由正切函数的定义域可得函数在上不连续，
所以在区间上不单调，故C错误；
D：因为，所以不是奇函数，故D错误；
故选：B.
9．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD选项，利用判断B选项即可.
【详解】对于A，因为，所以是偶函数，当时，，是反比例函数，在上单调递减，故A错误；
对于B，因为，所以是偶函数，
当时，，
，，在上单调递增，故B正确；
对于C，因为，所以是奇函数，当时，不单调，故C错误；
对于D，因为，所以是奇函数，当时，不是单调递增函数，故D错误；
故选：B.
10．（2024·北京顺义·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
11．（2024·北京昌平·二模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据函数的单调性判断A选项；构造函数，根据函数的单调性判断B选项；构造函数，根据函数的单调性判断C选项；构造函数，根据幂函数的性质，判断D选项.
【详解】A：构造函数，因为，所以为增函数，
又因为，则有，所以A错误；
B：构造函数，因为，所以为增函数，
又因为，则有，所以B错误；
C：因为，所以，又，则，
构造函数，当时，函数不单调，
所以无法判断与的值的大小，C错误；
D：构造函数，因为，所以函数在上单调递增，
有，D正确.
故选：D.
12．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意分析可知为奇函数且在上单调递增，分析可知等价于，即可得结果.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知，
若，同理可得，所以为奇函数，
作出函数的图象，如图所示，
由图象可知在上单调递增，
若，等价于，等价于，等价于，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
13．（2024·北京海淀·二模）函数是（ ）
A．偶函数，且没有极值点B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点D．奇函数，且有一个极值点
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.
【详解】当时，，则，
当时，，则，
所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.

故选：B.
14．（2024·北京东城·二模）已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，分和，利用导数判断的单调性，进而可得函数与直线的交点，即可得结果.
【详解】不妨设，
因为，
若，则，可得，
可知在内单调递增，且，
即与有且仅有一个交点，且交点横坐标在内；
若，则，可得，
当，；当，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
即与有且仅有一个交点，且交点横坐标为0；
综上所述：，所以.
故选：B.
15．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】因为，令，作出图象，如图所示，
令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有，
当时，，由，消得到，
由，得到，即，由图可知，
故选：B.
16．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 .
【答案】 1
【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解.
【详解】由题意可知：；
因为，
当，即时，则，可得，不合题意；
当，即时，可得，
解得或，所以；
当，即或时，则，可得，符合题意；
综上所述：不等式的解集是.
故答案为：1；.
17．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，所以在上单调递增，无最小值，
根据题意，存在最小值，
所以，即.
故选：A.
18．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意知和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案.
【详解】因为函数，
其图象如下图，则
因为，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根，
即和共有3个不同的实数根，
由的图象知，只有一个解为，
所以有两个不同的解，且根中不含，
即与有两个不同的交点，
与的图象如下图所示：
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案.
19．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
【答案】
【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值.
【详解】画函数的图象如下：
①函数无零点，即 无解，
即与的图象无交点，所以，可取；
②函数有4个零点，即 有4个根，
即与的图象有4个交点，
由关于对称，所以，
关于对称，所以，
所以.
故答案为：；.
20．（2024·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论：
①当时，函数在上单调递减；
②若函数有且仅有两个零点，则；
③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；
④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】根据时，即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断，继而根据对称性联立方程得，，根据可得，代入即可求解④.
【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误；
对于②，当显然不成立，故，
当时，令，即，得，，要使有且仅有两个零点，则，故，②正确，
对于③, 当时,,此时在单调递减，在单调递增，如图：

若，由，故，所以的取值范围为；③正确
对于④,由①③可知：时，显然不成立,故，
要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上，
则只需要的图象与有两个不同的交点，如图：

