2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列物体的运动中，属于平移的是( )
A. 电梯上下移动B. 翻开数学课本C. 电扇扇叶转动D. 落叶随风飘零
2.正六边形的外角和是( )
A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°
3.下列运算中，正确的是( )
A. (ab2)2=a2b4B. a2+a2=2a4C. a2⋅a3=a6D. a6÷a3=a2
4.下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是( )
A. (x+1)(x−1)B. (x+1)(−x+1)
C. (−x+1)(−x−1)D. (x+1)(−x−1)
5.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB/​/DE，则∠AFD的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
6.如图，能判断AB/​/EF的条件是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠ADE=∠DEF
C. ∠ADE=∠B
D. ∠ADE=∠EFC
7.若a=(−23)−2，b=(−1π)0，c=0.8−1，则a、b、c三数的大小关系是( )
A. ab>cC. a>c>bD. c>a>b
8.若关于x的多项式(x2+ax+2)(2x−4)的结果中不含x2项，则a的值是( )
A. −2B. 0C. 12D. 2
9.如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且BC=4，连接AB、AC，点D、E分别为AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为10，则AB的最小值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
10.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______．
11.n边形的内角和为1440°，则n= ．
12.若(x−5)(x+3)=x2+mx+n，则mn= ______．
13.若x+y=3且xy=1，则代数式(x−2)(y−2)= ______．
14.如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为______cm．
15.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC=125°，AB/​/DE，∠D=70°，则∠ACD= ______．
16.如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2=226°，则∠3+∠4= ______°.
17.如图，直线AC/​/BD，∠ABD=α，点E，F分别在AC，BD上，EF与AC所夹的锐角为30°，∠ABD的平分线与∠AEF的平分线相交于点G.当线段EF向右平移时，∠EGB的度数等于______.(用α的代数式表示)
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
计算：
(1)(−1)2003−(π−3)0+(12)−2；
(2)(−2a)3⋅(a2)3÷(−a)6；
(3)(2m+3n)2−(2m−3n)2；
(4)(a+2b−3c)(a−2b+3c)．
19.(本小题6分)
先化简，再求值(2x−1)2+x(x+4)−(x+2)(x−2)，其中x=−12．
20.(本小题6分)
已知10m=20，10n=4，求：
(1)102m−n的值；
(2)34m÷9n的值．
21.(本小题8分)
如图，AE/​/BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F．
(1)求证：AB/​/CD；
(2)若∠BDC=140°，∠F=20°.求∠C的度数．
22.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)平移△ABC，使点A移到点A′的位置，点B、C的对应点分别记作点B′、C′，请在图中画出平移后得到的△A′B′C′；
(2)借助网格，在图中画出△ABC的高AD，垂足为D；
(3)能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P(不与点A重合)有______个.
23.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”.如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20都是“幸运数”．
(1)请判断：36 ______“幸运数”；(填“是”或“不是”)
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①佳佳发现：两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪发现：2024是“幸运数”．
24.(本小题8分)
数学中，常对同一个量(图形的面积，点的个数，三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
(1)在学习乘法公式时，通过对图1的面积“算两次”得到(a+b)2=a2+2ab+b2.请设计一个图形说明(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2成立；(画出示意图，并标上字母)
(2)如图2，两个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？(注：写出解答过程)
(3)根据(2)中的结论回答，当a−b=12，ab=1时，则c的值为______．
25.(本小题10分)
已知：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF=45°，CF(1)当t=15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是______，∠ANM= ______°；
