专题05-计数原理+概率统计-2024年高考数学二模试题分类汇编（北京专用）

这是一份专题05-计数原理+概率统计-2024年高考数学二模试题分类汇编（北京专用），文件包含专题05计数原理概率统计原卷版docx、专题05计数原理概率统计解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.
【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：，
每相邻的3人取成一组，则有5组，
因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，
即这15人中至少有10名男生；
每相邻的5人取成一组，则有3组，
因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，
即这15人中至多有9名男生；
显然矛盾，故人数不可能大于6，
当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.
2．（2024·北京顺义·二模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．40D．80
【答案】A
【分析】利用二项式定理写出其通项，求得时，展开式中含有项，代入计算可得结果.
【详解】由二项式的通项为可得，
当，即时，展开式中含有项，
此时，
因此的系数为.
故选：A
3．（2023·北京西城·一模）在的展开式中，的系数为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用二项式定理的性质.
【详解】设的通项，则，化简得，
令，则的系数为，即A正确.
故选：A
4．（2024·北京昌平·二模）在的展开式中，常数项为（ ）
A．－15B．15C．30D．360
【答案】B
【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可求出答案.
【详解】的展开式的通项为：，
令，解得：，
所以常数项为：.
故选：B.
5．（2024·北京通州·二模）在的展开式中，常数项为（ ）
A．60B．120C．180D．240
【答案】D
【分析】写出通项，令的次数为零，求出，再计算常数项即可.
【详解】展开式的通项为，
令，
所以，
所以常数项为240.
故选：D.
6．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答)
【答案】60
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得.
【详解】二项式的展开式的通项公式，
由，得，则，
所以二项式的展开式中常数项为60.
故答案为：60
7．（2024·北京丰台·二模）若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，将展开计算，即可得到结果.
【详解】，
所以.
故答案为：
8．（2024·北京西城·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，令，即可求得正确答案.
【详解】依题意，，
令，得；
令，得，
所以.
故选：B.
9．（2024·北京朝阳·二模）在的展开式中，若二项式系数的和等于，则 ，此时的系数是 .（用数字作答）
【答案】 6 135
【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数.
【详解】由二项式系数的和等于，则，；
通项公式为，
令，所以的系数为.
故答案为：；.
10．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解.
【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为，
若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为，
故两次摸到的小球颜色不同的概率为.
故选：B.
11．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 .
【答案】7
【分析】根据题意可得，即可由不等式求解.
【详解】由题意可知的二维码共有个，
由可得，故，
由于，所以，
故答案为：7
12．（2024·北京顺义·二模）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立.
(1)求甲得分不低于2分的概率；
(2)求乙得分的分布列及期望；
(3)甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)甲获胜的可能性更大
【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得；
（2）写出Y的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望；
（3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得.
【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛得分为，
，
，
设甲得分不低于2分为事件A，
则；
（2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6，
，，
，，
所以Y的分布列为：
所以；
（3）甲获胜的概率为
，
乙获胜的概率为，
故甲获胜的可能性更大.
13．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)2018年和年
【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.
（2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列.
（3）计算产销率，可直接得到结论.
【详解】（1）记事件为“工业机器人的产销率大于”．
由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年．
所以．
（2）因为，，
所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为．
所以的所有可能的取值为．
，，．
所以的分布列为：
故的数学期望．
（3）2018年和年．
14．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可
（2）由题意知的所有可能取值为，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可
（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得
【详解】（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为.
（2）设事件输入男性照片且识别正确.
根据题中数据，可估计为.
由题意知的所有可能取值为.
.
所以的分布列为
所以.
（3）.
15．（2024·北京丰台·二模）激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.
（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.
（3）依据题意猜测结论即可.
【详解】（1）设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件，易知共有3个基本事件，则．
（2）的可能取值为.
，，
，，
所以，的分布列如下：
．
（3）结论：
证明：易知，，，
故得证.