故，
，
由对称可得，
化简可得，故，
，化简得
所以
由于均大于0，所以，，
因此
由于，为单调递增函数，且，
此时，因此，④正确，
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
21．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知可得出，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，
则，，，所以，④错.
故选：B.
22．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A．B．C．6minD．
【答案】B
【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案.
【详解】由题可知，函数，
令，则，
两边同时取对可得：，即，
即.
故选：B.
23．（2024·北京西城·二模）已知函数，其中．
(1)若在处取得极小值，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值；
(3)证明：有且只有一个极值点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用可导函数的极小值点是导数值为0的充分不必要条件来解题需要检验；
（2）一阶导函数不能够判断正负，需要借助二阶导函数来进一步研究一阶导函数的取值恒为正，从而来判断原函数在区间是单调递增的，即可得到最大值；
（3）一阶导函数看不出零点及取值的正负，但可以对参数分两类讨论，当时，是二次函数易得证，当，则需要二阶导函数，此时联想到不等式可证，则可判断，从而得到的单调性，然后判断函数零点的存在性，问题即可得证.
【详解】（1）由，
因为在处取得极小值,所以，
即，解得，
检验：当时，，由二次函数的性质可得：
在上单调递减，在上单调递增，满足题意，
所以．
（2）当时，，．
令，则，
因为，所以，
即在区间上单调递增，
所以，即，
所以在区间上单调递增，即的最大值为．
（3）由，
当时，，由二次函数的单调性可得：
在上单调递减，在上单调递增，
所以恰有一个极值点；
当时，设，
则．
因为，且，
所以，即在上单调递增．
因为，，
所以存在，使，
根据在上单调递增，
可知当时，，所以在上单调递减，
可知当时，，所以在上单调递增，
即恰有一个极值点．
综上所述，当时，有且只有一个极值点．
24．（2024·北京东城·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的极值点个数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）换元令，构建函数，利用导数判断在内的单调性，结合的奇偶性可知在内的单调性，进而可得的单调性和极值点.
【详解】（1）因为
则，
可得，
可知切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）令，则，令，
因为的定义域为，且，
可知为偶函数，
因为，
若，则，
取，构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
故在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
对于，结合偶函数对称性可知：
在内单调递减，在内单调递增，
又因为在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：
在内单调递减，在内单调递增，
所以在区间上的有2个极值点，极值点个数为2.
【点睛】方法点睛利用导数研究函数极值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解．
25．（2024·北京昌平·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若，当时，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可；
（2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数，讨论单调性得出结果即可，其中当时又分、、三种情况；
（3）构造函数，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到的单调性，即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，
当时，在区间上恒成立，
所以在区间上是增函数，此时；
当时，令，解得，
①当，即时，在区间上恒成立，
所以在区间上是增函数，
所以当时，；
②当，即时，与的情况如下：
所以当时，；
③当即时，在区间上恒成立，
所以在区间上是减函数，
所以当时，，
综上
（3）设，
所以，
因为，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：
（1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程；
（2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值；
（3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解.
26．（2024·北京通州·二模）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递减区间为和，单调递增区间为；
(3)．
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可；
（2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
【详解】（1）因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
27．（2024·北京海淀·二模）已知函数.
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，
（2）求导后构造函数，利用导数判断单调性，可得的最大值为，对分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，.
①.
所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为.
所以函数恰有一个零点.
（2）由得.
设，则.
所以是上的减函数.
因为，
所以存在唯一.
所以与的情况如下：
所以在区间上的最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
28．（2024·北京顺义·二模）设函数，.曲线在点处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)求证：方程仅有一个实根；
(3)对任意，有，求正数k的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；
（2）分，，，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；
（3）令，分，两种情况，利用导数讨论最值即可得解.
【详解】（1）解：因为，所以，
又点在切线上，所以，
所以，即.
（2）证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，
令，则，
讨论：（1）当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
（2）当时，，即此时有一个零点；
（3）当时，
所以，当时，，即此时无零点
综上可得，仅有一个零点，得证.
（3）当时，，即恒成立，
令，
则，
由（Ⅱ）可知，时，
所以，
讨论：（1）当时，因为，所以，
即，
所以，
即当时，，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
（2）当时，由可知，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立，
综上可知，正数k的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.
29．（2024·北京朝阳·二模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求导可得，易知当时不符合题意；当时，利用导数研究函数的单调性可得，设，利用导数研究函数的性质即可求解；
（3）易知当时不符合题意，当时，易知不符合题意；若，由（2）可知只需，解之即可.
【详解】（1）由，得，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
①当时，，不符合题意.
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为.
所以；
（3）当时，，在区间上单调递增，
所以f（x）至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为，不妨设，
若，则，不符合题意；
若，则，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
30．（2024·北京丰台·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求导，代值可得，即可求解切线，
（2）求导得，对分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.
【详解】（1）当时，，则，
所以，
故在点处的切线方程为
（2），
当时，则，令则，令则，
故在单调递增，在单调递减，
故当，取极小值也是最小值，
则，
又当且，
故要使函数有两个零点，只需要，解得；
当时，则，令则，令则，
故在单调递增，在单调递减，
故当，取极小值也是最小值，则，
又当且，
故要使函数有两个零点，只需要，解得；
综上可得或.
负
0
正
减
极小值
增函数
x
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
+
0
-
极大