(2)是否存在某个时刻t，使得EF/​/AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、电梯上下移动是平移，故本选项符合题意；
B、翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
C、电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D、落叶随风飘零为无规则运动，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
2.【答案】C
【解析】解：正六边形的外角和是360°．
故选：C．
根据任何多边形的外角和是360°即可求出答案．
本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360°，外角和与多边形的边数无关．
3.【答案】A
【解析】解：A、(ab2)2=a2b4，故此选项正确；
B、a2+a2=2a2，故此选项错误；
C、a2⋅a3=a5，故此选项错误；
D、a6÷a3=a3，故此选项错误，
故选：A．
【分析】此题主要考查了积的乘方运算，合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则，合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案．
4.【答案】D
【解析】解：A、(x+1)(x−1)能用平方差公式计算，不符合题意；
B、(x+1)(−x+1)能用平方差公式计算，不符合题意；
C、(−x+1)(−x−1)能用平方差公式计算，不符合题意；
D、(x+1)(−x−1)不能用平方差公式计算，符合题意；
故选：D．
根据平方差公式解答．
此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
5.【答案】A
【解析】解：如图：设DF与AB相交于点G，
∵AB//DE，
∴∠D=∠AGD=45°，
∵∠AGD是△AFG的一个外角，
∴∠AFD=∠AGD−∠A=45°−30°=15°，
故选：A．
设DF与AB相交于点G，先利用平行线的性质可得∠D=∠AGD=45°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB/​/EF，故A、D不符合题意；
B、∠ADE=∠DEF，能判定AB//FE，故B符合题意；
C、∠ADE=∠B，能判定DE/​/BC，故 C不符合题意．
故选：B．
由平行线的判定方法，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
7.【答案】C
【解析】解：∵a=(−23)−2=(−32)2=94，b=(−1π)0=1，c=0.8−1=10.8=54，
∴a>c>b．
故选C．
根据负整数指数幂的意义和a0(a≠0)=1得到a=(−23)−2=(−32)2=94，b=(−1π)0=1，c=0.8−1=10.8=54，易得a、b、c的大小关系．
本题考查了负整数指数幂的意义：a−P=1ap(a≠0,p为正整数).也考查了a0(a≠0)．
8.【答案】D
【解析】解：(x2+ax+2)(2x−4)
=2x3−4x2+2ax2−4ax+4x−8
=2x3+(2a−4)x2+(4−4a)x−8，
∵结果中不含x2项，
∴2a−4=0，
∴a=2，
故选：D．
根据多项式与多项式相乘的法则：去括号合并同类项，再根据结果中不含x2项，列方程求出a．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用结果中不含x2项列出方程式解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接CF，如图，
∵点D为AC的中点，
∴S△ABD=S△BCD=12S△ABC，
∵AF为△ABD的中线，
∴S△ABF=S△ADF=12S△ABD=14S△ABC，S△BCF=S△DCF=12S△BCD=14S△ABC，
∵点E为BC中点，
∴S△BEF=S△CEF=12S△BCF=18S△ABC，
∵四边形AFEC的面积为10，
∴S△ADF+S△CDF+S△CEF=10，
即14S△ABC+14S△ABC+18S△ABC=10，
解得S△ABC=16，
作AG⊥BC于点G，如图，
∵BC=4，
∴12×4⋅AG=16，
∴AG=8，
∵AB≥AG，
∴AB的最小值是8；
故选：C．
连接CF，如图，利用三角形中线的性质依次求出△ADF，△CDF，△CEF与△ABC的面积间的关系，然后根据四边形AFEC的面积为5求出△ABC的面积，进而可求出BC边上的高，即为AB的最小值．
本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，正确理解题意、熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
10.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】10
【解析】解：设此多边形的边数为n，由题意，有
(n−2)⋅180°=1440°，
解得n=10．
即此多边形的边数为10．
故答案为10．
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是一个基础题，比较简单，牢记n边形的内角和公式是解题的关键．
根据n边形的内角和是(n−2)⋅180°，即可列方程求解．
12.【答案】30
【解析】解：∵(x−5)(x+3)=x2+3x−5x−15=x2−2x−15，
∴m=−2，n=−15，
∴mn=30．
故答案为：30．
先将等式的左边展开，再根据对应系数相等得到m，n，再代入计算即可求出mn的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型．
13.【答案】−1
【解析】解：∵x+y=3，xy=1，
∴(x−2)(y−2)
=xy−2x−2y+4
=xy−2(x+y)+4
=1−2×3+4
=1−6+4
=−1，
故答案为：−1．
