05，广西壮族自治区贵港市港南区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出四个选项中只有一个是正确的．考生用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. =y+5xB. 3x+1=2xyC. x=y2+1D. x+y=1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义逐一排除即可．
【详解】解：A、＝y+5x不是二元一次方程，因为不是整式方程；
B、3x+1＝2xy不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
C、x＝y2+1不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
D、x+y＝1是二元一次方程．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2. 已知是一个完全平方式，则m的值为( )
A. B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可知m为的2倍，由此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。故选A．
【点睛】本题考查逆用完全平方公式，能够熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用合并同类项、单项式乘以单项式积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法法则分别计算各项即可．
【详解】解：A、，原选项计算结果错误，故不符合题意；
B、，计算正确，故符合题意；
C、，原选项计算错误，故不符合题意；
D、，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、单项式乘以单项式积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，正确掌握运算法则是解答此题的关键．
4. 如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为（ ）
A. 3，10B. 4，10C. 10，4D. 10，3
【答案】C
【解析】
【分析】把代入先求出被“■”遮住的数，再把x，y的值代入求出被“★”遮住的数．
【详解】解：把代入得，
∴
∴被“■”遮住的数是4；
再把代入得：
，
∴被“★”遮住的数是10．
故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解题意，利用代入法求解．
5. 若与的和是单项式，则m、n的值分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义，根据题意得，，进而可求解，根据题意得与为同类项是解题的关键．
【详解】解：依题意得：与为同类项，
则：，即，
，即，
故选C．
6. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )

A. 15B. 30C. 60D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8. 如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ）

A. 25B. 26C. 28D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长．
【详解】解：∵四边形是正方形，
；
，
，
即，
，
或（舍去）
∵四边形是正方形，
，
∴阴影部分的周长是，
故选：D．
9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 爱我中华B. 我游中华C. 中华美D. 我爱美
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
2，，，对应的汉字分别为：爱、我、中、华，
呈现的密码信息可能是“爱我中华”，
故选A．
10. 如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用代数式表示各个部分面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案．
【详解】解：

．
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
11. 从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A. 变小了B. 变大了C. 没有变化D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为
平方米，
∵，
∴，
∴面积变小了，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
12. 对有序数对定义“f运算”： ，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当时，．若，则的值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
分析】由，可得，解得，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于根据题意正确的列二元一次方程组．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案：
14. 若，且，则_________．
【答案】-15
【解析】
【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b-4c=9，转化为关于k的一元一次方程解答．
【详解】解：设，
则a=3k，b=5k，c=7k，
代入3a+2b-4c=9，
得9k+10k-28k=9，
解得：k=-1，
∴a=-3，b=-5，c=-7，
于是a+b+c=-3-5-7=-15．
故答案为：-15．
【点睛】本题主要考查比例的性质，解答此类题关键是灵活运用设“k”法求解代数式的值．
15. 已知二元一次方程组，则的值是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接用得，即可求出．
【详解】解：
用得：，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．．
16. 若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∵乘积不含一次项，
∴，
∴；
故答案为：．
17. 对于任意的四位数，若且，则称数为“高升数”，交换的千位数字与十位数字得到新数，记．则为______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了新定义．根据新定义计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
．
故答案为：30
18. 我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】找见关键的文字部分，列出相关的等量关系，组成二元一次方程组即可．
【详解】解：∵上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的数量
∴
又∵下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子数量
∴
所以列方程组为：

故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据文字部分转换相关的数学等量是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
20. 解方程组．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的方法有代入消元法与加减消元法，会根据方程组的特点选择适当的方法解方程组．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，22
【解析】
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，再合并同类项，把已知代入得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
22. 阅读材料，解答问题：
材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将、转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
请用换元法解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】设，，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组，即可求解．
【详解】解：设，，则原方程组可以变形为，
用加减消元法解得，
再将、转化为，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及换元法；熟练掌握加减消元法和换元法是解题的关键．
23. 如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？是8的倍数吗？为什么？
（3）两个连续的奇数的平方差（取正整数）是“神秘数”吗？为什么？
【答案】（1）28是“神秘数”，理由见详解
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数，理由见详解
（3）两个连续的奇数的平方差不是“神秘数”，理由见详解
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．
（1）根据“神秘数”定义，只需看能否把28这个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴28是“神秘数”；
【小问2详解】
解：两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
理由如下：
，
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵是奇数，
∴“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数；
【小问3详解】
解：设两个连续的奇数为：，，则，
此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是“神秘数”．
24. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
①________________②________________；
（2）由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________
（3）如果图中的满足.
求：①的值 ②的值
【答案】（1）①，②
（2）；
（3）①，②
【解析】
【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；
（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；
（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．
【小问1详解】
解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为，第二部分的面积为： ；
∴阴影部分的面积的第一种表示方法为．
∵大正方形的面积为；空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：①；②．
【小问2详解】
解：由（1）可知阴影部分的面积相等，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．
25. 有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如．根据上面的方法因式分解：
（1）；
（2）．
（3）已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（3）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【小问3详解】
等腰三角形，理由如下：
∴
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【点睛】题目主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元
（2）共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆
（3）购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【解析】
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
【小问2详解】
解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆．
【小问3详解】
解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．