2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知−4，a1，a2，−1四个实数成等差数列，4，b1，1三个正实数成等比数列，则a2−a1b1=( )
A. 12B. −12C. ±12D. ±2
2.“G= ab”是“G是a、b的等比中项”的条件( )
A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要
3.函数f(x)=−xex(aA. f(a)=f(b)B. f(a)C. f(a)>f(b)D. f(a)，f(b)大小关系不能确定
4.函数f(x)的导函数为f′(x)的图象如图所示，关于函数f(x)，下列说法不正确的是( )
A. 函数(−1,1)，(3,+∞)上单调递增
B. 函数在(−∞,−1)，(1,3)上单调递减
C. 函数存在两个极值点
D. 函数有最小值，但是无最大值
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.−2与−8的等差中项是______．
6.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有______种.
7.已知数列{an}(n≥1,n∈N)的通项公式是an= 3n+1，则2 7是该数列中的第______项.
8.已知{an}为等比数列，且8a2+a5=0，则{an}的公比为______．
9.设函数f(x)=csx，则f′(−π4)= ______．
10.等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为______．
11.若{a,b,c}⊂{−3,−2,−1,0,1,2,3,4}，则符合条件的二次函数y=ax2+bx+c的解析式有______个.
12.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．
13.已知双曲线x2a2−y22=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4 3x的焦点重合，则该双曲线的方程为______．
14.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n为正整数)，则数列{an}的通项公式为______．
15.将数列{(12)n−1}(n≥1,n∈N)分组为：(1)，(12,14)，(18,116,132)，(164,1128,1256,1512)，……，则第k(k≥1,k∈N)组中的第一个数是______．
16.已知函数f(x)=xex+e−e2,x≤0− 1+x2,x>0，点M、N是函数y=f(x)图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题18分)
已知等差数列的前三项依次为a，4，3a前n项和为Sn，且Sk=110．
(1)求a及k的值．
(2)已知数列{bn}满足bn=Snn，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn．
18.(本小题20分)
已知双曲线C1：x2−y24=1．
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当OA⋅OB=3时，求实数m的值．
19.(本小题20分)
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y=1128000x3−380x+8(0(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
20.(本小题20分)
设函数f(x)=−x(x−a)2(x∈R)，其中a∈R．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；
(Ⅲ)当a>3时，证明存在k∈[−1,0]，使得不等式f(k−csx)≥f(k2−cs2x)对任意的x∈R恒成立．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−4，a1，a2，−1成等差数列，
∴−1=−4+3d，得d=1，即a2−a1=1；
又∵4，b1，1三个正实数成等比数列，
∴b12=4×1=4，即b1=2．
∴a2−a1b1=12．
故选：A．
由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2−a1与b1的值，则答案可求．
本题考查等差数列与等比数列的性质，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：①当a=b=G=0时，满足G= ab，但a，G，b不成等比数列，∴充分性不成立，
②当G是a、b的等比中项时，则G=± ab，∴必要性不成立，
∴G= ab是G是a、b的等比中项的既不充分也不必要条件，
故选：A．
利用举实例判断充分性，再利用等比中项的定义判断必要性即可．
本题考查了等比数列的判断，充要条件的判定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵f′(x)=−ex−xex(ex)2=−x−1ex，
f′(x)=−ex−xex(ex)2=x−1ex
∴当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在区间(−∞,1)上单调递减，
又∵a∴f(a)>f(b)
故选：C．
先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．
本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
4.【答案】C
【解析】解：根据f′(x)的图象可知，
函数在(−1,1)和(3,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，A选项正确．
函数在(−∞,−1)和(1,3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，B选项正确．
所以f(x)的极小值点为−1，3，极大值点为1，C选项错误．
由上述分析可知，函数的最小值是f(−1)和f(3)两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确．
