江苏省东台市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省东台市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1．设集合，则下列选项正确是（ ）.
A．B．C．D．
2．已知，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2008年5月12日四川省汶川县发生里氏8.0级地震，2023年12月18日甘肃积石山县发生里氏6.2级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为（ ）.
A．10B．100C．1000D．10000
4．函数，若，则，，的大小关系是（ ）.
A．B．
C．D．
5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）.
A．B．C．D．
6．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
8．已知，且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9．幂函数，，则下列结论正确的有（ ）.
A．B．函数在定义域内单调递减
C．D．函数的值域为
10．狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．C．D．
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）.
A．的最小正周期为
B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1
D．的图象关于直线对称
12．已知函数则下列结论正确的有（ ）.
A．，
B．函数有且仅有2个零点
C．方程有唯一解
D．直线与的图象有3个交点
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．计算 .
14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 .
15．若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 .
16．已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．设集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知.
(1)化简函数；
(2)若，求.
19．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间；
(2)若在区间恒成立，求实数的取值范围.
20．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
21．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增；
(2)若方程在内有解，求实数的取值范围.
22．已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；
①；②.
(2)若函数具有性质，求的最小值；
0
0
0
第x天
1
2
5
10
Q(x)（万件）
14.01
12
10.8
10.38
1．B
【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.
【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误；
对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确；
对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误；
对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误.
故选：B
2．A
【分析】根据同角三角函数基本关系结合充分条件、必要条件定义进行判断即可.
【详解】充分性：若，又，则，故充分性成立；
必要性：若，，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．C
【分析】分别求出汶川地震所散发出来的能量和积石山县地震所散发出来的能量即可求解.
【详解】设汶川地震所散发出来的能量为，积石山县地震所散发出来的能量为，
所以，，
所以，，所以.
故选：C.
4．A
【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，
所以.
故选：A
5．A
【分析】根据题意，结合三角函数的定义求解，再利用三角函数定义求解即可.
【详解】由角终边经过点，可得，
根据三角函数的定义，可得，即，
解得或（舍去），所以或（舍去），
所以.
故选：A
6．D
【分析】根据函数奇偶性结合函数单调性求解不等式即可.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，
当时，在上单调递增，且，，
当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且，
，
所以.
故选：D.
7．A
【详解】，设 ， ，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.
8．B
【分析】由对数函数不等式解得，记，由条件得，则，构造函数，，利用函数单调性求值域即可求解.
【详解】因为，所以，又，所以，
记，则，从而，，
令，，设，
则，
因为，所以，，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
即的取值范围是.
故选：B
9．AD
【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由为幂函数可得，解得或，
又，所以.所以，故A正确；
因为函数的定义域为，关于原点对称，
由，知函数为偶函数，
由于，故在区间上单调递减，
根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误；
，故C错误；
因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】A. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；B. 分x是有理数和x是无理数讨论求解判断；C.由 求解判断；D. 分x是有理数和无理数讨论求解判断.
【详解】A. 当x是有理数，则-x是有理数，当x是无理数，则-x是无理数，所以，则是偶函数，故正确；
B. 当x是有理数，则x+2有理数，当x是无理数，则x+2是无理数，所以，故正确；
C.当 时， ， ，故错误；
D. 当x是有理数时，，当x是无理数时，，故正确，
故选：ABD
11．AC
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，根据余弦函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，可得，，故选项A正确；
由得，又，所以，
所以，所以，
因为定义域为R，且，所以为奇函数，故选项B错误；
当，可得，所以，所以，
故在区间内的最小值为1，选项C正确；
当时，可得，所以函数的对称中心为，
即函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】A项，作出函数图象即可得出结论；B项，将零点问题转化为与的交点，作出函数即可得出零点个数；C项，根据函数得出函数的表达式，作出两函数图象即可得出方程的解的个数；D项，作出直线与两函数图象即可得出交点个数.
【详解】由题意，
A项，在中，作出函数图象如下图所示，
由上图可知，，故正确；
B项，在中，当时，，
即与的交点，
作出函数图象如下，
可知函数有且仅有2个零点，B正确；
C项，在中，
作出两函数的图象如下图所示，
∴两函数有4个交点，方程有4解，
∴方程不止有唯一解，故C错误；
D项，
由图可知，直线与的图象有3个交点，D正确；
故选：ABD.
13．##
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
14．3
【分析】利用扇形弧长与扇形的中心角的关系，求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为，
如图，
则，则，即．
因为，所以，则，
所以该扇形的中心角的弧度数.
故答案为：3.
15．4048
【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解.
【详解】令得，所以，
令得，所以，
令，则，，
因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数，
所以，即，所以.
故答案为：4048
16．
【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可.
【详解】当时，的图象如图所示，
则，令，则方程为，即，，
又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点，
又函数在上单调递减，所以，
即；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，若方程在内有两个不同的解，
只需有两个不同的解，
即函数与，有两个不同的个交点，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，再利用交集运算求解即可；
（2）根据并集运算性质得，然后根据与分类讨论即可求解.
【详解】（1）由得，，
因为，所以，所以.
（2）因为，所以，
①当时，，符合题意；
②当时，，解得；
综上所述，.
18．(1)
(2)1
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数即可；
（2）分式中分子分母同除，化弦为切即可求解.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
所以.
19．(1)；，
(2)
【分析】（1）根据已知条件依次求得、、的值，从而求得的解析式.
（2）先求出在区间上的最大值，从而，从而可求解.
【详解】（1）根据五点法的表格中，，，可知，，，所以，
，，得，所以，
令，
解之得，
即的单调递减区间为，.
（2）由于，则，
所以，则，
因为在区间恒成立，所以，
所以的取值范围为.
20．(1)选择模型②，
(2)，4
【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.
【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，
又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，
观察表格中的4组数据，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即，解得，
可以检验相对合理，
从而；
（2）由（1）可得 ，
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取到最小值，
当时，，
由单调性的性质可得在上单调递减，
故在时，有最小值，最小值为万元，
又，
综上所述，当时取得最小值.
21．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用奇函数性质求解，检验即可，根据单调性的定义证明即可；
（2）根据函数性质把原问题转化为，构造函数，根据二次函数值域及指数函数单调性求解值域即可求解.
【详解】（1）因为函数是上的奇函数，则，
于是得，解得，所以，
满足，
函数在上单调递增，证明如下：，，，，
因为函数在上单调递增，又，则，于是得，
即，所以在上单调递增.
（2）由是上的奇函数，可化为，
由在上单调递增可得，即，
，则，令，
当，即时，，又，
所以当时，，所以实数的取值范围是.
22．(1)不具有性质，具有性质，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据函数新定义建立方程求解，即可判断函数是否具有性质；
（2）根据函数新定义知恒成立，令，则对恒成立，根据和分类讨论求得，然后根据余弦函数的周期性建立不等式求解即可.
【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下：
①假设具有性质，即存在正数，使得恒成立，
则对恒成立，
则此时无解，故假设不成立，所以不具有性质.
②取，则，
即存在正数使对恒成立，所以具有性质；
（2）因为函数具有性质，
所以存在正数，使都有：恒成立，
令，则对恒成立.
下证若，取，则，矛盾，
若，取，则，矛盾，所以.
即，又因为当且仅当，时，
对恒成立，因为，所以，所以的最小值为.
【点评】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新函数问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.