2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知抛物线x2=8y上一点P的横坐标为4，则点P到焦点的距离为( )
A. 4B. 2C. 6D. 8
2.已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或3
3.已知点M为正方体ABCD−A1B1C1D1内部(不包含表面)的一点.给出下列两个命题：
q1：过点M有且只有一个平面与AA1和B1C1都平行；
q2：过点M至少可以作两条直线与AA1和B1C1所在的直线都相交．
则以下说法正确的是( )
A. 命题q1是真命题，命题q2是假命题B. 命题q1是假命题，命题q2是真命题
C. 命题q1，q2都是真命题D. 命题q1，q2都是假命题
4.已知直线l1：x+my−3m−1=0与l2：mx−y−3m+1=0相交于点M，线段AB是圆C：(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦，且|AB|=2 3，则MA⋅MB的最小值为( )
A. 6−4 2B. 3− 2C. 5+ 3D. 5−1
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为______．
6.两条直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，则实数a= ______．
7.已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1离心率为 22，则实数m等于______．
8.设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x0)=a，则limh→0f(x0+2h)−f(x0)h= ______．
9.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 3，AA1=1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为______．
10.双曲线x2−y24=1的两条渐近线夹角的余弦值为______．
11.已知函数f(x)=2f′(3)⋅x−29x2+lnx，则f(1)= ______．
12.若对任意实数k，直线kx+y−k+1=0与圆x2+y2+mx+2y+m+4=0至少有一个交点，则实数m的取值范围是______．
13.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为______．
14.如图ABCDEF−A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______．
15.若函数f(x)=sinx+acsx在(2π3,7π6)上是严格单调函数，则实数a的取值范围为______．
16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若∠F1MF2=2π3，OM= 213b，则双曲线的离心率为______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间(单位：秒)的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒．
(1)求车轮转动前2秒的平均角速度；
(2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度．
18.(本小题9分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=π2，AA1=AB=AC=1，CC1的中点为H．
(1)求直线BB1与平面A1BC所成角；
(2)求点H到平面A1BC的距离．
19.(本小题9分)
已知双曲线C1过点(−4,3 2)且与双曲线C2：x22−y23=1有共同的渐近线，F1，F2分别是C1的左、右焦点．
(1)求C1的标准方程；
(2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF1⋅PF2的取值范围．
20.(本小题9分)
如图，将一根直径为3的圆木锯成截面为矩形的梁.矩形的高为h，宽为b.已知梁的抗弯强度为W=16bh2．
(1)将W表示为b的函数，并写出定义域；
(2)求b的值使得抗弯强度最大．
21.(本小题13分)
双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，圆O：x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，点T( 2, 2)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点T作圆O的切线交双曲线C于两点M、N，试求MN的长度；
(3)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断|PM|⋅|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意抛物线x2=8y的准线为y=−2，P的横坐标为4，
点P的纵坐标为yP=xP28=428=2，
所以点P到焦点的距离即点P到抛物线准线的距离为yP+2=4．
故选：A．
由题意求得抛物线准线方程以及点P纵坐标，再结合抛物线定义即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，f′(x)=3x2−4ax+a2，
∴f′(1)=3−4a+a2=0，解得a=1或a=3，
当a=1时，f′(x)=3x2−4x+1=(3x−1)(x−1)<0⇒13f(x)在(−∞,13)、(1,+∞)上单调递增，在(13,1)上单调递减，
f(x)在x=1处取得极小值，符合题意；
当a=3时，f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)<0⇒1f(x)在(−∞,1)、(3,+∞)上单调递减，在(1,3)上单调递增，