将(x−2)(y−2)计算后代入已知数据计算即可．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】28
【解析】解：根据题意，将周长为20cm的△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，
∴AD=CF=4cm，BF=BC+CF，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=20cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=4+AB+BC+4+AC=28cm．
故答案为28cm．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=4+AB+BC+4+AC即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
15.【答案】15°
【解析】解：过点C作CF/​/AB，
∵AB//DE，
∴CF/​/DE，
∴∠ACF=∠BAC，∠D+∠DCF=180°，
又∠BAC=125°，∠D=70°，
∴∠ACF=125°，∠DCF=110°，
∴∠ACD=∠ACF−∠DCF=15°．
故答案为：15°．
过点C作CF/​/AB，先证明CF/​/DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF=125°，∠DCF=110°，最后利用角的和差关系求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：如图，∵∠1+∠2=226°，∠1=∠A′+∠A′NM，∠2=A′+∠A′MN，
∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN=226°，
∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN=180°，
∴∠A′=226°−180°=46°，
∴∠A=∠A′=46°，
∴∠AED+∠ADE=180°−46°=134°，
∴∠AEF+∠ADG=2(∠AED+∠ADE)=2×134°=268°，
∴∠3+∠4=360°−268°=92°．
故答案为：92．
先根据三角形外角的性质及∠1+∠2=226°求出∠A′的度数，进而可得出∠A的度数，由三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE的度数，由折叠的性质得出∠AEF+∠ADG的度数，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
17.【答案】15°+12α
【解析】解：过G作GM//AC，
，
∴∠EGM=∠AEG，
∵AC/​/BD，
∴GM/​/BD，
∴∠MGB=∠GBF，
∵EG、BG平分∠AEF、∠ABF，
∴∠AEG=12∠AEF=15°，∠GBF=12∠ABF=12α，
∴∠EGB=∠EGM+∠BGM=∠AEG+∠GBF=15°+12α，
故答案为：15°+12α.
过G作GM//AC，所以∠EGM=∠AEG，因为AC/​/BD，所以GM//BD，可得∠MGB=∠GBF，因为EG、BG平分∠AEF、∠ABF，所以∠AEG=12∠AEF=15°，∠GBF=12∠ABF=12α，因为∠EGB=∠EGM+∠BGM=∠AEG+∠GBF，可得∠EGB的度数．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(−1)2003−(π−3)0+(12)−2
=(−1)−1+4
=2；
(2)(−2a)3⋅(a2)3÷(−a)6
=(−8a3)⋅a6÷a6
=−8a9÷a6
=−8a3；
(3)(2m+3n)2−(2m−3n)2
=4m2+12mn+9n2−4m2+12mn−9n2
=24mn；
(4)(a+2b−3c)(a−2b+3c)
=[a+(2b−3c)][a−(2b−3c)]
=a2−(2b−3c)2
=a2−4b2+12bc−9c2．
【解析】(1)先算乘方，再算加减法即可；
(2)先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式的乘除法即可；
(3)根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(4)先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(2x−1)2+x(x+4)−(x+2)(x−2)
=4x2−4x+1+x2+4x−x2+4
=4x2+5，
当x=−12时，原式=4×(−12)2+5=6．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵10m=20，10n=4，
∴102m−n
=102m÷10n
=400÷4
=100；
(2)∵10m=20，10n=4，
∴102m=400，
∴102m−n=100，
∴2m−n=2，
∴34m÷9n
=92m÷9n
=92m−n
=92
=81．
【解析】(1)根据同底数幂的除法法则的逆运算写出102m÷10n，再根据幂的乘方的逆运算求出结果；
(2)先把34m÷9n化为34m÷32n，然后根据同底数幂的除法法则计算．
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵AE/​/BD，
∴∠A+∠ABD=180°，
∵∠A=∠BDC，
∴∠BDC+∠ABD=180°，
∴AB/​/CD；
(2)解：过点E作EH/​/AB，

由(1)知AB/​/CD，
∴EH/​/CD，
∴∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°，
∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH=360°，
即∠A+∠AEC+∠C=360°，
∵∠AEC的平分线交CD的延长线于点F，
∴∠CEF=12∠AEC，
在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C=180°，
∵∠F=20°，
