2020-2021学年上海市普陀区曹杨第二中学高二下学期期末数学试卷（含详解）

这是一份2020-2021学年上海市普陀区曹杨第二中学高二下学期期末数学试卷（含详解），共15页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝　 　．
2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为 　 　．
3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为　 　．
4．方程的解是　 　
5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为 　 　．
6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为 　 　．
7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　 　．
8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为 　 　．
9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为 　 　．
10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为 　 　．
11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为 　 　（写出所有可能的值）．
12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为 　 　．
二、选择题
13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（　　）
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（　　）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
15．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（　　）种
A．10 B．16 C．22 D．28
16．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
三、解答题
17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）
（1）甲、乙两人相邻；
（2）丙、丁两人不相邻；
（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．
18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离．

19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．
（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；
（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．
20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．
（1）求证：A′E⊥BE；
（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；
（3）求多面体A′BCD′EF的体积．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．
（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．



参考答案
一、填空题
1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝　﹣1　．
解：因为z＝1﹣i，
故Imz＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为 　平行　．
解：若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，
则直线l与平面α平行，不可能相交，
因为三点A，B，C共线．．
故答案为：平行．
3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为　2π　．
解：设圆锥的底面积半径r，则底面半径为πr2＝π，解得r＝1；
由母线长为l＝2，则该圆锥的侧面积为
S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．
故答案为：2π．
4．方程的解是　x＝3或x＝7　
解：∵，
∴x＝2x﹣3或x+2x﹣3＝18，
解得x＝3或x＝7．
∴方程的解是x＝3或x＝7．
故答案为：x＝3或x＝7．
5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为 　2　．
解：如图，在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，
因为AD⊥平面DD1C1C，且DD1⊂平面DD1C1C，
所以AD⊥DD1，
同理可证AD⊥AB1
故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段，
因此AB1和DD1的距离为AD＝2．
故答案为：2．

6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为 　1　．
解：因为＝为纯虚数，
所以k﹣1＝0且k+1≠0，
解得k＝1．
故答案为：1．
7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　9　．
解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，
所以，
即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），
可得，解得m＝2，n＝﹣4，
所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），
则﹣＝（﹣3，6，6），
所以．
故答案为：9．
8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为 　1或　．
解：如图，取BD中点M，连结FM，EM，
由题可知，MF∥AB，ME∥CD，MF＝，ME＝，
∵AB与CD所成的角为，∴或者＝，
当时，△FME为等边三角形，∴EF＝1，
当时，由余弦定理可知，EF2＝EM2+MF2﹣2EM•MF•cos∠FME＝，
∴EF＝，
综上，EF＝1或EF＝，

故答案为：1或．
9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为 　8　．
解：设球的球心为O，正四棱柱的高为h，
因为球的半径为2，且A、B两点的球面距离为，
则有∠AOB•2＝，
所以∠AOB＝，又OA＝OB＝2，
所以AB＝2，即正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形的边长为2，
又正四棱柱的体对角线为外接球的直径，
则，解得h＝，
所以该正四棱柱的体积为＝8．
故答案为：8．
10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为 　{1+，，﹣i，i}　．
解：设z＝x+yi（x，y∈R），
则原方程化为，
则，
由②可知，y＝0或x＝0，
故原方程有实根或纯虚数根，
①若y＝0，则z＝x，
故|x|2+2|x|﹣1＝0，解得x＝1+或x＝；
②若x＝0，则z＝yi，
则有|y|＝±1，所以z＝±i．
综上所述，z＝1+或z＝或z＝±i．
故答案为：{1+，，﹣i，i}．
11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为 　2或3或4　（写出所有可能的值）．
解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，
当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，
当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，
当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，
故集合A的元素可能为2或3或4．
故答案为：2或3或4．
12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为 　2　．
解：由题意可知，∠MAN＝90°，
在Rt△AMN中，AP＝，
线段MN的中点P的轨迹是以A为球心，为半径的球面的，
所以线段MN的中点P的轨迹的面积为，
则l＝2．
故答案为：2．