16．（2024·北京昌平·二模）某行业举行专业能力测试，该测试由三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当项测试成绩合格，且两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当项测试成绩不合格，且两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：
用频率估计概率．
(1)试估计甲参加该专业能力项测试成绩合格的概率；
(2)设表示甲获得的认定分，求的分布列和数学期望；
(3)若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)乙获得的认定分大
【分析】（1）由频率估计概率计算可得；
（2）分别算出机变量的所有可能取值为时的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；
（3）分别算出机变量的所有可能取值为时的概率，再由期望公式求出期望与甲对比即可
【详解】（1）因为甲参加专业能力项测试成绩合格的频率为，
由频率估计概率，估计甲参加专业能力项测试成绩合格的概率为.
（2）设甲参加专业能力三项测试成绩合格分别为事件，
由频率估计概率，可得，
根据题意，随机变量的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（3）乙获得的认定分大.
理由如下：
设乙参加展业能力三项测试成绩合格分别为事件，由频率估计概率，
可得，
设表示乙获得的认定分，随机变量的所有可能取值为，
；
；
；
，
所以，
所以，所以乙获得的认定分大.
17．（2024·北京朝阳·二模）科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由表中数据找出符合的月份个数即可求解.
（2）先由表中数据找出月销量比超过8的月份个数和低于5的月份个数再结合组合分配情况即可求解.
（3）由表中数据和方差定义即可判断.
【详解】（1）设事件C为“A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”，
在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的月份为2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，
所以.
（2）设事件D为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1 个月的月销量比低于5”，
在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，月销量比低于5的只有1月和2月，
则.
（3）A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大；
相比之下B地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳；
故.
18．（2024·北京通州·二模）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了年岁到岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：岁到岁（不含岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图．
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等余种常见健康问题．
(1)根据上表，求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的频率；
(2)用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，其中不低于岁的人数记为，求的分布列及数学期望；
(3)根据图的统计结果，有人认为“该体检机构年岁到岁（不含岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于个，且小于个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
(3)不正确，理由见解析.
【分析】（1）根据表格数据直接求解即可；
（2）由题意可知，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；根据二项分布期望公式可得；
（3）根据平均数的估计方法，通过反例可说明论断错误.
【详解】（1）由表格数据知：从年该体检机构岁到岁体检人群中抽取人，
此人年龄不低于岁的频率为：.
（2）用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的概率为，则；
所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）这种说法不正确，理由如下：
假设在体检人群年龄岁到岁（不含岁）中，、、、体检人群所占频率分别为、、、，
则岁到岁（不含岁）体检人群健康问题平均值为个，与该说法结论不同，
该说法是不正确的．
19．（2024·北京东城·二模）北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：
(1)在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
(2)若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；
(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）根据极差判断最小，再分别计算出，，即可得解.
【详解】（1）在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，怀柔区，平谷区，密云区，延庆区，共个；
所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率.
（2）6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区，
10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区，
则的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以.
（3），
由数据可知城镇人口的最大值为，最小值为，极差为；
乡村人口的最大值为，最小值为，极差为，
常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为，最小值为，极差为，
所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小，
所以乡村人口的方差最小，
又城镇人口的平均数为，
常住人口的平均数为，
所以城镇人口的方差为，
常住人口的方差为，
所以.Y
0
2
4
6
P
年份
产量万台
销量万台
识别结果真实性别
男
女
无法识别
男
90
20
10
女
10
60
10
1
2
3
原始信息的单光子的偏振状态
0
1
2
3
解密信息的单光子的偏振状态
0，1，2
0，1，3
1，2，3
0，2，3
0
1
2
3
P
测试项
频数
16
15
10
0
2
5
10

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地区
（单位：万辆）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地区
（单位：万辆）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
月销量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
组别
年龄（岁）
频率
第一组
第二组
第三组
第四组
行政区
东城区
西城区
朝阳区
丰台区
石景山区
海淀区
门头沟区
房山区
城镇人口（万人）
70.4
110
343.3
199.9
56.3
305.4
36.2
102.6
乡村人口（万人）
0
0
0.9
1.3
0
7
3.4
28.5
行政区
通州区
顺义区
昌平区
大兴区
怀柔区
平谷区
密云区
延庆区
城镇人口（万人）
137.3
87.8
185.9
161.6
32.8
27.9
34.9
20.5
乡村人口（万人）
47
44.7
40.8
37.5
11.1
17.7
17.7.
13.9