f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意．
故选：A．
利用函数在极值处的导数值为0求得a的值，再利用函数的单调区间检验即可．
本题考查导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：如图，
∵点M为正方体ABCD−A1B1C1D1内部(不包含表面)的一点，
∴M∉AA1，M∉B1C1，由AA1与M可确定一个平面，在该平面内过M作直线a，使a//AA1，
由B1C1与M可确定以平面，在该平面内过M作直线b，使b//B1C1，则由两相交直线a与b确定平面α，使得平面α与AA1和B1C1都平行，故命题q1是真命题；
由正方体的结构特征可知，AA1和B1C1所在直线为异面直线，若过点M作两条直线与AA1和B1C1所在的直线都相交，则不存在两交点重合，可得AA1和B1C1所在的直线共面，与AA1和B1C1所在直线为异面直线矛盾，故命题q2是假命题．
故选：A．
由题意画出图形，由平面的基本性质逐一判断两命题的真假得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4.【答案】A
【解析】解：依题意得C(−1,−1)，半径r=2，
设M点坐标(x,y)，易知直线l1：x+my−3m−1=0恒过点E(1,3)，
直线l2：mx−y−3m+1=0恒过F(3,1)，且l1⊥l2，
则ME⊥MF，即ME⋅MF=0，点M轨迹为(x−2)2+(y−2)2=2，
圆心为G(2,2)，半径为 2，但是去掉点(3,3)，
若点D为弦AB的中点，位置关系如图：
MA+MB=2MD，连接CD，由|AB|=2 3易知|CD|=1，
∴|MD|min=|MC|min−|CD|= 18− 2−1=2 2−1，MA⋅MB=|MD|2−3≥6−4 2，此时M在(1,1)处，可以取到，故A正确．
故选：A．
可得到C(−1,−1)，圆C的半径r=2，设M(x,y)，可看出直线l1过定点E(1,3)，直线l2过定点F(3,1)，并可得出ME⋅MF=0，得出点M的轨迹方程为(x−2)2+(y−2)2=2，圆心G(2,2)，半径为 2，去掉点(3,3).设点D为弦AB的中点，并画出图形，根据图形可求出|MD|的最小值，并且MA⋅MB=|MD|2−3，然后即可得出MA⋅MB的最小值．
本题考查了向量垂直的充要条件，圆的标准方程，向量加法的平行四边形法则，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于中档题．
5.【答案】4 5π3
【解析】解：根据题意，因为圆锥的母线长为l=3，底面半径为r=2，
则圆锥的高为h= l2−r2= 9−4= 5，
所以圆锥的体积为13πr2h=13π×22× 5=4 5π3．
故答案为：4 5π3．
根据题意，利用圆锥的结构特征求得其高，再利用其体积公式即可得解．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
6.【答案】3
【解析】解：若直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，
则a⋅[−(a−1)]=−3×2且a×1≠2×(−1)，解得a=3．
故答案为：3．
根据两条直线平行与方程的关系，建立关于a的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】8
【解析】解：由题意焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1离心率为 22，
可得 m−4 m= 22，解得m=8．
故答案为：8．
利用已知条件列出方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
8.【答案】2a
【解析】解：因为f′(x0)=a，则h→0limf(x0+2h)−f(x0)h=2h→0limf(x0+2h)−f(x0)2h=2f′(x0)=2a．
故答案为：2a．
利用导数的定义可求得．
本题考查了极限的运算性质以及导数的几何意义，属于基础题．
9.【答案】 77
【解析】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A( 3,0,0)，D1(0,0,1)，D(0,0,0)，B1( 3, 3,1)，
所以AD1=(− 3,0,1)，DB1=( 3, 3,1)，
所以cs=AD1⋅DB1|AD1|⋅|DB1|=−3+12× 7=− 77，
因为异面直线夹角的取值范围为(0,π2]，
所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 77．
故答案为： 77．
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角即可．
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握利用向量法求异面直线夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】35
【解析】解：由双曲线x2−y24=1，得a=1，b=2，
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，
设y=2x与y轴的夹角为α，则tanα=12，
∴cs2α=cs2α−sin2αcs2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−141+14=35．
故答案为：35．
求出渐近线方程，然后求解一条渐近线与y轴夹角的正切值，再由二倍角公式求解．
本题考查双曲线的简单性质，考查二倍角公式的应用，是基础题．
11.【答案】169
【解析】解：因为f(x)=2f′(3)⋅x−29x2+lnx，所以f′(x)=2f′(3)−49x+1x，
则f′(3)=2f′(3)−43+13，解得：f′(3)=1，
所以f(x)=2x−29x2+lnx，则f(1)=2−29+ln1=169．
故答案为：169．
