北京市西城区北京市第四十四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1. 如图，可以通过平移大熊猫得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．
【详解】解：可以通过平移大熊猫得到的图形是B选项
故选：B．
2. 一个数的平方根与这个数的算术平方根相等，这个数是（ ）
A. 1B. -1C. 0D. 1或0
【答案】C
【解析】
【分析】由于一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，由此即可求出结果．
【详解】解：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0
一个数的平方根与这个数的算术平方根相等的数只有0．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，比较简单．
3. 在下列实数，，，，，相邻两个之间依次多一个中，无理数个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是无理数的概念，算术平方根，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的某些数，据此逐一判断即可得．
【详解】解：，，是有理数，
，，相邻两个之间依次多一个中，是无理数，共3个，
故选：C．
4. 若点位于第一象限，则点在( )
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
【答案】C
【解析】
【分析】由点P（a，b）在第一象限，可确定a、b的取值范围，从而可得-b的符号，即可得出点Q所在的象限．
【详解】∵点P（a，b）位于第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴-b＜0，
∴点P（-b，a）在第二象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5. 同一平面内的三条直线 ，，，下列说法错误的是（ ）
A. ，，则B. ，，则
C. ，，则D. ，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论．
【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确；
垂直于一条直线a的直线，必垂直于a的平行线b，故选项B正确；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项C正确、D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
6. 若点是第四象限内的点，且点P到x轴的距离2，到y轴的距离3，则P点的坐标是（ ）
A. （3，2）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （3，-2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点是第四象限内的点，且点P到x轴的距离2，到y轴的距离3，
∴点P的横坐标为3，纵坐标为-2，
∴点P的坐标是（3，-2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
7. 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平角的定义求出度数，再根据平行线的性质得到的度数即可．
【详解】解：如图，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：B
8. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. ﹣1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【详解】解：将代入得：
，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
9. 如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】分析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】①∵∠1=∠4，
∴；
②∵∠2=∠3，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴；
∴能得到的条件是②④.
故选择：D
【点睛】本题考查了平行线的判定， 掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键.
10. 如图，在平面直角坐标系中，轴互相平行，轴互相平行，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查点的坐标规律探究；先求出凸形的周长为20，得到2039÷20的余数为19，由此即可解决问题．
【详解】∵，，，，，
轴互相平行，轴互相平行，∴
∴“凸”形的周长为20，
∵2039÷20的余数为19，
差1个单位回到
∴细线另一端所在位置的点在．
故选：A．
二、填空题（本题共24分，每空3分）
11. 的算术平方根是__________，的平方根是__________，的立方根是__________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】此题考查立方根，平方根、算术平方根的定义，根据算术平方根，平方根，立方根的定义，即可求解．
【详解】解：，，，
故答案为，，.
12. 若点N （a+5，a-2） 在y轴上，则点N的坐标是____________．
【答案】（0，－7）
【解析】
【分析】点N（a+5，a-2）在y轴上，则横坐标是0，求出a的值后即可得到N的坐标．
【详解】解：∵点N（a+5，a-2）在y轴上，
∴a+5=0，
解得：a=-5，
∴a-2=-7，
∴N点的坐标为（0，-7）．
故答案为（0，-7）．
【点睛】本题主要考查了点在y轴上时横坐标的特点．解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：点在y轴上，点的横坐标为0．
13. 请你写出一个二元一次方程组，使它的解为，这个方程组是_________．
【答案】如：（答案不唯一）；
【解析】
【分析】根据二元一次方程组解的定义即可求解．
【详解】解：解为的二元一次方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解的理解和运用，注意：二元一次方程的定义包括三方面的含义：①是整式方程，②含有两个未知数，③所含未知数的项的最高次数是1次．
14. 如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3＝_____．
【答案】135°．
【解析】
【分析】由∠1与∠2互余，且∠1＝∠2，可求出∠1＝∠2＝45°，进而根据补角的性质可求出∠3的度数.