二、选择题
13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（　　）
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解：设m⊂α，且m∥l，
由l⊥β，则m⊥β，
由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，
即选项A正确，
故选：A．
14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（　　）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
解：由复数的形式可知，选项A错误；
当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，
又z1≠0，
所以z2＝z3，故选项B正确；
当＝z3时，则，
所以＝，故选项C正确；
当z1z2＝|z1|2时，则，
可得，
所以，故选项D错误．
故选：BC．
15．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（　　）种
A．10 B．16 C．22 D．28
解：根据题意，分3种情况讨论：
①2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C32＝3种放法，
②若每个盒子放2个小球，有1种放法，
③若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A32＝6种放法，
则有3+1+6＝10种放法，
故选：A．
16．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
解：截面形状草图，如图所示：

由图可知，截面为六边形，
故选：D．
三、解答题
17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）
（1）甲、乙两人相邻；
（2）丙、丁两人不相邻；
（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．
解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，
有A22A77＝10080种排法；
（2）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77＝10080种，
则丙、丁两人不相邻的排法有A88﹣A22A77＝30240种；
（3）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，
甲乙丙三人的排法有A33＝6种，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，
则有甲站在丙、丁两人的中间有＝13440种．
18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离．

解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵BC是圆O的直径，
∴BD⊥CD，
又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE＝B，
∴CD⊥平面ABD．
∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．
∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，
∴sin∠CAD＝＝．
∴直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin．
（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，
由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD，
又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，
∴BM⊥平面ACD．
∵BD＝＝4，∴AD＝＝．
∴BM＝＝．
即B到平面ACD的距离为．

19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．
（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；
（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．
解：（1）因为α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根，
因为α为虚数，设α＝a+bi，则β＝a﹣bi，
又|α|＝3，则a2+b2＝9，解得，
因为aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝9＝m，
所以m＝9；
（2）①当△＝16﹣4m＜0时，由（1）可知，a+bi+a﹣bi＝﹣4，解得a＝﹣2，
又aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝m，
因为|α﹣β|＝2，
所以|2bi|＝2，解得b＝±1，
故m＝5；
②当△＝16﹣4m≥0时，则α+β＝﹣4，αβ＝m，
所以|α﹣β|＝2，即，解得m＝3．
综上所述，m＝3或m＝5．
20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．
（1）求证：A′E⊥BE；
（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；
（3）求多面体A′BCD′EF的体积．

【解答】（1）证明：因为平面A′EFD′⊥平面BEFC，EF⊥BE，EF⊥A′E，
所以∠A′EB是二面角A′﹣EF﹣B的平面角，
所以∠A′EB＝90°，
所以A′E⊥BE；
（2）解：设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，EG＝2，
建立空间直角坐标系，如图所示：

A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D′（0，2，2），G（0，2，0），
所以＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，0），
设异面直线BD′与CG所成角为θ，
则cosθ＝＝＝0，
所以θ＝90°；
（3）解：多面体A′BCD′EF的体积为：
VA′BCD′EF＝+VD′﹣EBCF
＝S△BEA′•EE1+•DE1
＝×2×2×2+××2×2
＝6．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．
（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．

解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，
又AD，PD⊂平面 PAD，AD∩PD＝D，
所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
因为PA＝AD＝4，则△PAD是等腰三角形，又E是PD的中点，
所以AE⊥PD，又PD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，
所以AE⊥平面PCD．
（2）如图所示分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
则 A（0，0，0），D（0，4，0），E（0，2，2），F（1，1，3），P（0，0，4），C（4，4，0）
则，
设平面AEF的一个法向量为，
所以⇒，取c＝1，解得b＝﹣1，a＝2，所以．
是平面AEF的一个法向量，
设二面角F﹣AE﹣P的平面角为 θ，
则．
（3）平面AEF与直线PB交于点G，
设，则，设G（a，b，c），则，
⇒（a，b，c﹣4）＝λ（4，0，﹣4）⇒a＝4λ，b＝0＝m⇒
⇒﹣8λ+0+4﹣4λ＝0⇒，所以．