对f(x)求导，再代入x=3，从而求得f′(3)=1，进而得到f(x)=2x−29x2+lnx，由此计算可得f(1)．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】(−∞,−2]
【解析】解：直线kx+y−k+1=0，即k(x−1)+y+1=0，
令x−1=0y+1=0，解得x=1y=−1，
故直线过定点(1,−1)，
直线kx+y−k+1=0与圆x2+y2+mx+2y+m+4=0至少有一个交点，
则12+(−1)2+m−2+m+4≤0，解得m≤−2，
故实数m的取值范围是(−∞,−2]．
故答案为：(−∞,−2]．
先求出直线所过定点，再结合题意，推出该定点的位置，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
13.【答案】3
【解析】解：设抛物线的方程为y2=mx，m>0，
再由AB=6，深度MO=2，可得A(2,3)，
将A的坐标代入的方程，9=2m，解得m=92，
所以抛物线的方程为：y2=92x；
所以抛物线的准线方程为：x=−98，
将Q的坐标代入抛物线的方程，22<92×158，所以Q在抛物线的内部，
过Q做准线的垂线交准线于Q′，
则|PF|+|PQ|≥|QQ′|=158+98=3，当且仅当Q，P，Q′三点共线时取等号，
所以则|PF|+|PQ|的最小值为：3．
由题意可得A点的坐标，设抛物线的方程，将A点的坐标代入抛物线的方程，可得参数的值，进而求出抛物线的方程，过Q点作准线的垂线，垂足为Q′，可得|PF|+|PQ|≥|QQ′|，可得最小值．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
14.【答案】611
【解析】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，
若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，
若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD，C′D，E′D，AB′，AF′，
先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF/​/AD/​/BC，所以E′F′//AD//B′C′，
且B′C′=E′F′≠AD，故ADC′B′共面，且ADE′F′共面，
故AF′，DE′相交，且C′D，AB′相交，故共面有2组，
则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，
同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组，
故对于上底面对角线A′D′，B′E′，C′F′同样各对两组，共6组，
若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，
所以共面的概率是6+12+12+6C122=611．
故答案为：611．
共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了棱柱的结构特征，属于中档题．
15.【答案】[− 33, 3]
【解析】解：因为函数f(x)=sinx+acsx在(2π3,7π6)上是严格单调函数，
所以f′(x)=csx−asinx≥0或f′(x)=csx−asinx≤0．
当x=π时，f′(π)=−1，f′(x)≥0，不符合题意．
故f′(x)=csx−asinx≤0，即asinx≥csx．
当x∈(2π3,π)时，sinx>0，所以a≥1tanx在x∈(2π3,π)上恒成立．
即求a≥(1tanx)max，因为x∈(2π3,π)，所以tanx∈(− 3,0)，1tanx∈(−∞,− 33)，
所以a≥− 33．
当x∈(π,7π6)时，sinx<0，所以a≤1tanx在x∈(π,7π6)上恒成立．
即a≤(1tanx)min，因为x∈(π,7π6)，所以tanx∈(0, 33)，1tanx∈( 3,+∞)，
即a≤ 3．
综上，− 33≤a≤ 3．
故答案为：[− 33, 3].
由题意可得f′(x)≥0，或f′(x)≤0，分类讨论x，转化为求最值的问题，从而得到实数a的取值范围．
本题主要考查三角函数的单调性，解题的关键点是由f′(x)≥0，或f′(x)≤0，转化为求最值的问题，属于中档题．
16.【答案】 62
【解析】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线的定义可得|m−n|=2a，
在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1|⋅|MF2|cs∠F1MF2，
即为4c2=m2+n2−2mncs2π3=(m−n)2+2mn+mn=4a2+3mn，
即有mn=43(c2−a2)，
由三角形的中线长公式，可得4|OM|2=2(m2+n2)−4c2=2(m−n)2+4mn−4c2=8a2−4c2+163(c2−a2)=83a2+43c2，
即4×219b2=283(c2−a2)=83a2+43c2，
化为2c2=3a2，
则e=ca= 62．
故答案为： 62．
由双曲线的定义和三角形的余弦定理与中线长公式，化简整理，可得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理和中线长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设车轮旋转的角度为y，车辆启动后车轮转动的时间为t秒，
则y=kt2，
由题意得t=1时，y=2π，
即2π=12k，解得k=2π，
故y=2πt2，车轮转动前2秒的平均角速度为2π×22−2π×022−0=4π，
(2)y=2πt2，y′=4πt，
由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4π×3=12π．
【解析】(1)设出未知数，得到y=kt2，待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前2秒的平均角速度；