【详解】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠3＝180°﹣45°＝135°，
故答案为135°．
【点睛】本题考查了余角、对顶角及邻补角的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键.
15. 假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，过作，根据平行线的性质直接求解即可得到答案；
详解】解：过作，由题意可得，，
∵，，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
故答案为：．
16. 已知方程组的解满足x+y＝2，则k＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得关于k的方程，解方程即可得.
【详解】，
①+②，得
3（x+y）＝k+2，
由x+y＝2，
得3（x+y）＝k+2＝6，
即k+2＝6，
解得k＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的特点灵活求解是关键.
17. 若正数的两个平方根分别为2a+1和2a-9，则正数x＝_______．
【答案】25
【解析】
【详解】由题意，得：2a+1+2a−9=0，解得a=2；
所以正数x的平方根是：5和−5，故正数x的值是25.
故答案为25.
18. 如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________．
【答案】60
【解析】
【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可．
【详解】解：根据平移可知
BE=6，EF=BC=12，
∵CG=4，
∴BG=8，
∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60．
故答案为：60．
【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键．
三、解答题（19题8分，20题10分，21-25每题6分，26题8分，共56分）
19. 实数计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算等知识点，
（1）先进行算术平方根和立方根的运算，然后进行有理数加减运算即可；
（2）先进行乘方，算术平方根，立方根运算，绝对值化简，然后进行实数的加减运算即可；
熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
【小问1详解】
；
【小问2详解】

．
20. 计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，解二元一次方程组
（1）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
∴
解得：
【小问2详解】
解：
得：
解得：，
将代入②得，
解得：
∴方程组的解为：
21. 已知4是的算术平方根，的立方根是3．
（1）计算：a =______，b =______；
（2）求的平方根．
【答案】（1）5；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根与立方根的性质即可求解；
（2）先求出的值，再根据平方根的定义即可求解．
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根与平方根的性质．
【小问1详解】
∵4是的算术平方根，的立方根是3，
∴，，
解得，，
故答案为：5；；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴的平方根为．
22. 如图，已知，．求证：．
证明：（已知），
（ ），
（ ），
（已知），
（ ），
（ ）（两直线平行，内错角相等），
（ ），（ ），
（等量代换）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】证明：（已知），
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
，，
（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；．
23. 为了让学生能更加了解温州历史，某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位．
（1）求A、B两种车型各有多少个座位；
（2）若A型车日租金为350元，B型车日租金为400元，且租车公司最多能提供7辆B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金．
【答案】（1）每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位；（2）有两种租车方案，租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少，最少租金为3400元．
【解析】
【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，依题意，得：，解方程组可得；（2）设租m辆A型车，n辆B型车，依题意，得：45m+60n=480，求整数解可得.
【详解】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，
依题意，得：，解得．
答：每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位．
（2）设租m辆A型车，n辆B型车，
依题意，得：45m+60n=480，
解得：n=8–m．
∵m，n为整数，∴（舍去），，，
∴有两种租车方案，
方案1：租4辆A型车、5辆B型车；
方案2：租8辆A型车、2辆B型车．
当租4辆A型车、5辆B型车时，所需费用为350×4+400×5=3400（元），
当租8辆A型车、2辆B型车时，所需费用为350×8+400×2=3600（元）．
∵3400<3600，∴租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少，最少租金为3400元．
【点睛】考核知识点：二元一次方程组的应用.理解题意是关键.