故选：C．
根据f′(x)的图象判断出f(x)的单调性、极值点、最值对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性、极值点或最值，属于中档题．
5.【答案】−5
【解析】解：根据题意，由于(−2)+(−8)=2×(−5)，
即−2与−8的等差中项是−5．
故答案为：−5．
根据题意，由等差中项的性质计算可得答案．
本题考查等差中项的计算，注意等差中项的定义，属于基础题．
6.【答案】11
【解析】解：根据分类加法计数原理得不同的选法共有4+5+2=11种．
故答案为：11．
直接根据分类加法计数原理得答案．
本题主要考查分类加法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】9
【解析】解：数列{an}(n≥1,n∈N)的通项公式是an= 3n+1，
令 3n+1=2 7，
解得n=9，
所以2 7是该数列中的第9项．
故答案为：9．
令 3n+1=2 7求出n的值即可．
本题主要考查了数列的概念，属于基础题．
8.【答案】−2
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2+a5=0，
∴a5a2=−8=q3，
解得q=−2；
故答案为：−2．
设等比数列{an}的公比为q，化简得a5a2=−8=q3，从而求公比q．
本题考查了等比数列的性质应用，属于基础题．
9.【答案】 22
【解析】解：∵f′(x)=−sinx，
∴f′(−π4)=−sin(−π4)= 22．
故答案为： 22．
可以求出导函数f′(x)=−sinx，然后将x换上−π4即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】−2或1．
【解析】【分析】
本题考查等比数列的公比的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，是基础题．
当公比q=1时，等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍；当公比q≠1时，a1(1−q3)1−q=3a1.由此能求出该等比数列的公比．
【解答】
解：∵等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，
∴当公比q=1时，等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，成立；
当公比q≠1时，a1(1−q3)1−q=3a1，解得q=−2．
∴该等比数列的公比为−2或1．
故答案为：−2或1．
11.【答案】294
【解析】解：y=ax2+bx+c是二次函数，故a≠0，
由集合元素的互异性知a，b，c互不相同，故符合条件的函数解析式有7×7×6=294个．
故答案为：294．
由分步乘法计数原理求解．
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
求出y=eax的导数，从而求出切线方程，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
【解答】
解：∵y=eax∴y′=aeax
∴曲线y=eax在点(0,1)处的切线方程是y−1=a(x−0)，即ax−y+1=0
∵直线ax−y+1=0与直线x+2y+1=0垂直
∴−12a=−1，即a=2．
故答案为：2
13.【答案】x2−y22=1
【解析】解：∵抛物线y2=4 3x的焦点为：( 3,0)
∴所求的双曲线的右焦点为( 3,0)，故c= 3
根据双曲线的定义可知，a2=c2−b2=1
则双曲线的方程为：x2−y22=1
故答案为：x2−y22=1．
由抛物线y2=4 3x的焦点为：( 3,0)可得所求的双曲线c= 3，根据a2=c2−b2可求a的值，从而可得双曲线的方程为．
本题以抛物线的焦点的求解为切入点，主要考查了双曲线的方程的求解，比较基础．
14.【答案】an=1,n=12⋅3n−2,n≥2
【解析】解：∵a1=1，an+1=2Sn，①；
∴an=2Sn−1，(n≥2)②；
①−②可得：3an=an+1，(n≥2)；
当n=1时，a2=2S1=2，即n=1时不满足3an=an+1；
∴数列{an}从第二项开始起以2为首项，3为公比的等比数列；
∴an=1,n=12⋅3n−2,n≥2．
故答案为：an=1,n=12⋅3n−2,n≥2．
利用通项和前n项和之间的关系求解即可．
本题考查了数列的递推公式，考查学生对知识的运用能力，属于中档题．
15.【答案】(12)k(k−1)2
【解析】解：根据分组规律可知，前k−1组共有1+2+3+…+(k−1)=(k−1)(1+k−1)2=k(k−1)2，
∴第k组中的第一个数为数列中的第k(k−1)2+1项，
∴第k组中的第一个数为(12)k(k−1)2+1−1=(12)k(k−1)2．
故答案为：(12)k(k−1)2．
根据分组的规律，计算出前k−1组中共含有项的个数即可求出第k组中的第一个数．
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
16.【答案】(0,2+ee)
【解析】解：当x≤0时，f(x)=xex+e−e2，f′(x)=ex+e−xex+ee2x+2e=ex+e(1−x)e2x+2e=1−xex+e>0，
∴f(x)=xex+e−e2在(−∞,0]上单调递增，
当x>0时，f(x)=y=− 1+x2，即y2−x2=1(x>0,y<−1)，
作出函数f(x)=xex+e−e2,x≤0− 1+x2,x>0的图象如图，
设过原点且与函数f(x)(x≤0)的图象相切的直线的方程为y=kx，设切点为(x0,x0ex0+e−e2)，
所以切线方程为y=1−x0ex0+e(x−x0)+x0ex0+e−e2，
将原点坐标代入切线方程可得，x02−x0ex0+e+x0ex0+e−e2=0，即x02ex0+e−e2=0，
∴x02ex0+e=e2，
构造函数g(x)=x2e−x−e，其中x≤0，则g′(x)=(2x−x2)e−x−e≤0，
∴函数g(x)=x2e−x−e在(−∞,0]上单调递减，且g(−e)=e2，
得x0=−e，则k=1+ee0=1+e，
而函数f(x)=− 1+x2(x>0)的渐近线方程为y=−x，
设直线y=(1+e)x到直线y=−x的角为θ，则tanθ=−1−(1+e)1−1−e=2+ee，
结合图形可知，tan∠MON∈(0,2+ee).