(2)求导，由导函数的意义得到答案．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：一点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，H(0,1,12)，
则BC=(−1,1,0)，A1B=(1,0,−1)，设n=(x,y,z)是平面A1BC的一个法向量，
则n⋅BC=−x+y=0n⋅A1B=x−z=0，令x=1，则y=z=1，
所以n=(1,1,1)．
(1)BB1=(0,0,1)，n⋅BB1=1，|n|= 3，
设直线BB1与平面A1BC所成角为α，
则sinα=|cs|=|n⋅BB1||n|⋅|BB1|=1 3= 33，
所以直线BB1与平面A1BC所成角为arcsin 33．
(2)BH=(−1,1,12)，n⋅BH=12，
点H到平面A1BC的距离n⋅BH|n|=12 3= 36．
【解析】根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量，求出平面A1BC的一个法向量．
(1)根据直线和平面所成角的向量法求出即可；
(2)根据点到平面的距离的空间向量法求出即可．
本题考查利用空间向量求空间角和距离，属中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可设C1的方程为x22−y23=λ(λ≠0)，
将(−4,3 2)代入可得，162−183=λ，
解得λ=2，
∴C1的标准方程为x24−y26=1．
(2)设P(x,y)，则y2=6(x24−1)，
∵点P在第一象限，∴x>2，且F1(− 10,0)，F2( 10,0)，
∴PF1⋅PF2=(− 10−x,−y)⋅( 10−x,−y)=x2−10+y2=52x2−16∈(−6,+∞)，
∴PF1⋅PF2的取值范围是(−6,+∞)．
【解析】(1)由共渐近线方程设法将点代入直接求解；
(2)向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围．
本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解(1)由勾股定理可得b2+h2=9，则h2=9−b2，
所以W=16bh2=16b(9−b2)=32b−16b3，其中0即该函数的定义域为(0,3)．
所以W=32b−16b3，定义域为(0,3)；
(2)对函数W=32b−16b3，求导得W′=32−12b2=3−b22，
令W′=0，可得b= 3，列表如下：
所以当b= 3时，W取得极大值，亦即最大值，且Wmax= 3．
【解析】(1)由勾股定理可得出h2=9−b2，即可得出W关于b的函数，结合实际情况写出该函数的定义域；
(2)利用导数分析函数W=32b−16b3的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的b的值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了导数的综合运用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)不妨设双曲线C的半焦距为c，
因为双曲线的离心率为 3，
所以ca= 3，
即c= 3a，
此时b= c2−a2= 2a，
因为点T( 2, 2)在双曲线C上，
所以2a2−22a2=1，
解得a=1，
此时b= 2a= 2，
则双曲线C的方程为x2−y22=1．
(2)当切线的斜率不存在时，切线的方程为x= 2，
此时，圆心O到直线x= 2的距离为 2，符合题意；
当切线的斜率存在时，
不妨设切线的方程为y− 2=k(x− 2)，
即kx−y− 2k+ 2=0，
易知| 2− 2k| k2+1= 2，
解得k=0，
此时，切线方程为y= 2，

联立x= 2x2−y22=1，
解得x= 2y= 2或x= 2y=− 2，
所以点M( 2,− 2)，
联立y= 2x2−y22=1，
解得x= 2y= 2或x=− 2y= 2，
所以点N(− 2, 2)，
则|MN|= ( 2+ 2)2+(− 2− 2)2=4；
(3)当圆O在点P处切线斜率不存在时，
此时点P( 2,0)或P(− 2,0)，切线方程为x= 2或x=− 2，

由(1)及已知，得|PM|=|PN|= 2，
所以|PM|⋅|PN|=2，
当圆O在点P处切线斜率存在时，
不妨设切线方程为y=kx+m，M(x1,y1)、N(x2,y2)，
易知d=|m| k2+1= 2，
即m2=2(k2+1)，
联立y=kx+m2x2−y2=2，消去y并整理得(k2−2)x2+2kmx+m2+2=0，
显然k2−2≠0Δ=4k2m2−4(k2−2)(m2+2)=8k2+32>0，
由韦达定理可得x1+x2=−2kmk2−2，x1x2=m2+2k2−2，
因为OM=(x1,y1)，ON=(x2,y2)，
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(k2+1)⋅m2+2k2−2+km⋅−2kmk2−2+m2=m2+2k2+2−k2m2k2−2+m2=(2−k2)m2k2−2+m2=0，
则OM⊥ON，
在Rt△OMN中，OP⊥MN于点P，
可得∠MOP=π2−∠OMP=∠ONP，
又∠OPN=∠MPO，
所以Rt△OPN∽Rt△MPO，
此时|OP||PN|=|PM||OP|，
则|PM|⋅|PN|=|OP|2=2，
综上得|PM|⋅|PN|为定值2．
【解析】(1)由题意，根据双曲线离心率为 3，可得b= 2a，再由点T( 2, 2)在双曲线C上可得出a的值，由此可得出双曲线C的方程；
(2)求出两条切线的方程，进而求出两切线与双曲线C的交点坐标，结合两点间的距离公式可求得|MN|；
(3)线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、三角形相似可得|PM|⋅|PN|为定值，验证切线斜率不存在的情况作答．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．b
(0, 3)
3
( 3,3)
W′
+
0
−
W
增
极大值
减