24. 如图，直线交于点E，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到， 再证明，进而根据证明，由此即可证明．
【详解】证明：，
，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴．
25. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A__________；B__________；C__________．
（2）三角形是由三角形向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的．
（3）若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标为________（用x和y表示）．
（4）直接写出面积为 ．
【答案】（1）；；
（2）右；5；上；2 （3）
（4）2
【解析】
【分析】此题考查了写成坐标系中点的坐标，平移的规律，根据平移的规律得到对应点的坐标，割补法计算图形的面积，正确掌握平移的规律是解题的关键．
（1）根据点的位置直接得到坐标即可；
（2）观察网格中对应点的方向和距离即可得到平移的结果；
（3）根据平移的规律解答即可；
（4）利用割补法求出面积．
【小问1详解】
根据题意得，，，；
【小问2详解】
根据题意得，
是由向右平移5个单位，向上平移2个单位得到的；
【小问3详解】
∵是由向右平移5个单位，向上平移2个单位得到的，点是内部一点，
∴内部的对应点的坐标为；
【小问4详解】
∴面积．
26. 已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DEOB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O=40°，则∠ECF= ；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O= 时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．
【答案】（1）110°；
（2）见解析； （3）36°或90°．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG+∠DCF=90°，∠GCO+∠FCA=90°，以及∠ACF=∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO=∠GCD，即CG平分∠OCD；
（3）当∠O=36°时，根据平行线的性质，得出∠DCO=∠O=36°，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCF=72°，据此可得2∠DCO=∠DCF．同理：当当∠O=90°时，可得∠DCO=2∠DCF．
【小问1详解】
解：∵DEOB，
∴∠O=∠ACE（两直线平行，同位角相等），
∵∠O=40°，
∴∠ACE=40°，
∵∠ACD+∠ACE=180°（平角定义），
∴∠ACD=140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=70°（角平分线定义），
∴∠ECF=70°+40°=110°；
故答案为：110°；
小问2详解】
证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠DCG+∠DCF=90°，
又∵∠AOC=180°（平角定义），
∴∠GCO+∠FCA=90°，
∵∠ACF=∠DCF，
∴∠GCO=∠GCD（等角的余角相等），
即CG平分∠OCD．
【小问3详解】
解：当∠O=36°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=36°时，
∵DEOB，
∴∠DCO=∠O=36°．
∴∠ACD=144°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=72°，
∴2∠DCO=∠DCF．
当∠O=90°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=90°时，
∵DEOB，
∴∠DCO=∠O=90°．
∴∠ACD=90°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=45°，
∴∠DCO=2∠DCF，
故答案为：36°或90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
四、附加题（本题10分）
27. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．

（1）当点P线段上移动时，几秒后？
（2）若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标．
【答案】（1）3秒 （2）或
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程实际应用，代数式表示式，几何图形面积等．
（1）根据题意先表示出和的长，再列式即可；
（2）对于点的不同位置分类讨论列式即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：设秒后，
由题意得：，则，，
∴，解得：，
∴当点P在线段上移动时，秒后；
【小问2详解】
解：设点P的坐标为，
①当点在轴右侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形为直角梯形，，
∴，此时点P运动时间为：，
∴此时，
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，
∴，解得：，
∴；
②当点在轴左侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形可分为两个直角三角形，，
∴，，此时点P运动时间为：，
∴，
∴，解得：，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“可控距离”，给出如下定义：
若，则点与的“可控距离”为；
若，则点与的“可控距离”为．
（1）已知点，点，求点P与点Q的“可控距离”．
（2）已知点，B为x轴上的一个动点．
①若点A与点B的“可控距离”为6，试求出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“可控距离”的最小值为 ．
【答案】（1）5 （2）①；②2
【解析】
【分析】考查了新定义“可控距离”、点的坐标、绝对值的定义、绝对值不等式等知识，本题综合性强，正确理解新定义“可控距离”和绝对值的定义是解题的关键．
（1）由题意即可得点与点的“可控距离”；
（2）①设点的坐标为，由“可控距离”的定义得出，即可得出结论；
②设点的坐标为，且，由，得点、两点的“可控距离”为；再由，得点、两点的“可控距离”为；即可得出结论．
【小问1详解】
解：点、点，，
点与点的“可控距离”为．
【小问2详解】
解：①为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
、两点的“可控距离”为6，，
∵，
，
解得：或，
点的坐标是或，
②设点的坐标为，且，
，，
若，则点、两点的“可控距离”为；
若，则点、两点的“可控距离”为；
、两点的“可控距离”的最小值为2．