2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5.  一次函数和的图象如图所示，则的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 若，则
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于

7.  某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多元，分别用万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多件，现设乙的进价为元，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

10.  如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点给出下列结论：
≌；
≌；
；
正方形面积是四边形的面积为的倍．
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  已知方程的一个根是，则的值是______ ．

13.  若关于的分式方程有增根，则的值为______．

14.  如图，在周长为的平行四边形中，、交于点，交于点，则的周长为______．

15.  如图，在菱形中，，、分别是边，上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接若的最小值为，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：
；
．

17.  本小题分
解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来；

先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
将向右平移个单位长度得到请画出；
画出关于点的中心对称图形；
若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______ ．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
若，，求的长．

20.  本小题分
某服装店老板用元购进了一批甲款恤，用元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵元．
购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？
老板把这两种恤的标价都定为每件元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共件时，利润不低于元那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？

21.  本小题分
【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
【问题解决】：
如图，在旋转的过程中，点落在了上则 ______ ；
若，如图，得到此时与重合，延长交于点，
试判断四边形的形状，并说明理由；
连接，求的长；
在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．

 

22.  本小题分
问题提出：如图，在中，、分别是和的中点，连接，则与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
问题探究：如图，在四边形中，，，，为中点，连接，求的最大值；
问题解决：如图，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，，，由于受地理位置的影响，根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为的中点，出口定为点，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊最长，试求绿色长廊最长为多少米？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．

2.【答案】 

【解析】解：，原题干因式分解错误，故A不符合题意；
B.，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故B不符合题意；
C.，从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D.不属于多项式，故D不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

3.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即．
故选：．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
原方程有两个相等的实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值，再根据的值就可以判断根的情况．
本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集为．
故选：．
利用函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

6.【答案】 

【解析】解：若，则，故A是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为，则这个正多边形有条边，它的一个外角等于，故D是真命题，符合题意；
故选：．
根据不等式性质，等腰三角形性质，平行四边形判定，多边形内角和与外角和逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．

7.【答案】 

【解析】解：设乙的进价为元，则甲的进价是元，
根据题意得，．
故选：．
由题意得甲的进价是元，根据用万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多件列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：对角线，交于点，则为直角三角形
则，
，
菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，
即，
，
故选：．
对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题．
本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，
原分式方程的解为非负数，
，，
即，，
解得且，
故选：．
先求出分式方程的解，然后根据其解为非负数得到，，即，，从而求出的取值范围．
本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不为这一条件是关键．

10.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
≌，故正确；
在正方形中，即，所以不全等于；故错误；
≌，
，，
四边形为正方形，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
正方形面积是四边形的面积为的倍，故正确．
综上所述，结论正确的是．
故选：．
利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明≌．

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提公因式，再运用平方差公式因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.【答案】 

【解析】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】 

【解析】解：原分式方程变形为，
分式方程有增根，
，为增根，
将代入上式，
，
．
故答案为．
增根是指在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为，那么这个根叫做原分式方程的增根．本题中，方程为分式方程，分母为，如果方程有增根，则分母为，所以得出即，根据，解出的值就是答案．
本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：
平行四边形的周长为，
，为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
即的周长为，
故答案为：．
由平行四边形的性质结合条件可求得为线段的垂直平分线，可求得，则可求得的面积．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：连接，

，分别为，的中点，
，且，
要使最小，只要最小，
当时，最小，
的最小值为，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．

16.【答案】解：，
，
，
，
或，
，．
，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
即，． 

【解析】用因式分解法求解即可；
用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．

17.【答案】解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：






，
当时，原式． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上，根据数轴求得不等式的解集即可求解．
先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；

旋转中心的坐标为，
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．

19.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，对角线，交于点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，为中点，
． 

【解析】根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】解：设购进甲款恤的单价是元，则购进乙款恤的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购进甲款恤的单价是元，乙款恤的单价是元；
设这段时间按标价销售了件乙款恤，则销售了件甲款恤，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售件． 

【解析】设购进甲款恤的单价是元，则购进乙款恤的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进乙款恤的数量是用元购进甲款恤数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购进甲款恤的单价，再将其代入中，即可求出购进乙款恤的单价；
设这段时间按标价销售了件乙款恤，则销售了件甲款恤，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】 

【解析】解：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
故答案为：；
四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
过点作于点，如图所示：

则，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、，
当时，与重合，最短；
当落在的延长线上时，，最长，
线段长度的取值范围是．
由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；
过点作于点，证≌，得，，则，再由勾股定理求解即可；
当时，与重合，最短；当落在的延长线上时，，最长，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明≌是解题的关键，属于中考常考题型．

22.【答案】   

【解析】解：由题可知，、分别是和的中点，
为的中位线，
且；
故答案为：，；
如图，取的中点，连接、，

、分别是和的中点，
为的中位线，
且，
在中，，，
；
在中，，
当、、三点共线的时候最大，
即此时，
答：的最大值为；
过作于点，在上截取使，连接，取中点，连接，如图，

，，
，
四边形为矩形，
．
矩形为正方形，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
在中，点为中点，
，
在中，点、分别为、中点，
为的中位线，
且，
在中，，
当、三点共线的时最大，
即此时，
答：绿色长廊最长为米．
 根据中位线定理即可得出答案；
取的中点，连接、，由图在中，，可得当、、三点共线的时候最大，此时，根据中位线可得出的长度，在中根据勾股定理可得的长度，即可得出的最大值；
过作于点，在上截取使，连接，取中点，连接、，可证得为正方形，再证明≌，易证为等腰直角三角形，从而得出的长度，根据中位线定理可得出的长度；利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，再根据可得，当、、三点共线时最大，即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查中位线定理的综合应用，结合三角形的全等以及三角形三边长关系，在做此类题目时注意类比每一问之间的关系，一般下一问都会用到上一问的结论和做题思路．