故答案为：(0,2+ee).
作出函数f(x)的图形，求出过点过原点且与函数f(x)=xex+e−e2(x≤0)的图象相切的直线的方程，以及函数f(x)=− 1+x2，x>0的渐近线方程，利用到角公式可得tan∠MON的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设该等差数列为{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，
由已知有a+3a=8，得a1=a=2，公差d=4−2=2，
所以Sk=ka1+k(k−1)2⋅d=2k+k(k−1)2×2=k2+k，
由Sk=110，得k2+k−110=0，
解得k=10或k=−11(舍去)，
故a=2，k=10；
(2)证明：由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1)，
则bn=Snn=n+1，故bn+1−bn=(n+2)−(n+1)=1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2．
【解析】(1)设该等差数列为{an}，由等差中项可得a的方程，解得a，可得首项、公差，再由求和公式可得k；
(2)运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论．
本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵双曲线C1：x2−y24=1，
∴焦点坐标为( 5,0)，(− 5,0)
设双曲线C2的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)
∴a2+b2=516a2−3b2=1，解得a=2b=1
∴双曲线C2的标准方程为x24−y2=1
(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=−2x
由y=2xy=x+m，可得x=m，y=2m，∴A(m,2m)
由y=−2xy=x+m，可得x=−13m，y=23m，∴B(−13m,23m)
∴OA⋅OB=−13m2+43m2=m2
∵OA⋅OB=3
∴m2=3
∴m=± 3
【解析】(1)先确定双曲线C1：x2−y24=1的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)，建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；
(2)直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键．
19.【答案】解：(Ⅰ)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，
耗油(1128000×403−380×40+8)×2.5=17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(Ⅱ)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，
设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=(1128000x3−380x+8)⋅100x=11280x2+800x−154(0h′(x)=x640−800x2=x3−803640x2(0令h′(x)=0，得x=80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25升，
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
【解析】本小题主要考查函数模型的应用，以及利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，属于较难题．
(Ⅰ)把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．
(Ⅱ)求出耗油量为h(x)与速度为x的关系式，再利用导函数求出h(x)的极小值判断出就是最小值即可．
20.【答案】解：(Ⅰ)解：当a=1时，f(x)=−x(x−1)2=−x3+2x2−x，得f(2)=−2，且f′(x)=−3x2+4x−1，f′(2)=−5．
所以，曲线y=−x(x−1)2在点(2,−2)处的切线方程是y+2=−5(x−2)，整理得5x+y−8=0．
(Ⅱ)解：f(x)=−x(x−a)2=−x3+2ax2−a2xf′(x)=−3x2+4ax−a2=−(3x−a)(x−a)．
令f′(x)=0，解得x=a3或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
(1)若a>0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：
因此，函数f(x)在x=a3处取得极小值f(a3)，且f(a3)=−427a3；
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)，且f(a)=0．
(2)若a<0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：
因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)，且f(a)=0；
函数f(x)在x=a3处取得极大值f(a3)，且f(a3)=−427a3．
(Ⅲ)证明：由a>3，得a3>1，当k∈[−1,0]时，k−csx≤1，k2−cs2x≤1．
由(Ⅱ)知，f(x)在(−∞,1]上是减函数，要使f(k−csx)≥f(k2−cs2x)，x∈R
只要k−csx≤k2−cs2x(x∈R)
即cs2x−csx≤k2−k(x∈R)①
设g(x)=cs2x−csx=(csx−12)2−14，则函数g(x)在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k2−k≥2，即k≥2或k≤−1．
所以，在区间[−1,0]上存在k=−1，使得f(k−csx)≥f(k2−cs2x)对任意的x∈R恒成立．
【解析】(Ⅰ)求出f(2)和f′(2)，利用点斜式写切线方程．
(Ⅱ)求导，令f′(x)=0，再考虑f(x)的单调性，求极值即可．
(Ⅲ)有(Ⅱ)可知当a>3时f(x)为单调函数，利用单调性直接转化为k−csx≤k2−cs2x恒成立，分离参数求解即可．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．x
(−∞,a3)
a3
(a3,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
x
(−∞,a)
a
(a,a3)
a3
(a3,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−