∴12∠AEC+∠C=160°①，
∵∠A=∠BDC，∠BDC=140°，
∴∠A=140°，
∵∠A+∠AEC+∠C=360°，
∴∠AEC+∠C=220°②，
②−①得，∠AEC=120°，
∴∠C=100°．
【解析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABD=180°，结合已知∠A=∠BDC，得到∠BDC+∠ABD=180°，于是问题得证；
(2)过点E作EH/​/AB，于是有EH/​/CD，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°，从而得出∠A+∠AEC+∠C=360°，在△CEF中根据三角形内角和定理求出12∠AEC+∠C=160°，进而得出∠AEC+∠C=220°，从而求出∠C的度数．
本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)如图，线段AD即为所求；
(3)如图点P即为所求．
∴能使△PBC与△ABC面积相等的所有格点P(不与点A重合)有4个，
故答案为：4．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)根据三角形的高的定义，取格点F，连接AF交CB的延长线于点D，线段AD即为所求；
(3)利用等高模型作出点P即可．
本题考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
23.【答案】是
【解析】解：(1)∵36=102−82，
∴36是“幸运数”，
故答案为：是；
(2)①佳佳的发现结论正确，理由如下：
∵两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造了“幸运数”，
∴(2k+2)2−(2k)2
=4k2+8k+4−4k2
=8k+4
=4(2k+1)，
∴两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪的发现结论错误，理由如下：
由①得：4(2k+1)=2024，
解得：k=252.5，
∵k不是整数，
∴琪琪的发现不成立，2024不是“幸运数”．
(1)根据36=102−82，可知36是“幸运数”；
(2)①根据“幸运数”的定义，列出式子，即(2k+2)2−(2k)2=4(2k+1)，即可得出结果；
②根据①得：4(2k+1)=2024，解得：k=252.5，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】32
【解析】解：(1)如图1，整体上看是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为(a+2b)(a+b)，构成整体的6个部分的面积和为a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+3ab+2b2，因此有(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2；
(2)a2+b2=c2，理由如下：
从“整体”上看是上底为a，下底为b，高为(a+b)的直角梯形，因此面积为12(a+b)(a+b)，
从“部分”上看，3个三角形的面积和为12ab+12ab+12c2，
因此12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，
所以a2+b2=c2；
(3)∵a−b=12，ab=1，
∴c2=a2+b2
=(a−b)2+2ab
=14+2
=94，
∵c>0，
∴c=32，
故答案为：32．
(1)利用“算两次”的方法分别计算图形的面积即可；
(2)由面积“算两次”的方法，用代数式表示梯形的面积即可；
(3)由c2=a2+b2=(a−b)2+2ab代入解答即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
25.【答案】EF⊥AD 60
【解析】解：(1)当t=15时，则∠FCD=75°，
由题意可知，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∠ADC=2∠B=60°，∠NFC=180°−∠EFC=180°−45°=135°，
在四边形MFCD中，∠AMN=360°−∠ADC−∠NFC−∠FCD=90°，
∴EF⊥AD．
∴∠ANM=90°−30°=60°，
故答案为：EF⊥AD，60；
(2)存在，如图，当旋转角<180°时，
延长DC交EF于点H，
∵EF/​/AD，
∴∠ADH+∠FHC=180°，
∴∠FHC=120°，
∴∠FCH=180°−∠CHF−∠CFE=15°，
∴∠FCD=165°，
∴t=165°15∘=11，
当旋转角>180°时，
同理可求：t=165°+180°15=23，
综上所述：t的值为23或11；
(3)由(1)可知，∠AMN=360°−∠ADC−∠NFC−∠FCD=360°−60°−(90°+45°)−∠FCD=165°−∠FCD，
∴∠FCD=165°−∠AMN，
∠FCD即CE旋转的度数，
在△AMN中，∠NAM=30°，大小固定，
①如图1，当∠NAM=∠ANM=30°时，∠AMN=120°，∠FCD=165°−120°=45°，即此时CE旋转了45°；
②如图2，当∠ANM=∠AMN=75°时，∠FCD=165°−75°=90°，即此时CE旋转了90°；
③如图3，∠NAM=∠AMN=30°，此时E与M重合，∠ACE=∠CEF=45°，即此时CE旋转了315°；
④如图4，∠AMN=∠ANM=75°，此时点E在BC上，即此时CE旋转了270°；
综上，当CE旋转了45°或90°或270°或315°时，△AMN中有两个角相等．
(1)先根据四边形的内角和为360°可得∠AMN=90°，EF⊥AD，再由角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可得结论；
(2)分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求t的值；
(3)分四种情况分别画图，由四边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．